get_2 физика
.pdfn = |
N |
= |
m |
, |
(9.1) |
|
|
||||
|
N A |
M |
|
||
где |
N – количество молекул, N A – постоянная Авогадро, m – |
||||
масса вещества, M – молярная масса. |
|
||||
Относительная атомная масса ( Ar ) |
некоторого элемента – |
это отношение массы атома элемента к 112 массы атома углерода 12C .
Масса, равная 112 массы атома углерода 12C , называется атом-
ной единицей массы (1,0 а.е.м.=1,6 ×10−27 кг).
Единицей измерения количества вещества является один моль.
1 Моль – это такое количество вещества, в котором содержится столько структурных единиц (атомов, молекул или ионов), сколь-
ко их содержится в 0,012 кг углерода 12C .
Молярная масса – масса одного моля вещества, которая может быть определена по таблице Менделеева. Для этого необходимо из таблицы взять значение Ar для каждого из атомов, входящих в
состав молекулы данного вещества, умножить на число таких атомов в молекуле и сложить. Умножив полученное значение на 10-3,
получим |
молярную |
массу вещества, измеряемую в |
единицах |
||
кг/моль. |
К |
примеру, |
молярная |
масса |
воды: |
M (H 2O)= (1×16 + 2 ×1,0)×10−3 |
=18 ×10−3 кг/моль. |
|
|
Постоянная Авогадро ( N A ) – количество частиц, содержащихся в 1 моле вещества:
N A = 6,023 ×1023 моль-1.
Соотношение, определяющее связь между параметрами состояния какого-либо тела (системы), называется уравнением состояния этого тела (системы). В общем случае уравнение состояния тела (системы) можно записать в виде:
F(p,V ,T )= 0 . |
(9.2) |
101
Состояние идеального газа описывается уравнением Менде-
леева-Клапейрона:
pV = |
m |
RT Þ p = nkT , |
(9.3) |
|
M |
||||
|
|
|
||
где p – давление газа, V – объем газа, |
R – универсальная газовая |
постоянная, T – абсолютная температура.
Закон Дальтона: давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в ее состав газов:
p = p1 + p2 + ... + pn , |
(9.4) |
где p1 , p2 , … pn – парциальные давления газов смеси.
Парциальное давление – давление, которое оказывал бы газ из состава смеси при отсутствии других газов при той же температуре.
Концентрация молекул – число молекул в единице объема:
n = |
N |
= |
N Aρ |
, |
(9.5) |
|
V |
M |
|||||
|
|
|
|
где ρ – плотность газа.
Изопроцесс – процесс, при котором хотя бы один из термодинамических параметров (p,V ,T ) системы остается неизменным.
Для идеального газа справедливы экспериментально установленные три следующих газовых закона.
Закон Бойля-Мариотта (для изотермического процесса):
для данной массы газа при неизменной температуре произведение давления на объем является величиной постоянной:
pV = const . |
(9.6) |
Закон Гей-Люссака (для изобарного процесса): для данной массы газа при неизменном давлении отношение объема к абсо- лютной температуре является величиной постоянной:
V |
= const . |
(9.7) |
|
T |
|||
|
|
||
|
|
102 |
Закон Шарля (для изохорного процесса): для данной массы газа при неизменном объеме отношение давления к абсолютной температуре является величиной постоянной:
p |
= const . |
(9.8) |
|
T |
|||
|
|
10. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ (МКТ)
Основное уравнение МКТ связывает давление с кинетической энергией молекул:
p = |
1 |
nm0 áuкв |
ñ2 = |
2 |
náeпост ñ , |
(10.1) |
|||
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|||
где |
m0 |
– масса одной молекулы, |
áuкв ñ – средняя квадратичная |
||||||
скорость движения молекул, áeпост ñ |
– средняя кинетическая энер- |
||||||||
гия поступательного движения одной молекулы. |
|||||||||
Средняя квадратичная скорость молекул: |
|||||||||
|
|
|
1 N |
2 |
|
|
|
|
|
áuкв ñ = |
|
åui , |
(10.2) |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
N i =1 |
|
|
|
|
|
где ui – скорости отдельных молекул в некоторый момент време-
ни. Исходя из уравнений МКТ, средняя квадратичная скорость определяется также выражениями:
áuкв ñ = |
|
3kT |
|
= |
|
3RT |
|
. |
|
|
|||||||
|
|
m0 |
M |
Средняя арифметическая скорость молекул:
áuñ = N1 åN ui .
i=1
(10.3)
(10.4)
Выражение для средней арифметической скорости молекул можно представить и в виде:
áuñ = |
|
8kT |
|
= |
|
8RT |
|
. |
(10.5) |
|
|
||||||||
|
|
pm0 |
pM |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103 |
Средняя кинетическая энергия молекулы:
áeñ = |
i |
kT , |
(10.6) |
|
2 |
||||
где i |
|
|
||
– число степеней свободы. Под степенью свободы понимают |
число независимых координат, которыми может быть описано движение молекулы.
11. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И БОЛЬЦМАНА
Основу статистического описания систем, состоящих из множества молекул, составляют следующие предположения Мак-
свелла.
1.Газ состоит из большого числа N одинаковых молекул.
2.Температура газа постоянна.
3.Молекулы совершают тепловое хаотическое движение (с разными скоростями).
4.На газ не действуют внешние силы.
Функция распределения молекул по скоростям f (u)= dN(u)
Ndu
определяет относительное число молекул dN(u) , модули скоро-
N
стей которых лежат в интервале от υ до υ + dυ .
Распределение Максвелла молекул по скоростям уста-
навливает зависимость функции f ( υ ) от массы одной молекулы и температуры газа (рис. 2.1):
f (u)= |
dN(u) |
æ |
m |
0 |
ö3 2 |
u2 e−m0υ |
2 |
(2kT ) . |
|
|
|
|
= 4pç |
|
÷ |
|
(11.1) |
||||
Ndu |
|
|
|
|||||||
|
è |
2pkT ø |
|
|
|
|
Наивероятнейшая скорость молекул – скорость, соответст-
вующая максимуму функции распределения Максвелла (рис. 2.1):
uв = |
|
2kT |
|
= |
|
|
2RT |
|
. |
(11.2) |
|
|
|
||||||||
|
|
m0 |
|
|
M |
|
||||
Если |
ввести |
обозначение |
z = u uв , то распределение Мак- |
свелла по относительным скоростям записывается в виде:
104
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.1 |
|
y(z)= |
dN |
= |
4 |
|
z 2 e−z2 dz . |
|
|
|
|
(11.3) |
|||||||
N |
|
|
|
|||||
|
π |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Благодаря хаотическому тепловому движению молекулы газа равномерно распределяются по всему предоставленному ему объему только в том случае, если на молекулы не действуют внешние силы.
Если на тело (систему) действуют консервативные (потенциаль-
ные) силы, то говорят, что тело (система) находится в потенциальном поле сил.
В поле силы тяжести у поверхности Земли устанавливается динамическое равновесие, при котором концентрация молекул газов, составляющих воздух, у поверхности максимальна и экспоненциально убывает с высотой:
n = n0e−m0 gh (kT ) , |
(11.4) |
где m0 – масса молекулы. Эта зависимость справедлива при усло-
вии постоянства температуры газа, а также ускорения свободного падения по всей высоте и называется распределением Больцмана в поле сил тяжести.
Аналогичная зависимость для давления газа в поле силы тяжести носит название барометрической формулы:
105
p = p0e−m0 g (h−h0 ) (kT ) , |
(11.5) |
где h - h0 – разность высот, соответствующих давлениям p и p0 .
12. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА
Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно «сталкиваются» друг с другом. Столкновение в данном случае – процесс взаимодействия между молекулами, в результате которого они изменяют направление своего движения.
Средняя длина свободного пробега молекулы – среднее расстояние l , проходимое молекулой между двумя последовательными столкновениями:
álñ = u t = |
1 |
, |
(12.1) |
2pd 2 n |
где u – средняя арифметическая скорость молекулы, τ – сред-
нее время свободного пробега, d – эффективный диаметр молекулы, n – концентрация молекул.
Эффективный диаметр молекулы – минимальное расстоя-
ние d между центрами сближающихся при столкновении молекул (рис. 2.2), табличная величина.
Среднее число соударений молекулы за 1 секунду:
ázñ = |
2 |
pd 2 náuñ . |
(12.2) |
Рис. 2.2
Явления переноса – необратимые процессы в термодинамически неравновесных системах, при которых происходит пространственный перенос энергии, массы или импульса.
106
Диффузия – самопроизвольное проникновение и перемешивание частиц двух соприкасающихся веществ (перенос массы).
Явление диффузии описывается законом Фика: масса молекул,
диффундирующих через площадку dS за время dt в направлении, перпендикулярном площадке, прямо пропорциональна градиенту
плотности частиц ddxρ :
dm = −D |
dρ |
dSdt , |
(12.3) |
dx
где D – коэффициент диффузии.
Равенство (12.3) называется уравнением диффузии.
Диффузия приводит к перераспределению массы веществ по всему объему. Этот процесс продолжается до тех пор, пока градиент плотности не равен нулю (рис. 2.3).
Рис. 2.3
Теплопроводность – перенос энергии в сторону убывания температуры.
Явление теплопроводности описывается законом Фурье: коли-
чество теплоты, переносимое через площадку dS за время dt в направлении, перпендикулярном площадке, прямо пропорционально
dTdx :
107
dQ = −χ |
dT |
dSdt , |
(12.4) |
|
|||
|
dx |
|
где χ – коэффициент теплопроводности.
Уравнение (12.4) называется уравнением теплопроводности.
Процесс теплопроводности происходит до тех пор, пока существует градиент температуры.
В результате теплопроводности происходит выравнивание температуры по всему объему замкнутой системы (тела). Система переходит в состояние термодинамического равновесия.
Внутреннее трение (вязкость) – перенос импульса молекул из одного слоя жидкости или газа в другой. В результате слои вязкой среды с большей скоростью замедляются, а с меньшей скоростью – ускоряются.
Закон Ньютона: сила вязкого (внутреннего) трения, возникаю- щего при макроскопических движениях в газе или жидкости, пря-
мо пропорциональна градиенту скорости |
dυ |
и величине площади |
|||
dx |
|||||
соприкасающихся слоев S : |
|
||||
|
|
||||
F = η |
dυ |
S , |
|
(12.5) |
|
|
|
||||
|
dx |
|
|
||
где η – коэффициент внутреннего трения |
(динамическая вяз- |
кость).
Выражение (12.5) носит название уравнения вязкости или уравнения Ньютона.
Используя связь силы с импульсом, закон Ньютона для вязкого трения можно записать в виде:
dp = −η ddxυ dSdt , (12.6)
где dp – изменение импульса слоя, dt – промежуток времени, за
который произошло изменение импульса слоя.
Коэффициенты D , χ и η , входящие в законы, описывающие явления переноса, определяются параметрами системы.
108
Коэффициент диффузии: |
|
||||||
D = |
|
1 |
áuñálñ . |
|
|
(12.7) |
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
Коэффициент теплопроводности: |
|
||||||
c = |
1 |
c ráuñálñ = c |
|
h , |
(12.8) |
||
|
|
||||||
|
3 V |
V |
|
|
где cV – удельная теплоемкость среды при постоянном объеме.
Коэффициент внутреннего трения (динамическая вязкость):
h = |
1 |
ráuñálñ = Dr . |
(12.9) |
|
3 |
||||
|
|
|
13. ПЕРВОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ
Внутренняя энергия термодинамической системы – энер-
гия теплового движения и взаимодействия микрочастиц, составляющих систему. Внутренняя энергия – однозначная функция термодинамического состояния системы. Изменение внутренней энергии системы не зависит от способа перевода системы из одного состояния в другое, а зависит лишь от первоначального и конечного состояний термодинамической системы.
Внутренняя энергия идеального газа:
U = |
i |
|
m |
RT , |
(13.1) |
|
2 M |
||||||
|
|
|
где i – число степеней свободы молекулы.
Опыт показывает, что изменять внутреннюю энергию термодинамической системы можно двумя способами: совершением над системой работы или передачей ей количества теплоты.
Первое начало термодинамики – закон сохранения и превра-
щения энергии применительно к термодинамическим процессам –
количество теплоты δQ , переданное системе, идет на изменение
внутренней энергии dU и совершение работы δA против внеш- них сил:
109
δQ = dU + δA . |
(13.2) |
Если же работа совершается внешними силами над системой δA′ , то она принимается отрицательной: δA = −δA′ . В этом случае первое начало термодинамики можно представить в виде:
δQ = dU − δA′ . |
(13.3) |
Работа в термодинамике: |
|
δA = pdV , |
(13.4) |
где dV – изменение объема (рис. 2.4). В координатах |
p − V эле- |
ментарная работа газа δA представляет собой площадь соответствующей криволинейной трапеции.
Рис. 2.4
Работа, совершенная в течение термодинамического процесса, выражается соответствующим интегралом (рис. 2.4):
V |
|
|
A = ò2 |
pdV , |
(13.5) |
V1 |
|
|
где V1 |
и V2 |
– начальный и конечный объемы газа. |
Молярная теплоемкость – физическая величина, определяемая количеством теплоты, необходимым для нагревания 1 моль вещества на 1 К:
CM = |
δQ |
. |
(13.6) |
|
|||
|
νdT |
|
|
|
|
|
110 |