metodichka . физика
.pdfМоли разных газов содержат одинаковое число молекул, называемое числом Авогадро NA= 6,023-10^^ моль"'.
Величину М, равную отношению массы газа m к количеству
lyf
молей V, содержащихся в нем М = — , называют молярной мае-
V J
сой газа, поэтому
N
V =
М Д
Закон Дальтона: давление смеси газов равно сумме их парциальнных давлений:
Барометрическая формула, выражающая убывание давления га-
за с высотой h над поверхностью Земли;
Mgh
|
р = р,е |
, |
где Pqдавление на высоте h = О, Т - |
температура газа, g - ускоре- |
|
ние силы тяжести. |
|
|
Средняя квадратичная скорость: |
|
|
,2 |
, ,,2 |
|
где Vj (i = 1, 2, ... N) - |
скорость i-ой частицы, N - число частиц в |
|
газе. |
|
|
Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов:
P = | n ( e ) = ^nm„(v,„ у,
где п ~ число молекул в единице объема (концентрация молекул),
=- средняя кинетическая энергия поступательного
движения одной молекулы. Для однородного по составу частиц газа
51
где гпд - масса одной частицы газа. Для смеси идеальных газов
П = til + П2 + ... + п^.
Зависимость средней кинетической энергии поступательного движения молекул от температуры
(Е„) = (3/2)кТ, где к - постоянная Больцмана, равная
к = — = 1,38-10'" Дж/К,
N A
Среднеквадратичная скорость поступательного движения молекул газа:
3RT ЗкТ
М^ т .
Наиболее вероятная скорость молекул:
V B - |
2кТ |
2RT |
|
т , |
V М |
||
|
Средняя арифметическая скорость поступательного движения молекул идеального газа:
8RT 8кТ
( v ) = TiM
Зависимость давления газа от концентрации п молекул и температуры Т
р = п кТ.
Числом степеней свободы i называется число независимых величин, с помощью которых может быть задано положение тела или частицы в пространстве. Для молекул одноатомного газа i - 3 (три поступательные степени свободы), двухатомного газа i = 5 (три поступательные и две вращательные степени свободы), трех- и более
52
атомных газов i = 6 (три поступательные и три вращательные степени свободы).
Средняя кинетическая энергия (поступательного и вращательного движения) молекулы
( О ^ к Т .
Среднее число столкновений, испытываемых одной молекулой за секунду,
(z) = V2 |
n(v), |
где d - эффективный диаметр молекулы, п - концентрация молекул.
Общее число столкновений всех молекул друг с другом в единице объема за единицу времени
Средняя длина свободного пробега молекулы
Уравнение диффузии (закон Фика):
dm = - D ^ d S d t , dx
где — - градиент плотности, dm - масса, переносимая при диффуdx
ЗИН за время dt через малую площадь dS, расположенную перпендикулярно к оси ОХ, вдоль которой осуществляется перенос; D -
диффузия (коэффициент диффузии).
D = i ( v ) ( X ) .
Сила внутреннего трения в жидкости (газе), действующая на элемент поверхности слоя dS
53
dx
где г| - динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения)
dv
изменение скорости движения слоев на единицу длины в на-
dx
правлении нормали к поверхности слоя, р- плотность газа или жидкости.
Уравнение теплопроводности (закон Фурье): dQ = - K — d S dt,
dx
где dQ - количество теплоты, проходящей при теплопроводности за время dt через площадь dS, расположенную перпендикулярно к оси ОХ, в направлении которой осуществляется перенос тепла; К -
теплопроводность (коэффициент теплопроводности), dT/dx - градиент температуры.
Су - удельная теплоемкость газа а изохорическом процессе.
Первое начало термодинамики: количество теплоты, сообщенное системе, идет на увеличение ее внутренней энергии и совершение системой работы над окружающими телами
Q = AU + А.
Изменение внутренней энергии для идеального газа
М 2 Молярная теплоемкость измеряется количеством теплоты, необ-
ходимым для нагревания одного моля вещества на один Кельвин:
v d T ' где V = т/М - количество вещества.
54
Удельная теплоемкость измеряется количеством теплоты, необходимым для нагревания единицы массы вещества на один Кельвин, т.е.
^ m dT •
Связь между удельной и молярной теплоемкостями с = С/М.
Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном объеме Cv = iR/2.
Молярная теплоемкость идеального газа при постоянном давлении
C p - C v + R |
= (i + 2)R/2. |
Внутренняя энергия идеального газа |
|
М 2 |
М |
При элементарном изменении объема газа совершается работа dA = pdV,
В произвольном термодинамическом процессе V3
А= J р dV. V!
Работа идеального газа при изобарном процессе
A = p(V . - Vi) .
Работа идеального газа при изотермическом процессе
МV I
Уравнение Пуассона для адиабатического процесса в идеальном газе
pV ^ = const, T V = const, Т"' р = const,
где у = Ср/Суотношение молярных (или удельных) теплоемкостей газа при постоянных давлении н объеме.
Работа идеального газа при адиабатическом процессе выражается следующими формулами:
55
1за |
|
(Tj-T^), |
|
A - - A U = ~ C v |
|||
М |
|
V •.Т L |
|
, m Ю- |
|
|
|
Л = — |
1 - |
vT |
|
М у - 1 |
|
I |
|
|
|
|
Коэффициент полезного действия тепловой машины
Г', = А |
Q i - Q . |
L,- |
Q, |
Q, |
T, • |
где A - работа, совершенная рабочим веш,еством в течение цикла, Qi - количество теплоты, полученное от нагревателя за это время рабочим веществом, Q2количество теплоты, отданное им при этом холодильнику, Ti и Т2 - наивысшая и наинизшая температуры рабочего вещества.
Знак равенства в формуле для г] относится только к машине, работающей по циклу Карно.
Изменение энтропии тела в любом обратимом процессе, переводящем его из состояния А в состояние В, равно
dQ
^В -
где dQ ~ элементарное количество теплоты, полученное телом при температуре Т.
Второе начало термодинамики: энтропия замкнугой системы при любых происходящих в ней процессах не уменьшается - она возрастает при необратимых процессах и остается постоянной в случае обратимых процессов, т.е
AS>0.
56
Примеры решения задач по статистической физике и термодинамике
Пример 1. Вычислить, какое число молекул кислорода содержится в сосуде объемом V = 1 л при нормальных условиях. Найти массу m кислорода в сосуде, а также массу Шо одной его молекулы. Чему равна внутренняя энергия U этого газа?
Решение: Молярная масса кислорода М=0,032 кг/моль, поэтому масса одной молекулы кислорода
т„ = М ,
где NA= 6,02-10^^ моль~' - число Авогадро. Следовательно
кг = |
5 , 3 2 - к г . |
" 6,02-10'-' |
|
Уравнение состояния идеального газа имеет вид |
|
р = пкТ, |
(1) |
где при нормальных условиях давление р |
= 1,01310' Па и темпера- |
тура Т = 273,15 К; к = 1,3810"^^ Д ж / К - |
постоянная Больцмана. |
Поскольку концентрация молекулN |
(2) |
|
где N - число молекул в объеме V = 1 м ^ , то из (1) и (2) следует, что
Следовательно, |
|
кТ |
|
|
|
|
|
,, |
1,013 • 10= • 10"^ |
= 2,7 • |
,^22 |
N = — |
молекул. |
||
|
1,38-10""-273,15 |
|
Масса газа равна массе всех его молекул, т.е.
57
m = Nrrio,
поэтому
т = 2,7-5,32-10-Чг = 1,44г.
Внутренняя энергия заданной массы идеального газа равна
2 М
где R = 8,31 Дж/(моль К) - молярная газовая постоянная; i = 5 - число степеней свободы жесткой двухатомной молекулы кислорода. В результате вычислений получаем
Ответ: N = 2,7-10^'; m = 1,44 г; Шо = 5 , 3 2 - к г ; U = 255 Дж.
Пример 2. Плотность кислорода в сосуде р = 0,06 кг/м\ а среднеквадратичная скорость его молекул (v^^^ = 500 м/с. Найти давление
р, которое оказывает газ на стенки сосуда, а также температуру Т газа и концентрацию п его молекул.
Решение: Согласно основному уравнению молекулярнокинетической теории газов
р = |
(1) |
где Шр - масса молекулы кислорода. Учтем, что р = пШо. С учетом, этого соотношения выражение (1) принимает вид:
откуда получаем следующий результат:
р = ^0,06-500^ Па = 5кПа.
Для среднеквадратичной скорости справедливо следующее соотношение:
58
( |
y |
j - i ^ . . |
|
где R = 8,31 Дж/(моль К) |
- |
молярная газовая постоянная, |
М = |
= 0,032 кг/моль - молярная |
масса молекулярного кислорода. |
Воз- |
ведем равенство (2) в квадрат и получим из него окончательное выражение
3R
Врезультате вычислений получаем
^^ 0,032.25-10- К = 321К. 3-8,31
Давление газа связано с концентрацией его молекул следующим
соотношением: |
р = п к Т, |
|
|
||
где к = 1,3810"^^ Дж/К - |
постоянная Больцмана. С учетом этого |
|
соотношения |
|
|
|
|
кТ |
Вычисление приводит к итоговому результату: |
||
п = — |
— |
= 1 , 1 3 м - ^ |
1,38-IQ-^^-321 |
||
Ответ: р = 5 кПа; Т = 321 К; п = |
13-10^' м"'. |
|
Пример 3. В одном баллоне объемом V] = 15 л находится газ под |
||
давлением pi = 0,2 МПа, |
а в другом - тот же газ под давлением |
Р2 = 1 МПа. Баллоны, температура Т которых одинакова, соединены тонкой короткой трубкой с краном. Если открыть кран, то в обоих баллонах устанавливается давление р = 0,4 МПа. Каков объем V2 второго баллона?
59
Гсшение: Обозначим V] - количество газа в первом баллоне, а Vj - количество газа во втором баллоне до открытия крана. Из уравнения состояния идеального газа
pV = vRT |
|
(1) |
следует, что значения Vi и Vj равны: |
|
|
|
|
(2) |
' RT |
^ |
RT |
После открытия крана общее количество вещества v будет попреж11ему равным
V = ' |
' = |
RT |
( 3 ) |
а полный объем |
|
|
|
V = V , + V 2 . |
|
( 4 ) |
При этом парциальные давления указанных порций газа станут согласно (1) равными
„ ' - M l Г.)
Поскольку температура Т остается неизменной, то для решения задачи мы можем воспользоваться законом Дальтона, согласно которому в соответствии с (2)-(5)
^^ |
+ |
v,+v. |
(6) |
V |
|
Заменив в равенстве (6) согласно с (4) V, = V - V;, получаем равенство, из которого выражаем искомую величину, а именно
Р2-Р
После численных, расчетов получаем:
V, = Q.Q 15 - • |
" ^ • |
м^ ^ 0,005м^ ^ 5л. |
Ответ: V, = 5 л.
60