DIF_calc_2013

10 Глава 1. Элементы теории множеств

Пример 1.9. С помощью логической символики записать привед¨енные ниже высказывания и их отрицания:

а) множество X ограничено сверху;

б) число m есть наименьший элемент множества X; в) множество X имеет наименьший элемент.

Решение. а) Данное высказывание обозначим через A, оно имеет место, если существует число M такое, что для x из X выполняется неравенство x M. Тогда

Отрицание высказывания , т.е. ¯, означает, что множество сверху не ограни-

A A X

чено. Другими словами, для любого числа M найд¨ется элемент x из X, который будет больше этого числа, что символически записывается в виде

♦ Эта же формула следует из отрицания импликации (1.8) в соответствии с законами Моргана.

б) Обозначим данное высказывание через B. Оно имеет место, если m принадлежит X и для любого элемента x их X выполняется неравенство m x. Тогда

B {(m X) x X(m x)}.

Отрицание высказывания , т.е. ¯, означает, что число не принадлежит мно-

B B m

жеству X или в этом множестве X существует элемент x, меньший числа m, т.е.

¯ {( ) ( ( ))}

B m / X x X m > x .

в) Данное высказывание обозначим через C. Оно имеет место, если в этом множестве X найд¨ется элемент, равный m и для которого все x из X удовлетворяют неравенству m x. Тогда

C {( m X) ( x X(m x))}.

Пример 1.10. Прочитать привед¨енные ниже высказывания для действительных чисел, выяснить их смысл и установить, истинны они или ложны:

a) {x(ax2 + bx + c > 0) (b2 − 4ac < 0)},

б) {x(ax2 + bx + c > 0) (b2 − 4ac < 0) a > 0}.

Решение. Первая запись означает: если квадратный тр¨ехчлен при всех x принимает только положительные значения, то из этого следует, что его дискриминант отрицателен. Это утверждение является истинным. Действительно, предположим противное: b2 −4ac 0, но в этом случае квадратный тр¨ехчлен имеет действительные корни, в которых он обращается в нуль. Сделанное предположение приводит к противоречию, доказывающему справедливость исходной импликации.

Вторая запись означает, что необходимым и достаточным условием того, что квадратный тр¨ехчлен при всех значениях x принимает только положительные значения, является выполнение неравенств b2 − 4ac < 0 и a > 0. Это утверждение также является истинным. Действительно, рассмотрим равенство

Тогда необходимость вытекает из утверждения а), в силу которого выражение в квадратных скобках (1.10) является положительным, и поэтому из утверждения ax2 + bx+ c > 0 следует неравенство a > 0. Достаточность очевидным образом вытекает из (1.10), поскольку из неравенств b2 − 4ac < 0 и a > 0 следует выполнение неравенства ax2 + bx + c > 0.

2.Основные понятия и определения

Как уже отмечалось, в математике существует набор простейших основных понятий, с помощью которых формулируются остальные понятия и определения. Основные понятия характеризуются правилами их употребления и свойствами объектов, им соответствующих. Корректность введ¨енных основных понятий необходима для построения непротиворечивой математической теории. К числу таких понятий относится понятие множества. Оно не определяется, но может быть пояснено при помощи свойств.

Кратко опишем свойства множества.

♦Для любого множества A и для любого элемента a справедливо одно из двух отношений: либо a A, либо a / A (a¯A).

♦Обычно множества задаются двумя способами:

1) перечисляются все элементы множества:

A = {a1, a2, ..., an};

такая запись означает, что множество A состоит из элементов a1, a2, ..., an; 2) указывается общее свойство P , присущее всем элементам множества:

A = {x|P (x)},

что означает: множество A состоит из элементов x, обладающих свойством P (x).

Пример 2.1. Задать множество натуральных чисел (N) от 1 до 100.

Решение. 1) Перечислим все элементы, входящие в это множество:

A= {1, 2, ..., 100}.

2)Определим это множество следующим образом: A = {x| x N, x 100}.

♦ Отметим, что второй способ является более общим, например, он позволяет задавать множество с бесконечным числом элементов.

Элемент a и одноэлементное множество {a} формально различаются в том, что утверждение a {a} – истинно, а {a} a – ложно.

Пусть A и B – два множества.

Множество A называется подмножеством множества B, если каждый элемент x, принадлежащий множеству A (x A), принадлежит также множеству

B (x B). Символ A B (или B A) означает, что A содержится в B (или B содержит A). Операция называется включением.

Множества A и B называются равными (совпадающими), т.е. A = B, если множество A содержится в B (A B) и одновременно множество B содержится

вA (B A).

♦Очевидно, что в этом случае множества A и B состоят из одних и тех же

элементов.

Множество A называется собственным подмножеством или правильной частью множества B, если множество A содержится в множестве B (A B) и

не совпадает с ним (A = B).

Множество A называется пустым множеством, если оно не содержит ни одного элемента и является подмножеством любого множества. Для обозначения

пустого множества используется символ .

Множество, фиксированное в рамках данной математической теории и содержащее в качестве элементов и подмножеств все объекты, рассматриваемые в этой теории, называется универсальным множеством, или универсумом, и обозначается U.

♦Примерами универсальных множеств являются: числовая ось в теории действительных чисел и множество всех точек плоскости в планиметрии, пространство событий в теории вероятности.

Операции над множествами

Пусть A и B – два множества. Данные ниже определения будем для наглядности иллюстрировать диаграммами.

Множество S, состоящее из всех элементов множеств A и B и только из них, называется суммой, или объединением, множеств A и B (рис. 1,a) и обозначается

S = A + B или S = A B.

Рис. 1. Объединение (a) и пересечение (б) множеств

Множество P , состоящее из элементов, принадлежащих как множеству A, так и множеству B, и только из них называется произведением, или пересечением, множеств A и B (рис. 1,б) и обозначается

P = AB P = A ∩ B.

Понятия объединения и пересечения двух множеств могут быть обобщены на конечное или сч¨етное количество множеств.

Пусть Aξ – набор множеств, нумеруемых параметром ξ, который является элементом некоторого множества Ω (ξ Ω). Последнее называют индексным мно-

жеством.

Множество S, состоящее из всех элементов множеств Aξ, ξ Ω, и только из них, называется суммой, или объединением, этих множеств и обозначается

Множество P , состоящее из элементов, принадлежащих каждому из множеств Aξ, ξ Ω, и только из них, называется произведением, или пересечением, этих множеств и обозначается

Пусть A, B и C – некоторые множества. Из определений непосредственно следует, что введ¨енные выше операции над множествами обладают следующими свойствами:

коммутативность

♦ Содержание сформулированных выше утверждений (2.1) – (2.5), как многих других теорем теории множеств, состоит в равенстве каких-либо двух множеств L и R (L = R). Доказательство подобных утверждений стандартно и состоит в проверке двустороннего включения: L R и L R, откуда следует L = R.

В качестве иллюстрации провед¨ем доказательство соотношения (2.4).

Доказательство. Обозначим

L := A ∩ (B C), R := (A ∩ B) (A ∩ C),

тогда, по определению, для всех x L справедливо

x A и x B C.

Для определ¨енности положим, что x B. Тогда x A∩B и, следовательно, x R. Таким образом, доказано, что L R. Обратно, для всех x R справедливо

x A ∩ B или x A ∩ C.

Для определ¨енности будем считать, что x A ∩ B, т.е. x A и x B. Тогда и подавно x B C, следовательно, x A ∩ (B C).

Таким образом, доказано, что R L. В силу доказанного двустороннего включения L = R. Аналогично доказывается (2.5).

♦ В дальнейшем будем приводить доказательства таких теорем и утверждений, лишь если они содержат нетривиальные моменты.

Множество M, состоящее из элементов множества A, не входящих в B, и только из них, называется разностью (рис. 2,а) множеств A и B и обозначается

M = A − B или M = A \ B.

Множество S называется симметрической разностью (рис. 2,б) множеств A и B, если

S ≡ A B = (A \ B) (B \ A).

Рис. 2.

Множество M называется дополнением множества M U, если

M= U \ M.

Совокупность попарно непересекающихся множеств Aξ называется дизъюнктной, если для всех ξ, ξ Ω справедливо

Двойственность

Математике, построенной на классической логике (в которой каждое утверждение может быть либо истинным, либо ложным), присуща двойственность (логическая симметрия) понятий и отношений. Она позволяет «удваивать» число теорем и делает теорию логически полной. Принцип двойственности состоит в замене всех понятий и отношений на двойственные, тогда из данной теоремы следует двойственная ей.

♦ Двойственность одних понятий и отношений может быть следствием двойственности других понятий и отношений. В теории множеств примерами двойственных отношений являются понятия, выражаемые символами и ∩. Например, отношение «M содержит L» двойственно отношению «M содержится в L». Другим примером двойственного отношения являются множество A и его дополнение в универсуме U: U \ A.

Примером двойственных друг другу утверждений могут служить законы дистрибутивности (2.4) и (2.5).

Другой пример двойственности дают следующие два утверждения. Пусть S – некоторое множество, а Aα S, где α I – набор его подмножеств, I – индексное множество. Тогда справедливы утверждения

Вдальнейшем множество Φ и свойство ϕ могут обозначаться одной буквой ϕ.

Бинарное отношение ϕ на A называется отношением эквивалентности, если оно является:

1.рефлексивным, т.е. a a для всех a A;

ϕ

2.симметричным, т.е. если a b, то b a;

ϕϕ

3.транзитивным, т.е. если a b и b c, то a c.

ϕϕ ϕ

Пример 4.1. Показать, что отношение сонаправленности ( ) двух векторов в пространстве R3 является отношением эквивалентности, а отношение противоположнонаправленности (↑↓) таковым не является.

Решение. Пусть вектор сонаправлен вектору , а вектор сонаправлен вектору

a b b

c. Тогда очевидно, что

a a, b a, a c.

Таким образом, отношение является отношением эквивалентности.

Поскольку из соотношений ↑↓ и ↑↓ следует, что , то отношение ↑↓

a b b c a c

нетранзитивно, а потому не является отношением эквивалентности.

Отношение эквивалентности на множестве A связано с разбиением A на пересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).

Множество элементов, эквивалентных a, называется классом эквивалентности элемента a A и обозначается [a].

Совокупность U = {Kξ} подмножеств Kξ A, ξ I, где I — некоторое индексное множество, такая что

называется разбиением (разложением) множества A, а сами множества Kξ – классами разбиения.

Теорема 4.1. Отношение эквивалентности ϕ на A является необходимым и достаточным условием разбиения A.

Доказательство. Пусть задано отношение эквивалентности ϕ на множестве A. Для любого a, принадлежащего A, обозначим Ka = {x|aϕx, x A}. Тогда совокупность множеств {Ka} зада¨ет разбиение A. Действительно, если Ka ∩ Ka = то существует элемент c такой, что c Ka, c Ka . Следовательно, aϕc, cϕa . Отсюда вследствие свойства транзитивности отношения эквивалентности ϕ следует aϕa и Ka = Ka . Другими словами, множества Ka при различных a или совпадают, или не пересекаются. В силу построения множеств Ka всякий элемент x A принадлежит одному из этих множеств Ka. Таким образом, совокупность множеств Ka зада¨ет разбиение множества A.

Обратно, если U = {Kξ} есть разбиение множества A, то всякий элемент a принадлежит одному из множеств Kξ, которое обозначено через Ka. Определим отношение ϕ на множестве A правилом: xϕa, если x Ka. Прямой проверкой убеждаемся, что ϕ есть отношение эквивалентности на множестве A.

18 Глава 1. Элементы теории множеств

Пример 4.2. Показать, что функция

√

y = f(x) = [ x], x 0,

где квадратные скобки обозначают целую часть чис-

ла, зада¨ет разбиение множества X = {x|x [0, 9[} на Рис. 4. классы эквивалентности по правилу x1 Ka и x2 Ka,

если f(x1) = f(x2).

Решение. Множества K0 = {x|x [0, 1[}, K1 = {x|x [1, 4[}, K2 = {x|x [4, 9[}

(рис. 4) являются классами эквивалентности. Это непосредственно следует из определения.

Пример 4.3. Пусть на плоскости задан круг единичного радиуса B[0, 1] с центром в начале координат. Точки, принадлежащие кругу, будем задавать декартовыми координатами:

r = (x, y) B[0, 1], если x2 + y2 1.

Определим отношение ϕ на B[0, 1] по правилу r1ϕr2, если

Показать, что ϕ есть отношение эквивалентности и найти классы разбиения.

Решение. a) Отношение ϕ разбивает круг B[0, 1] на непрерывное семейство концентрических окружностей радиуса r, r [0, 1] (см. рис. 5).

б) Свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности следуют из свойств равенства (4.4). Классами эквивалентности отношения ϕ являются семейства радиусов, зеркально симметричных относительно оси Ox (см. рис. 6).

Заметим, что множество B[0, 1] можно разбить на семейство концентрических окружностей, если в качестве отношения эквивалентности выбрать следующее правило. Введ¨ем на множестве B[0, 1] преобразование T (α), 0 α 2π, вида

Будем считать r2ϕr1, если существует такое α, что справедливо (4.5). Непосредственно проверяется, что ϕ есть отношение эквивалентности, которое разбивает B[0, 1] на семейство концентрических окружностей.