Теория вероятностей_методичка

1

k

1 k

2

m x2

X 2

(xâ )2 ,

D

x m

â

i i

i i

n i 1

n i 1

s2

n

D ;

D .

â

n 1

â

â

параметра называется состоятельной,

Оценка (x1, x2 , , xn )

если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру приУне-

ограниченном числе испытаний, т. е. для любого сколь угодно мало-

го > 0 выполнено предельное равенство

Т

lim P(

) 1.

n

Один и тот же параметр может иметь несколько оценок, которые

Н

обладают различными дисперсиями при ограниченном числе опы-

тов. Чем меньше эта дисперсия, тем меньше вероятность совершить

Б

ошибку при оценке параметра. Поэтому в качестве оценки берется

та, которая обладает минимальной д сперс

(эффективная).

ей

8.3. Интервальные оценки неизвестных параметров

распределения

и

Статистическая оценка называется интервальной, если она ха-

р

рактеризуется двумя случайными величинами: началом и концом

интервала. В качес ве

н

оценки используются довери-

ервальной

тельные интервалы.

т

Пусть является стат стической оценкой неизвестного парамет-

и

> 0 вероятность

P( )

ра . Т гда при некоторых

з

близка к единице, т. е. неизвестный параметр с вероятностью

накрывается интервалом

( ; ) . Вероятность называется дове-

о

рит льной вероятностью или надежностью оценки. Интервал, который

с заданнойпнадежностью накрывает неизвестный параметр, называется

дов рит льным интервалом.

е

Доверительный интервал для неизвестного математического

ожидания нормально распределенной СВ при известном среднем

Рквадратическом отклонении генеральной совокупности определя-

x t

a x t

,

â

n

â

n

где t – значение функции Лапласа (t) , при котором (t)

.

У

2

Если среднее квадратическое отклонение σ нормально распреде-

Т

ленной СВ неизвестно, но по результатам выборки вычислены

xâ и

s, то доверительный интервал для математического ожидания опре-

деляется неравенством

Н

Б

xâ t ,n

s

a x

â t ,n

s

,

n

n

где t ,n

находится из таблицы (приложение 5) по заданным значе-

ниям и n.

и

Доверительный интервал для среднего квадратического откло-

р

нения нормально распределенной СВйопределяется неравенством

sq1 sq2 ,

т

где q1, q2 определяю ся из

аблицы (приложение 6) по заданным

и ν = n – 1.

и

о

з

8.4. Статист ческая проверка гипотезы о нормальном

законов

распределении

Статистическ й на ывают гипотезу о виде неизвестного распре-

п

деления или

параметрах известных распределений. Важнейшим

среди

F (x)

.

распределения является нормальный закон распреде-

л ния

функцией распределения

1

x a

2

РНормальный закон распределения является предельным для ряда

Пусть F (x)

– функция распределения изучаемой СВ. Обозначим

через Но гипотезу о нормальном распределении СВ с функцией

1

x a

F0 (x)

, где а и – конкретные значения параметров

2

У

распределения. Для проверки гипотезы проводят серию из n незави-

симых испытаний.

В результате получают выборочную совокуп-

Т

ность x1, x2 , x3, , xn , по которой делают вывод о правильности ги-

потезы Но. Так как СВ может принимать бесчисленное множество

значений, то выборочная совокупность содержит неполную инфор-

мацию о законе распределения генеральной совокупности. По этой

Б

причине при проверке гипотезы Но может быть допущена ошибка.

Вероятность ошибочного отклонения правильной гипотезы Но

называется уровнем значимости. Обычно при проверкеНгипотезы

й

уровень значимости берут равным 0,001, 0,01, 0,05.

Одним из методов статистической проверки гипотезы о законе

ки

( 2 ) . Пусть

распределения является критер

й соглас я Пирсона

р

статистическое распределение выбо

задано в виде последова-

тельности

интервалов

о

соответствующих

частот

(xi ; xi

1)

mi

( mi – сумма частот, кот рые п падают в i-ый интервал).

т

. . .

xi ; xi 1

x1; x2

x2 ; x3

x3; x4

xk ; xk 1

mi

m1

m2

m3

. . .

mk

о

По результатамивыборки вычисляем выборочное среднее xâ

и

п

выбор чн е зсреднее квадратическое отклонение σâ . Предположим

(ги отеза

Н ), что СВ распределена

нормально с параметрами

a

â , â . Теоретическая функция распределения имеет вид

x

Р

е

1

x

x

F0 (x)

â

.

2

s

x

x

x

x

p p(x X x

)

i 1

â

i

â

.

i

i

i 1

s

s

Вычисляем теоретические частоты

m

np и вычисляем

2

i

i

íàáë

(статистику Пирсона):

Т

íàáë2

k (m m )2

У

i

i

.

Н

i 1

mi

Из таблицы критических точек распределения Пирсона

( 2 ) по

Б

заданному уровню значимости и число степеней свободы ν = k – 3

(k – число интервалов) определяем критическое значение

2 .

й

êð

2

Если

2 , то нет оснований отвергать гипотезу Н0 о нор-

íàáë

êð

инструмента до выхода за п еделыточности (в месяцах).

мальном

распределении

генеральной совокупности. Если

2

2

, то гипотеза Н0 о

твергается

с вероятностью ошибки .

íàáë

êð

Пример 8.1. Дано статистическое

аспределение срока службы

т

xi

– срок службы в мес.

20–25

25–30

30–35

35–40

40–45

о

mi

– частота

9

24

35

22

10

з

Требуется:

1) п стр ить лигонп

и гистограмму относительных частот (ча-

3)прдполагая, что СВ распределена по нормальному закону,

стостей);

2)

виду п лигона и гистограммы и,

исходя из механизма об-

е

разованияоисследуемой СВ, сделать предварительный выбор закона

рас р д ления;

Р

1

k

1

Т

a xâ

xi mi

(22,5 9 27,5 24 32,5 35

У

n i 1

100

Н

37,5 22 42,5 10) 32,51.

n

Б

2

2

â s

X

xâ

.

n 1

1

k

2

1

2

2

2

2

2

X

xi

mi

и

32,5

35 37,5

22

(22,5

9

27,5

24

n i 1

100

р

99

42,52

10)

1086,75.й

о

32,512 5,49 .

s

т

100 1086,75

Запишем гипоте

чную функцию распределения

з