Кудряшов Методы нелинейной математич 2008

точке z = z0. Такой вывод следует из уравнения (4.8.7), поскольку каждое слагаемое в (4.8.7) при β = δ = μ = 0 имеет порядок полюса в точке z = z0, равный 8.

Возьмем полином с неопределенными коэффициентами, каждое слагаемое которого имеет порядок полюса в точке z = z0, равный 12. Такой полином имеет вид:

Пусть P = K2 — первый интеграл уравнения, тогда для уравнения yn = E[y] этот интеграл удовлетворяет условию

где Q[y] — множитель в виде полинома. Из (4.8.12) получаем уравнение

Уравнение (4.8.13) — основное уравнение, которое позволяет найти первые интегралы уравнения (4.8.3). Подставляя

в (4.8.13) и определяя при каждом k значения коэффициентов A0, . . . , A9, находим, что при k = 0 все Aj ≡ 0 (j = 0, . . . , 9) равны

232 Глава 4. Методы решения интегрируемых уравнений

нулю. Однако при k = 1 получаем первый интеграл уравнения (4.8.8) в виде:

P = y32 − 12y0y1y3 − 4y0y22 + 2y12y2 + 20y03 y2+

(4.8.15)

+30y02y12 − 24y05 = C1,

где C1 — произвольная постоянная. Каждое из слагаемых (4.8.15) в точке z = z0 имеет полюс десятого порядка. Если к уравнению (4.8.15) прибавить полиномы с неопределенными коэффициентами

то на основе (4.8.15) можно найти первый интеграл, соответствующий уравнению (4.8.3).

Выражение (4.8.16) следует добавить к (4.8.15), принимая во внимание размерности параметров β, δ и μ уравнения (4.8.3).

Окончательно еще один первый интеграл уравнения (4.8.3) принимает вид:

Отметим, что первый интеграл (4.8.7) для уравнения (4.8.3) может быть получен так же, как и (4.8.17), если использовать выражение (4.8.14) при k = 5.

В первых интегралах (4.8.7) и (4.8.17) введем новые переменные

Тогда (4.8.7) и (4.8.17) принимают вид

236 Глава 4. Методы решения интегрируемых уравнений

Рис. 4.2. Уединенная волна (групповой солитон), описываемая нелинейным уравнением Шредингера

[57, 70]. Волны под огибающей двигаются со своей скоростью, отличной от групповой скорости.

Обычно под огибающей солитона находится от 14 до 20 волн, причем средняя волна — самая высокая. С этим связан хорошо известный факт, состоящий в том, что самая высокая волна в группе на воде находится между седьмой и десятой (девятый вал). Если в группе образовалось большее количество волн, то с течением времени произойдет ее распад на несколько групп.

Групповые солитоны, которые описываются нелинейным уравнением Шредингера, находят разнообразное применение в нелинейной оптике, поскольку они могут использоваться при передаче информации в волоконно — оптических линиях связи. Это одно из перспективных направлений возможного применения солитонов.

4.10.Простейшие решения уравнения sin-Гордона и топологический солитон

Найдем решения уравнения sin-Гордона

в переменных бегущей волны [72]

u(x, t) = U (θ), θ = x − c0t,

где c0 — скорость волны. Уравнение (4.10.1) в этих переменных запишется в виде

Умножая (4.10.2) на Uθ и интегрируя один раз по θ, приходим к уравнению [72]

где A — постоянная интегрирования.

Пусть c20 > 1 и 0 < A < 2, тогда из (4.10.3) приходим к равенству

sin U2

где k2 = A2 .

Выражение в левой части в (4.10.4) является эллиптическим интегралом. Решение уравнения (4.10.2) в этом случае является периодической и осциллирующей функцией вблизи U = 0 в интервале

иописывает ударно-волновой переход, заключенный между −π

иπ.

Мы уже обсуждали солитоны, которые являлись решениями уравнений Кортевега—де Вриза и нелинейного уравнения Шре-

дингера. Однако не менее популярными, чем перечисленные выше виды солитонов, являются топологические солитоны, кото-

рые выражаются формулами (4.10.7) и (4.10.8) и являются решениями уравнения sin-Гордона.

Из (4.10.7) получаем решение

где ϕ0 — произвольная постоянная. Это решение часто называется кинком, если в формуле (4.10.9) берется положительный знак.

При выборе отрицательного знака в (4.10.9) решение становится антикинком. На рис. 4.3 иллюстрируется взаимодействие кинка

и антикинка.

Кинк и антикинк являются примерами топологических солитонов, поскольку производная ϕx имеет форму уединенной волны.

Уравнение sin-Гордона имеет сохраняющуюся величину

−∞

принимающую целочисленные значения, и поэтому этот закон сохранения называется топологическим зарядом решения ϕ(x, t).

В частности, топологический заряд кинка равен 1, антикинка −1. Топологические солитоны при взаимодействии ведут себя как частица и античастица, приводя к состоянию нулевого заряда.

Топологические солитоны имеют также свою замечательную историю и чрезвычайно обширную область применения. Еще в

240 Глава 4. Методы решения интегрируемых уравнений

Рис. 4.3. Взаимодействие топологических солитонов (кинка и антикинка), описываемых уравнением sin-Гордона

1880 году А. Бэклунд показал, что уравнение sin-Гордона име-

ет специальные преобразования (теперь они называются преобразованиями Бэклунда), позволяющие последовательно находить

аналитические решения этого уравнения. Аналогичное уравнение, как было сказано выше, использовали Я.И. Френкель и Т.А. Конторова при описании дислокаций в кристалле [71].

В 1962 году английские физики Дж. Перринг и Т. Скирма [141] выполнили численные расчеты процесса распространения уединенных волн описываемых уравнением sin-Гордона, с целью проанализировать характер взаимодействия элементарных частиц. Согласно расчетам, выполненным на ЭВМ, уединенные волны, являющиеся решениями уравнения sin-Гордона, не изменяли своих свойств после взаимодействия. По существу, Перринг и Скирма обнаружили солитонные свойства уединенных волн, описываемых уравнением sin-Гордона. Однако в отличие от Крускала и Забуски, Перринг и Скирма не ввели понятие солитона.