Задачи - Дмитриев (6 сем 2008)
.doc
ЗАДАЧИ
по квантовой механике
3-ий курс, 6-ой семестр 2008 г.
(Можно выбрать пять задач)
1. Доказать что оператор
является интегралом движения для задачи с гамильтонианом
(операторы записаны в атомных единицах ).
Найти коммутационные соотношения для компонент .
Найти коммутаторы компонент и компонент момента количества движения.
2. Найти степенной ряд для радиальных функций сплошного спектра атома водорода в
сферических координатах. Найти волновую функцию в пределе .
3. Рассчитать интегралы для средних значений
в состояниях электрона атома водорода с квантовыми числами n,l,m.
4. Определить потенциал поля вблизи начала координат для атома водорода.
5. Найти уровни энергии для модельной системы с гамильтонианом
матрицы Паули, - частота осциллятора, а d - дипольный момент.
6. Доказать теорему Гельмана-Фейнмана
и с ее помощью написать разложение теории возмущений для энергии.
7. Определить асимптотическую зависимость от волнового вектора к фаз рассеяния и
парциальных амплитуд рассеяния сферическим полем с радиусом действия а,
при условии, что и что энергия рассеянных частиц много меньше энергии
взаимодействия с полем на расстояниях .
8. Показать связь потенциалов ионизации и собственных значений оператора Хартри-
Фока для атомов с замкнутыми оболочками. Вывести формулу, связывающую
их энергию с потенциалами ионизации связанных электронов.
9. Доказать, что детерминант Слэтера с кс дважды заполненными пространственными
орбиталями и кv однократно заполненными орбиталями (спин ) является
собственным состоянием квадрата полного спина атома с (2 кс+ кv) электронами
(полный спин такого состояния кv).
10. Доказать равенство Като (cusp condition) для многоэлектронной волновой функции
атома