MatAnal2

Окончательно, в силу неравенства треугольника, получим

20.3.6Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье

Определение. Пусть функция f непрерывна на [−π, π]. Будем на-

зывать ее кусочно непрерывно дифференцируемой на [−π, π], если существует такое разбиение {xi}ni=0, −π = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = π, что на каждом [xi−1, xi] функция f непрерывно дифференцируема.

Например, функция f (x) = |x| кусочно непрерывно дифференцируема на [−π, π], так как на [−π, 0] и на [0, π] она непрерывно дифференцируема. Ясно, что кусочно непрерывно дифференцируемая функция f может

быть недифференцируемой в конечном числе точек, однако в таких точках функция f имеет односторонние производные.

Замечание. Легко видеть, что формула интегрирования по частям, доказанная ранее для случая непрерывно дифференцируемых функций u и v, справедлива также и для кусочно непрерывно дифференцируемых

функций. Действительно, в этом случае будем иметь

Z π Xn Z xk

u(x)v0(x) dx = u(x)v0(x) dx =

−π k=1 xk−1

Z

= u(π)v(π) − u(−π)v(−π) − u0(x)v(x) dx.

−π

При этом в интегралах в левой и в правой частях полученного равенства подынтегральные функции могут быть не определены в точках недифференцируемости x0, x1, . . . , xn, но это не влияет ни на существование, ни

на величины соответствующих интегралов.

Теорема 1. Пусть функция f кусочно непрерывно дифференцируема на [−π, π], f (−π) = f (π) и пусть

n=1

Доказательство. Поскольку f 0 непрерывна на каждом из отрезков

[xi−1, xi] разбиения [−π, π], то f 0 (определенная всюду, кроме конечного числа точек xi (i = 0, 1, . . . , n)) интегрируема в собственном смысле на

[−π, π] = ni=1 [xi−1, xi]. Поэтому для производной f 0 определены коэф-

= π1 [(−1)nf (π) − (−1)nf (−π)] + nbn = nbn,

Доказанная теорема показывает, что для кусочно непрерывно дифференцируемой функции f ряд Фурье ее производной получается путем формального почленного дифференцирования ряда Фурье функции f без

всяких предположений относительно сходимости этих рядов. Если бы мы пользовались теоремой о почленном дифференцировании функционального ряда, то нам пришлось бы требовать более сильное условие – равномерную сходимость ряда из производных. Вместе с тем наша теорема не дает соответствующих равенств. Утверждается лишь, что если функции f

соответствует ряд Фурье, то ее производной f 0 соответствует формально продифференцированный ряд Фурье исходной функции f .

Лемма (неравенство Коши – Буняковского). Если последова-

Доказательство. Достаточно показать, что для любого N N спра-

ведливо неравенство

158 Третий семестр

и перейти к пределу при N → ∞. Можем считать, что в неравенстве

(20.10) все xn ≥ 0 и yn ≥ 0. Тогда для любого λ R получим

Так как квадратный трехчлен относительно λ неотрицательный, то его

Пусть функция f кусочно непрерывно дифференцируема на [−π, π] и f (−π) = f (π). Продолжая f 2π-периодически на всю числовую ось, получим функцию, для которой в каждой точке x [−π, π] выполнено условие

одного из следствий из признака Дини сходимости тригонометрического ряда в точке. Поэтому в каждой точке x [−π, π] ряд Фурье функции f сходится к значению f (x). Следующая теорема показывает, что в этом

случае ряд Фурье сходится к функции f равномерно.

Тоерема 2. Пусть f – кусочно непрерывно дифференцируемая на

[−π, π] функция и f (−π) = f (π). Тогда ее ряд Фурье сходится к f равно-

где α0 = 0, αn = nbn, βn = −nan. Поскольку функция f 0 отличается от кусочно непрерывной лишь в конечном числе точек (в которых f 0 не

а это и есть равенство (20.12). Равномерная сходимость ряда справа в

(20.12) следует из равномерной сходимости ряда справа в (20.13).

Замечание. Утверждение о сходимости (и даже равномерной) проинтегрированного почленно ряда Фурье непрерывной функции f мы полу-

чили без каких-либо предположений о сходимости исходного ряда Фурье функции f (в (20.11)).

Теоремы о почленном дифференцировании и интегрировании рядов Фурье могут применяться для построения рядов Фурье. Это удобно в том случае, если можем построить ряд Фурье не самой функции, а ее производной или первообразной. Тогда, почленно интегрируя или дифференцируя построенный ряд, мы получим ряд Фурье исходной функции.

Рассмотрим теперь более общую ситуацию. Пусть α – монотонно воз-

растающая на отрезке [a, b] функция. Тогда эта функция ограничена, поскольку −∞ < α(a) ≤ α(x) ≤ α(b) < +∞. Для разбиения Π = {xi}ni=0 отрезка [a, b] положим αi = α (xi) − α (xi−1) (i = 1, . . . , n). Далее, для ограниченной на [a, b] функции f определим нижнюю и верхнюю суммы

где верхняя и нижняя грани берутся по всевозможным разбиениям Π отрезка [a, b]. Если I(f, α) = I(f, α), то функция f называется интегрируемой по отрезку [a, b] в смысле Римана – Стилтьеса относительно функции α, а общее значение I(f, α) и I(f, α) называют интегралом Римана –

Стилтьеса

Z b Z b

I(f, α) = I(f, α) = f (x) dα(x) ≡ f (x) dα.

a a

Совокупность всех функций f , интегрируемых относительно α на [a, b],

будем обозначать через R(α) ≡ R(α; [a, b]).

Ясно, что при α(x) = x получим обычный интеграл Римана. В общем же случае мы не требуем даже непрерывности функции α. Пока предполагаем только монотонность α, а ниже определим понятие интеграла Римана – Стилтьеса для более широкого класса функций α. Сначала изу-

чим некоторые свойства интеграла Римана – Стилтьеса для монотонных

функций α.

Теорема 1. При добавлении к разбиению Π новой точки верхняя сум-

ма не увеличивается, а нижняя сумма не уменьшается.

Доказательство. Пусть Π = {xi}ni=0, x (xk−1, xk),

Следствие 1. Для любых разбиений Π1, Π2 справедливо неравенство

S (Π1, f, α) ≤ S (Π2, f, α) .

Доказательство. Строим разбиение Π = Π1 Π2 и применяем теорему 1, в силу которой

S (Π1, f, α) ≤ S (Π, f, α) ≤ S (Π, f, α) ≤ S (Π2, f, α) .

Следствие 2. Справедливо неравенство

I(f, α) ≤ I(f, α).

Это следствие сразу вытекает из следствия 1.

Теорема 2 (критерий интегрируемости). Пусть функция α не

убывает на [a, b]. Функция f интегрируема в смысле Римана – Стилтьеса тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдется такое разбиение Π, что справедливо неравенство