М__3894_ высш.матем. ФТУГ КР1
.pdf17 |
4 |
1 |
-3 |
17 |
1 |
О |
1 |
-1 :85-32 + 0 - 8 + 51-0 = 96; Л, |
2 |
0 |
- 1 • 0 + 34 + 16 0 24—170 — —144; |
8 |
3 |
5 |
-2 |
8 |
5 |
|
|
|
|
3 |
4 |
17 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 = -24 + 0 + 102 + 3 4 - 0 - 6 4 = 48. |
||
|
|
|
|
-2 |
3 |
8 |
|
|
X ) — » _ |
_ ~• |
X f |
~ |
_ _ ~ j j |
X• |
Л, |
48 • = -1. |
|
А |
-48 |
|
А |
-48 |
|
|
А |
-48 |
Решение произвольных систем линейных уравнений
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы г(А) - г(А/В).
При этом |
возможны 3 |
варианта: 1) |
если г(А)<г{А!В) - система |
несовместна; 2) |
г(А) = г(А / В) = я |
(п - число |
неизвестных), |
то система имеет единственное |
решение; 3) если |
г(А) = г(А / В) < п, то система имеет бесчисленное множество решений.
Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их решений можно использовать метод Гаусса. С помощью элементарных преобразований над строками приведем расширенную матрицу системы (А/В) к трапециевидной форме. Такой матрице соответствует система, которую легко решить,
начиная с последнего уравнения. |
|
|
|
|
-*3 =-4; |
Пример 1.9. Исследовать систему уравнений |
"I- 2Л/^-Зх3 =0; и в случае совместности решить ее. |
|
|
-2х, |
-2*3 =16. |
Решение. Приведем к трапециевидной форме расширенную матрицу системы. Первую строку умножим на (-1) и прибавим ко второй; первую строку умножим на 2 и прибавим к третьей. Вторую
строку умножим на (-2) и прибавим к третьей. |
(1 1 |
|
|
( 1 1 |
|
|
|||
f 1 |
1 - 1 |
0 |
-1 ~41 |
- 1 |
4 |
||||
1 2 |
- 3 |
0 1 |
- 2 |
4 - > |
0 1 |
- 2 |
|||
,"2 |
0 |
- 2 |
|
[о 2 |
- 4 |
оо |
1° 0 |
0 |
о, |
|
|
||||||||
В результате элементарных преобразований над строками получим систему равносильную исходной.
Выберем в качестве базисного минора минор, стоящий в первых двух строках и столбцах: |
1 1 |
= 1. |
|
О |
1 |
Тогда х, и х2 - базисные переменные, а х3 - свободная переменная. Придадим свободной переменной произвольное значение х3 = С, тогда со второго уравнения х2 - 2х3 =4 следует, что х2 = 2С + 4. Из
первого |
уравнения |
хх + х2 - х3 = - 4 |
следует, |
что |
х, = -х2 + х3 - 4 . |
Следовательно, |
х, = - 2 С - 4 + С - 4 = - С - 8 . Общее решение системы (-С - 8; 2С + 4; С).
Для существования нетривиального решения однородной системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы г(А) — к < п (п - число неизвестных). Тогда общее решение однородной системы может быть записано в виде
Х = СА+С2Е2+... + Сп„кЕл_к,
где Ei - матрицы-столбцы, которые называются фундаментальной системой решений.
х, + 2х2 + хг |
-Зх4 + х5 = 0; |
||
Пример 1.10. Найти фундаментальную систему решений х1 - Зх, + хъ |
- 2х4 |
+ х5 |
= 0; |
X; + 7х2 + х3 |
- 4х4 |
+х5 |
=0. |
Решение. Как в предыдущем примере, проведя элементарные преобразования над строками, получим решение системы
10
17 |
4 |
|
|
|
|
|
-3 |
17 |
1 |
О |
1 |
= 85-32+ 0 - 8 + 51-0 = 96; A, |
|
2 |
0 |
- 1 = 0 + 34 +16 - 0 - 24 - 170 = -144; |
|||
|
3 |
|
|
|
|
|
-2 |
8 |
5 |
|
|
|
•3 |
4 |
17 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
0 = -24 + 0 + 102 + 3 4 - 0 - 6 4 = 48. |
||||
|
|
|
2 |
3 |
8 |
|
|
|
|
A |
96 |
= -2; х, =: |
-144 |
= 3; |
А |
= |
-48 |
|
|
-48 |
|
-48 |
|
|
|
|
|||
Решение произвольных систем линейных уравнений
Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы г(А) = г(А/В).
При этом |
возможны 3 |
варианта: 1) |
если г(А)<г(А/В) |
- система |
несовместна; |
2) |
г(А) = г(А / В) = п |
(п - число |
неизвестных), |
то система имеет |
единственное |
решение; 3) |
если |
г(А) = г(А / В) < п, то система имеет бесчисленное множество решений.
Для исследования систем линейных уравнений и нахождения их решений можно использовать метод Гаусса. С помощью элементарных преобразований над строками приведем расширенную матрицу системы (А/В) к трапециевидной форме. Такой матрице соответствует система, которую легко решить,
начиная с последнего уравнения. |
|
|
-х3 =-4; |
Пример 1.9. Исследовать систему уравнений |
" з = 0; ив случае совместности решить ее. |
-2хх |
-2х3 =16. |
Решение. Приведем к трапециевидной форме расширенную матрицу системы. Первую строку умножим на (-1) и прибавим ко второй; первую строку умножим на 2 и прибавим к третьей. Вторую
строку умножим на (-2) и прибавим к третьей. |
|
|
|
|
|
|
||
( 1 1 - 1 |
0 |
Г1 1 |
-1 |
~41 |
Г1 1 |
-1 "41 |
||
1 2 |
- 3 |
0 1 |
- 2 |
4 |
0 1 |
- 2 |
4 |
|
1-2 0 |
- 2 |
|
1° 2 - 4 |
8, |
0 |
0 |
о, |
|
В результате элементарных преобразований над строками получим систему равносильную исходной.
Выберем в качестве базисного минора минор, стоящий в первых двух строках и столбцах: 0 1 = 1.
Тогда х{ и х2 - базисные переменные, а х} - свободная переменная. Придадим свободной переменной
произвольное значение хъ = С, тогда со второго уравнения х2 2х3 = 4 |
следует, что |
х2 - 1С + 4 . Из |
||||
первого |
уравнения |
хх + х2 - х3 = -4 |
следует, |
что |
• 4. |
Следовательно, |
х, = - 2 С - 4 + С - 4 = - С - 8 . |
Общее решение системы (-С - 8; 2С + 4; С). |
|
|
|||
Для существования нетривиального решения однородной системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы г(А) = к < п (и - число неизвестных). Тогда общее решение однородной системы может быть записано в виде
X = С,£, + С2Е2 +... + С„_кЕ„_к,
где Ej - матрицы-столбцы, которые называются фундаментальной системой решений.
х, + 2Х2 |
+ х3 |
- Зх4 |
+ х5 |
=0; |
Пример 1.10. Найти фундаментальную систему решений < х, |
|
|
+ х< = 0; |
|
хх + 1х2 |
+ хъ |
- 4Х4 |
+Х5 |
=0. |
Решение. Как в предыдущем примере, проведя элементарные преобразования над строками, получим решение системы
10
V |
|
|
|
|
г. |
(2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
*2 |
|
|
0,2С2 |
|
0 |
0 , 2 |
0 |
х = *3 = |
|
Q |
|
1 +с2 |
0 + С 3 |
0 |
|
*4 |
|
|
Q |
|
0 |
1 |
0 |
V*5 J |
К |
с |
J |
\ 0, |
|
|
|
|
|
|
|||||
где С,, С2, С3 — произвольные постоянные. |
|
|
|
|
|||
f-r |
Г2,6N |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,2 |
0 |
|
|
|
|
Тогда матрицы-столбцы |
1 9 0 |
? 0 |
образуют фундаментальную систему решений. |
||||
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
, |
0У |
|
|
|
|
|
|
2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
2.1. Векторы. Операции над векторами
Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается АВ (или одной буквой а, Ъ, ...). Длина отрезка АВ называется длиной или модулем вектора АВ и обозначается | АВ , |а|. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором
иобозначается 0 или просто 0. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором
иобозначается г.
Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а , называется ортом вектора а и обозначается а0. Два ненулевых вектора называются противоположными, если они имеют одинаковую длину и противоположные направления. Вектор, противоположный а, обозначается -а (вектор, противоположный АВ будет ВА, т.е. ВА = - АВ).
Векторы атлЪ называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых, записывают а \\Ь. Три вектора называют компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Суммой двух векторов а и b называется вектор с, соединяющий начало вектора а с концом вектора b, отложенного от конца вектора а (правило треугольника).
а + Ъ = с.
Замечание. На векторах а и Ъ можно построить параллелограмм, в котором одна диагональ будет их суммой АС - а + Ъ, вторая - разностью BD = b - а . Такой способ сложения и вычитания векторов называется правилом параллелограмма.
11
Произведением вектора аФ О на число Я Ф 0 называется вектор Яа, который имеет длину | Я | • | а | и вектор Яа имеет направление вектора а , если Л> 0 и противоположное направление, если
Л< 0.
Углом между векторами а и b называется наименьший угол ф, на который нужно повернуть один вектор, чтобы он совпал по направлению с другим вектором.
> а
Щ>аЪ
Проекцией вектора а на вектор b называется число, равное длине | а | умноженное на cos(р.
Обозначается прab - | а | • cos (р .
Для ненулевых векторов возможны три варианта произведений.
1. Скалярное произведение - (a, b^ = а -Ь .
2. |
Векторное произведение - |
bJ = а х b . |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Смешанное произведение трех векторов - abc = {a, |
b, cj . |
|
|
|
|
|||
|
Скалярным произведением двух векторов а и b называется число, равное произведению длин |
||||||||
этих векторов на косинус угла ф между ними, т.е. I a, |
. |
_ |
_ |
_ |
|
(а, |
б) |
||
b) = а • b =| а | • | b | • cos (р |
cos q> - 4 = — J - . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m-I&I |
|
|
Таким образом {a, b) = \b |
а = | а |-пр_ b |
. Например, (а, |
а} =| а \ -\а \ • cosO0 |
= | а |
|2. |
|||
|
Векторным произведение неколлинеарных векторов а иЬ |
называется вектор с |
^с |
b j, |
|||||
определяемый условиями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) вектор с перпендикулярен векторам а и b, т.е. с _L а , |
с |
Lb; |
|
|
|
|
|||
2)длина вектора с равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ъ как на сторонах, т.е. с =| а | -\Ь | • sinij? ;
3)векторы а ,Ь , с образуют правую тройку, т.е. при наблюдении из конца вектора с кратчайший поворот от а к Ъ виден против часовой стрелки.
Пример 2.1. Даны два вектора а и Ъ, для которых | а |= 2, \Ь\ = 6 |
и угол между ними равен — |
||||
Найти площадь параллелограмма, построенного на этих векторах |
6 |
||||
|
|||||
Решение. S = axb |
— |
— |
. 7t |
(кв.ед.). |
|
= \а\ |
-\Ь\ |
• sin<p = 2-6- sin—= 6 |
|
||
|
|
|
6 |
|
|
Смешанным произведением |
трех векторов a b c |
называется |
число, равное скалярному |
||
произведению ^а, bJ на вектор с. Обозначается ab с (a b с = j^a, bJ , с ).
Геометрически модуль смешанного произведения интерпретируется как число, равное объему параллелепипеда, построенного на векторах а , b и с как на ребрах ( a b c >0, если данные векторы
образуют правую тройку, a b c <0, если - левую). Объем пирамиды равен — a b c
6
Два вектора ортогональны, если угол между ними равен 90°. Нулевой вектор ортогонален любому вектору.
Необходимое и достаточное условие ортогональности. Два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е.
(a, b) = 0 o | a | - | f e | • cos^? = 0 <=> cos^> = 0 <=> = у .
12
Необходимое и достаточное условие коллинеарности. 1). Два ненулевых вектора а и Ъ колли-
неарны тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т.е. Ъ = Яа, где Я - произвольное |
число, |
отличное от нуля. 2). Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их |
= О |
(площадь параллелограмма равна нулю).
Необходимое и достаточное условие компланарности векторов. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю (объем параллелепипеда равен нулю).
2.2. Действия над векторами, заданными в координатах
Если i, j, к - орты координатных осей прямоугольной системы координат Oxyz, то любой вектор а единственным образом можно представить в виде их суммы (линейной комбинации) с коэффициентами
а, а , а2\ a = ax-i+ a - j + az-к (рис. 1)
М{а*>ау> аг)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
|
ОМ = ОМ |
О |
+ ММ |
|
= ОМ, + ОМ, + MM =a-i+a-i |
у J |
+ |
ak; |
|||||||||
|
|
|
О |
|
1 |
|
Z |
О |
X |
|
|
2 ' |
||||
|
|
|
2 + а.2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь ах, ау, аг |
- координаты вектора а = ОМ |
=г |
(г |
- радиус-вектор точки М). |
||||||||||||
Если А(ах, |
ау, |
az) |
|
и B(bx, |
by, bz), |
то координаты вектора АВ вычисляются по формуле |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB = (bx-ax> |
|
by-ay,bz-a2). |
||||
Орты (единичные |
векторы) |
i, |
j, |
к |
называются |
базисными (ортонормированными) векторами |
||||||||||
(! i 1=17 |
|
=1. i-Ly, |
i-Lk, |
j |
1 |
к). |
|
|
|
|
|
|||||
Пусть даны два вектора а(ах, |
ау, az) |
и b(bx, |
by, |
bz) , тогда: |
|
|||||||||||
1) |
a+b |
= (ax + bx, |
ay + by, |
a2 |
+ |
b2); |
|
|
|
|
|
|||||
2) |
a-b = (ax-bx, |
|
ay - by, az |
|
~bz); |
|
|
|
|
|
||||||
3) |
Xa=(Xax, |
|
Xay, |
Ла2); |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) |
(a, |
b) = (ax |
|
|
bx+ay-by+a2-b2). |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
(a, |
b) |
|
|
ax-bx+ay-by+ |
az-b2 |
|
|||
Следовательно, cos (p = -=—=• |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
13
|
|
i |
j |
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
[a,b\ |
= ax |
ay |
аг = (aybz |
- |
агЬу)i |
+ {azbx |
- |
axbz)j |
+ (axby - aybx)k; |
|
||||
|
|
К |
Ъу |
bz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
a, b, |
с = |
X |
У |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
by |
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
сх |
су |
сz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2.2. Даны вершины пирамиды |
А(5; 1; -4), |
5(1; 2; -1), С(3; 3; -4), S(2; |
2; 2). Найти длину |
||||||||||||
высоты, опущенной из вершины S на грань ABC. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Так как объем V пирамиды равен — Soch п , то |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h = 3F |
, где h =| SO | - высота пирамиды, S0CH, - площадь |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Soc„. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
основания. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АВ = (1-5; 2-1; - 1 + 4) = (-4; 1; 3), |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АС=(-2; |
2; 0), |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A S = ( - 3 ; |
1; 6). |
|
|
||
Находим объем пирамиды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
- 4 |
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
K - I AB AC |
AS = —mod - 2 |
|
2 |
' 0 = —1-48 + 0 - 6 |
+18 - |
0 + 12| = - | - 2 4 1 = 4 (куб.ед.). |
|||||||||
|
6 |
|
|
6 |
- 3 |
|
1 |
6 |
6 |
|
|
|
|
6 |
|
Находим площадь основания |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
i |
J |
к |
= 1|-б/ |
-6j |
- |
6к\ = ^л/(-6)2 + (-б)2 + (-б)2 |
|
|||
•Ясн =^\[АВ, ^C]| = |
|
- 4 |
1 |
3 |
= 1бл/з = ЗлЯ (кв.ед.) |
||||||||||
imod |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
- 2 |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляем в формулу А = |
3F |
_ 3-4 _ 4л/з |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
5ос |
"3л/3~ 3 |
|
|
|
|
|
|||
2.3. Прямая
Нормальным вектором прямой называется любой вектор, перпендикулярный прямой. Направляющим вектором прямой называется любой вектор, лежащий на этой прямой.
2.3.1. Прямая на плоскости. Различные виды прямой
Каждая прямая на плоскости Оху определяется линейным уравнением первой степени с двумя неизвестными.
1.Общее уравнение прямой. На плоскости Оху составим уравнение прямой I, проходящей через
точку М0(ха, у0), с нормальным вектором п-(А, В) (рис.2).
14
Возьмем произвольную точку М(х, у), лежащую на
|
прямой I. |
|
|
|
|
п(А, В) |
М0М ( х - х о , у - уо ) . М0М _L п (по |
определению |
|||
нормального вектора). |
|
|
|||
|
|
|
|||
|
Следовательно, |
их |
скалярное |
произведение |
|
> * |
(п, МоМ) |
= 0. В координатной форме это равенство |
|||
|
пример вид: |
|
|
|
|
|
А(х-х0) |
+В(у-уо) |
= 0 |
<=> Ах + By + Ах0 - Ау0 -0 о |
|
|
о Ах + Ву + С- |
0, где С = - Ах0 - Ву0. |
|||
Уравнение Ах + By + С = 0 называется общим уравнением прямой, где А и Вне равны одновременно
нулю (А2 |
+ В2 # |
0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
В Ф 0, |
то |
уравнение |
можно |
представить в |
виде уравнения с |
угловым |
коэффициентом |
|||||||
у = кх + Ь, где |
к = |
А ; b = |
С |
{к = tg<p, где ф - угол наклона прямой к оси Ох). |
|
|
|||||||||
|
|
|
В |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0, |
у0), |
с направляющим вектором s = (т, п) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Строим чертеж (рис.3). |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Пусть М(х, у) - произвольная точка прямой /. Тогда |
||||||||
|
|
|
|
|
|
вектор |
МоМ(х-хо, |
у —Уд) коллинеарен |
вектору |
||||||
|
|
|
|
|
|
s = (т, |
я). |
Следовательно, |
их |
координаты |
|||||
|
|
|
|
|
|
пропорциональны, т.е. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_У~Уо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
п |
каноническим |
||
|
|
|
Рис.3 |
|
|
|
Такое |
уравнение называется |
|||||||
|
|
|
|
|
уравнением прямой. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из этого уравнения следует параметрическое уравнение прямой |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
= У~Уо |
• t |
О |
\х = х0+ |
mt; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
п |
|
|
\y = |
y0+nt- |
|
|
|
|
|
3. Уравнение прямой, проходящей через две |
точки Мх(хх, ух), |
М2(х2,у2). |
В |
качестве |
|||||||||||
направляющего вектора прямой можно взять вектор |
s = МХМ2 |
(х2 |
у2 ->",) • |
Тогда |
искомое |
||||||||||
уравнение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
=У-Ух
Х2~ХХ У2 У\
Пример 2.3. Вершины треугольника находятся в точках А(2; 2), В(1, -2), С(-1, 0). Найти проекцию
точки А на ВС.
Решение. Строим чертеж (рис.4). Проекция точки А на ВС есть точка пересечения основания ВС с высотой АН. Составим уравнение прямой ВС по двум точкам
15
х — хВ |
_ У-Ув |
•1 |
у - (-2) |
х — 1 у + 2 |
2(х -1) = -2(у |
+ 2) =>л:-1 = ->>-2 |
||
Xп |
Ус-Ув |
- 1 - 1 |
0 - ( - 2 ) |
- 2 |
|
|
|
|
=> л: + |
+1 = О |
- общее уравнение прямой ВС. |
|
|
|
|
||
Так как АН |
!_ СВ, следовательно, скалярное произведение [ВС, АН) = 0. |
|
||||||
|
|
|
|
АН(х-2, |
у-2) |
и ВС(-1-1; |
0 - ( - 2 ) ) = 5С( - 2; 2). |
|
|
|
|
|
(5С; АН) |
= 0, следовательно, |
|
|
|
|
|
А (2; 2) |
- 2 ( х - 2 ) + 2(>>-2) = 0 => - 2% + 2>> = 0 => - x + j/ = 0 |
|||||
|
|
|
|
- общее уравнение АН. |
|
|
||
|
|
|
|
Для нахождения координат точки Н решим систему |
||||
|
|
|
|
f х + у = -1; |
(2у = -1; |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
[-jc + j/ = 0. |
[ х = у. |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
Ответ. Н |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.3.2. Прямая в пространстве. Различные виды прямой |
|
|
|
|||||||||
Уравнение прямой /, проходящей через М0(х0, |
y0,z0), |
|
с направляющим вектором |
s = (m, |
п, р) в |
|||||||||
пространстве Oxyz составляются аналогично прямой в пространстве |
Оху. |
|
|
|
|
|||||||||
Строим |
чертеж |
(рис.5). |
Пусть М(х, у) |
- произвольная |
точка |
прямой |
/. |
Тогда |
вектор |
|||||
|
х-х. |
у —у. |
|
z — zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М0М ||5 |
т - - |
|
= |
- . Такое уравнение называется каноническим уравнением прямой. |
||||||||||
|
|
|
|
|
Параметрическое уравнение прямой примет вид |
|||||||||
|
|
|
|
|
= У-Уо =z~z0 |
=t |
^х-х0 |
=t_ у-у0 |
= |
|||||
|
|
|
|
|
т |
|
п |
|
р |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
z-z„ |
|
|
х = х0 |
+ mt\ |
|
|
|
||
s - (т,п, р) |
|
|
|
t |
О |
\y |
= y0 |
+ nt\ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
>У |
|
|
|
z = z0 |
+pt. |
|
|
|
||
|
Рис.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уравнение прямой, проходящей через две точки Мх {хх, ух, zx) |
и М2 (х2, |
у2, z2) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
х — хх |
у — уJ z — zx |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
хг — хх |
у2 — ух |
|
z2 — Z, |
|
|
|
|
|
|
|
Общее уравнение прямой в пространстве задается как линия пересечения двух плоскостей.
2.4. Плоскость
Плоскость в пространстве можно задать разными способами: тремя точками; точкой и вектором, перпендикулярным плоскости. В зависимости от этого рассматриваются различные виды ее уравнение.
1. В пространстве Oxyz составим уравнение плоскости р, проходящей через точку Мо[х0, у0, zo)
перпендикулярно нормальному вектору плоскости п = (А, В, С) (рис.6).
16
А
t |
п = (А, В, |
С) |
м0 |
Q . |
ЛЛ(х, у, z) |
О
Рис. 6
Возьмем любой точку М(х, у, z), лежащую на плоскости р. Векторы М0М и и перпендикулярны. Следовательно, скалярное произведение этих векторов равно нулю, т.е. ( М 0 М , п) = О или в координат-
ной форме A(x-x0) |
+ B(y-yo) |
+ C(z-zo) |
= 0. |
Уравнение Ax + By + Cz + D-0, |
где А, |
В, |
С не равны |
|||||
одновременно нулю (А2 + В 2 + С2 ф 0) называется общим уравнением плоскости. |
|
|
||||||||||
2. |
Уравнение |
плоскости, |
проходящей |
через |
три |
точки |
Мх (лг15 ух, |
z,), М2 |
(x2, у2, z2), |
|||
Мг |
(х3, у3, z3 ), не лежащие на одной прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть М(х, у, z) |
- произвольная точка плоскости, |
тогда |
векторы |
МХМ = ( х - х , ; у-ух; |
z - z , ) , |
|||||||
МХМ2 =(х2 - х , ; у2 |
—у}; z2 - z , |
) М2МЪ |
=(х3 |
-х,; у3 |
- у,; |
z3 - z , ) |
компланарны, а, следовательно, |
|||||
их смешанное произведение равно нулю, т.е. МУМ МХМ2 М2МЪ |
- 0. В координатной форме запишется |
|||||||||||
так: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у-ух |
z - z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У2 У\ |
Z1~Z\ |
0. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Уг~У\ |
z3~zi |
|
|
|
|
|
||
Это и есть уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Задачи на прямую и плоскость: пусть заданы две непараллельные плоскости, заданные общими уравнениями. В этом случае плоскости пересекаются по прямой, определяемой общими уравнениями
прямой.
jAjX + Вху + C,z + -О, = 0; |
|
[А^х + B2y + C2z + D2 |
= 0. |
Замечание. Одна и та же прямая может быть задана различными системами двух линейных |
|
уравнений, т.к. через одну прямую можно провести бесчисленное множество плоскостей. |
|
\х + 2у — Ъг + 2 = 0, |
привести к каноническому виду. |
Пример 2.4. Общие уравнения прямой < |
|
[2x-2>' + z - 5 = 0. |
|
Решение. Для решения этой задачи надо знать какую-либо точку прямой и ее направляющий вектор s . Выберем точку на прямой следующим образом: положим z = 0, тогда для определения абсциссы х и
ординаты у этой точки получим систему уравнений <\х + 2у + 2 = 0; |
|
[2х-2у-5 |
= 0. |
3 |
3 |
Решая систему, находим х = \, у = -— . Итак, на прямой известна точка (1; — —; 0). Направляющий |
|
вектор прямой находим по формуле s = ^пх; п2 (пх \п2 - |
векторы нормалей плоскостей), так как он |
принадлежит обеим плоскостям и, сле^ов^телщо,.удощ^рордеху£дол^гям 5 и,, s _L п2 .
17
' = (1; 2; |
-3); |
п2 =(2; |
- 2; |
l): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/ |
j |
к |
|
2 |
-3 |
-3 |
1 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s = 1 |
2 |
- 3 = i • |
+ к- |
= -4г -7j~6k, |
|
т.е. 5 = (-4; -7; -6). |
|
|
||||||||||||||||
-2 |
1 |
1 2 |
2 |
-2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
2 |
- 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда канонические уравнения прямой имеют вид: |
х-1 |
|
|
о |
- |
z - О |
или |
х - 1 |
2. = Д |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
- 7 |
|
- 6 |
|
|
6 |
||||||||||||||||
искомые уравнения прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2.5. Угол между двумя прямыми на плоскости и в пространстве |
|
|
|||||||||||||||||||
Пусть |
sx=(mx, |
пх, р}) |
И52=(т2, |
и2, р2) |
- направляющие векторы двух прямых в пространстве. |
|||||||||||||||||||
Угол между двумя прямыми есть угол между их направляющими векторами, т.е. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
V2 |
|
|
тхтг +пхп2 + рхр2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|j2 | |
-Jmf + «f + р\ |
-^m2+n2 |
+ p\ |
|
|
|
|
|
|||||||||
Тогда на плоскости |
=(w,, |
и,, p() |
и s2 |
= (m2, |
и2, p2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
cos <p- |
|
m, m2 + «j, и2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
yjmf+n* |
•4m2 |
+пг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
— |
|
|
m, |
и, |
|
p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие параллельности двух прямых: s, || s2, |
т.е. —- = — = —-. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т2 |
п2 |
|
р2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие перпендикулярности двух прямых: |
|
|
|
(5,, s2) = 0, |
т.е. тхт2 + гi,n2 + рхр2 |
= 0. |
||||||||||||||||||
Угол |
между |
двумя |
плоскостями |
есть |
угол |
|
между |
их нормальными векторами. |
Пусть |
|||||||||||||||
пх=(Ах, |
Вх, |
С,) |
и п2 - |
(А2, |
В2, С2) |
- нормальные векторы двух плоскостей в пространстве, тогда |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cosq> =("1**2) _ |
|
АхА2+ВхВ2 |
+ СхС2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V42+Bi + с,2 ^4+В}+С22 |
|
' |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ — |
— |
|
|
А, |
|
Вх |
|
Сх |
|
|
|
|
|
||
Условие параллельности двух плоскостей, и, || п2 |
, т.е. — |
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Условие перпендикулярности двух плоскостей. пх |
|
± п2 <=> {пх, п2) = 0, т.е. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
АхА2 + ВхВ2 + СхС2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2.6. Угол между прямой и плоскостью в пространстве |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х — х |
|
у — у |
|
Z — Z |
|
|
|
|
|||
Пусть прямая / задана каноническими уравнениями |
|
т |
- = |
|
п |
|
= |
р |
|
, а плоскость р - |
общим |
|||||||||||||
уравнением |
Ax + By + Cz + D = 0 .Углом между прямой и плоскостью называется острый угол между |
|||||||||||||||||||||||
18