РГР4
.pdf
1 |
1 |
139,53 |
0,0 |
0,0 |
139,53 |
|
|
19,05 |
0,01 |
0,01 |
126,99 |
2 |
2 |
126,98 |
|
2,80 |
129,78 |
3 |
|
22,64 |
6,70 |
|
|
3 |
69,77 |
76,48 |
|||
|
|
4 |
4 |
0,0 |
|
|
|
|
|
|
х |
С |
|
z |
24,75 |
|
|
|
24,75 |
24,75 |
|
5 |
5 |
69,77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
22,64 |
|
|
76,48 |
|
6,70 |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
6 |
6 |
126,98 |
|
|
|
129,78 |
|
2,80 |
|
|
|
|
19,05 |
0,01 |
|
126,99 |
|
0,01 |
|
7 |
7 |
139,53 |
|
Эп. τ |
0,0 |
139,53 |
0,0 |
|
|
у |
|
Эп. σ |
|
|
|
Эп. σ1,3 |
|
|
|
|
|
(МПа) |
|
(МПа) |
|
|
(МПа) |
|
Рис. 2.2. Эпюры распределения напряжений по высоте сечения стальной двутавровой балки
b(5) = d = 5,1мм; τ(5) = (−20) 103 74,46 10−6 = −22,64 МПа; 1290 10−8 5,1 10−2
σ1,3(5) = − 692,77 ± 12 
69,772 +4 22,742 = −34,89 ±41,59 МПа;
σ1(3) = 6,70 МПа; σ3(5) = −76,48 МПа.
По полученным значениям строим искомые эпюры (рис. 2).
Выполняем расчет балки на жесткость, для чего необходимо построить эпюру прогибов балки. При построении эпюры прогибов будем использовать уравнение метода начальных параметров:
EJ x v(i ) = EJ x v(0 ) |
|
6 |
+ EJ x |
θ(0 )z(i ) |
|
6 |
+ |
F1 z(3i ) |
|
|
6 |
− |
VA (z(i ) −1)3 |
|
|
6 |
|
− |
M1 (z(i ) −1)2 |
|
6 |
+ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
6 |
|
|
0 |
6 |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
+ |
q(z(i ) −1)4 |
|
|
6 |
− |
F2 (z(i ) −3)3 |
|
|
6 |
+ |
VB (z(i ) −5)3 |
|
|
6 |
− |
q(z(i ) −5)4 |
|
|
6 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
24 |
|
|
1 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
5 |
24 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Следует помнить, что в принятой системе координат отрицательный изгибающий момент создает положительные перемещения.
Начальные параметры v(0) и θ(0) определяем из условия закрепления
балки. В точках А и В расположены опорные устройства, препятствующие вертикальным перемещениям балки. Запишем уравнения метода начальных параметров для указанных точек:
z(А) =1 м;
EJ x v(А) |
= EJ x v(0 ) + EJ xθ(0 ) 1 + |
20 13 |
= 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z(В) = 5 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
30,5 (5 −1)3 |
|
10(5 −1)2 |
|
4(5 −1)4 |
|
10 (5 − 3)3 |
|
|||
EJ x v(В) |
= EJ x v(0 ) + EJ x θ(0 )5 + |
20 53 |
− |
|
− |
+ |
− |
= 0. |
|||||
|
6 |
2 |
24 |
6 |
|||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||||
Решаем полученную систему линейных алгебраических уравнений:
|
|
|
|
= EJ x v(0) + EJ xθ(0) 1 + |
||||||
EJ xv(А) |
||||||||||
|
|
v |
|
= EJ |
|
v |
|
+ EJ θ |
|
5 + |
EJ |
x |
(В) |
x |
(0) |
(0) |
|||||
|
|
|
|
x |
|
|||||
3,333 = 0
40,667 = 0
EJ xθ(0) = −9,333 кНм2; |
EJ x v(0) = 6 |
кНм3. Жесткость подобранного сечения |
|||||
при изгибе равна EJ x |
= 2 1011 1290 10−8 = 2580 кНм2, тогда величина пере- |
||||||
мещений в начале координат равна: |
|
|
|
|
|
||
− угол поворота сечения θ(0) = −9,333 = − |
9,333 |
= −3,62 10−3 рад; |
|||||
|
EJ x |
|
2580 |
|
|||
− вертикальное перемещение v(0) = |
|
6 |
= |
|
6 |
= 2,33 10−3 м. |
|
|
|
2580 |
|||||
|
|
|
EJ x |
|
|||
Используя найденные значения начальных параметров, определяем ординаты эпюры прогибов в расчетных точках:
− точка 1: z(1) = 0,5 м; |
|
|
|
|
|
|
20 0,53 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
EJ xv(1) = 6 −9,333 0,5 + |
|
|
|
|
=1,75 кНм ; |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1,75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
v(1) = |
|
= 0,68 10−3 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2580 |
|
|
|
|
|
|
|
20 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
− точка 2: z(2 ) |
=1м; EJ xv(2) = 6 −9,333 1 + |
= 0,0003 ≈ 0 ; v(2) = v(A) = 0 м; |
||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|||||||||||||||||||||||
− точка 3: z(3) |
= 2 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
EJ xv(3) = 6 − |
9,333 2 + |
20 23 |
− |
30,5 (2 −1)3 |
− |
10 (2 −1)2 |
+ |
4 (2 −1)4 |
|
2 |
||||||||||||||||
6 |
|
6 |
|
|
|
2 |
|
|
|
24 |
= 4,08 кНм ; |
|||||||||||||||
|
10,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
v(3) = |
|
=1,58 10−3 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2580 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
− точка 4: z(4 ) |
= 3м; |
|
|
30,5 (3 −1)3 |
|
10 (3 −1)2 |
|
|
4 (3 −1)4 |
|
|
|||||||||||||||
EJ xv(4) = 6 − |
9,333 3 + |
20 33 |
− |
− |
|
+ |
|
2 |
||||||||||||||||||
6 |
|
6 |
|
|
|
2 |
|
|
24 |
=10,01кНм ; |
||||||||||||||||
|
|
10,01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
v(4) = |
= 3,88 10−3 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2580 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
− точка 5: z(5) |
= 4 м; |
|
|
30,5 (4 −1)3 |
−10 (4 −1)2 |
|
4 (4 −1)4 |
|
|
|||||||||||||||||
EJ xv(5) = 6 −9,333 4 + |
20 43 |
− |
+ |
− |
|
|||||||||||||||||||||
−10 (4 −3)3 |
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
24 |
|
|
||||||||
=11,585 кНм2; |
v(5) = 11,585 = 4,49 10−3 м; |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2580 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
− точка 6: z(6 ) |
= 5 м; |
|
|
|
30,5 (5 −1)3 |
−10 (5 −1)2 |
|
4 (5 −1)4 |
|
|
||||||||||||||||
EJ xv(6) = 6 −9,333 5 + |
20 53 |
− |
|
+ |
− |
|
||||||||||||||||||||
−10 (5 −3)3 |
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
24 |
|
|
||||||||
= 0,0017 кНм2; |
v(6) = v(В) = 0,0017 |
≈ 0м; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2580 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
− точка 7: z(7 ) |
= 5,5м; |
|
|
|
− 30,5 (5,5 −1)3 |
|
|
10 (5,5 −1)2 |
+ 4 (5,5 −1)4 |
|
||||||||||||||||
EJ xv(7) = 6 −9,333 5,5 + 20 5,53 |
− |
− |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
24 |
|
||
−10 (5,5 −3)3 |
+ 4,5 (5,5 −5)3 |
− |
4 (5,5 −5)4 = −12,832 кНм2; |
|
|
|
||||||||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
v(7) = − |
12,832 |
= −4,97 10−3 м; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2580 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
− точка 8: z(8) = 6 м;
13
|
EJ xv(8) = 6 −9,333 6 + |
20 63 |
− 30,5 (6 −1)3 |
− |
10 (6 −1)2 + 4 (6 −1)4 − |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
6 |
|
|
|
|
|
2 |
|
24 |
|
|
10 (6 −3)3 |
4,5 (6 −5)3 |
4 (6 −5)4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
− |
|
6 |
+ |
6 |
− |
24 |
= −30,665 кНм ; |
|
||||||||||
v(8) = − |
30,665 |
|
= −11,89 10−3 |
м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
2580 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверка жесткости балки. Условие жесткости: [f ]≥ vmax . Как следует из |
||||||||||||||||||
эпюры прогибов балки, максимальное |
|
вертикальное |
перемещение равно |
|||||||||||||||
|
vmax |
|
=1,19 см. |
Для стальных конструкций величина допускаемого прогиба |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
= |
1 |
|
l − расстояние меж- |
|||
определяется из следующего условия: |
|
|
|
|
. Здесь |
|||||||||||||
|
|
250 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
||||
ду опорами или вылет консоли балки. Максимальный прогиб балки возникает на консольном участке вылетом l =1м, следовательно, величина допус-
каемого прогиба равна [f ]= 250l = 2501 = 4 10−3 м = 0,4 см. Условие жесткости балки vmax =1,19 см>[f ]=0,4 см не выполняется. Необходимо увеличить размеры поперечного сечения. Назначаем новые размеры двутаврового сечения, для чего максимальный прогиб балки в точке 8 приравняем величине допус-
каемого прогиба |
vmax = |
30,665 |
= |
30,665 103 |
|
−3 |
2 |
|||||
EJ x |
|
|
≤[f ]= 4 10 |
|
кНм , тогда требуе- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 1011 J x |
|
|
|
|||
мый момент инерции поперечного сечения равен |
|
|
||||||||||
|
|
30,665 103 |
|
|
|
|
−8 |
= 3833,12 |
4 |
|
|
|
J x ,nec ≥ |
|
|
|
= 3833,12 10 |
|
см . |
|
|
||||
|
1011 4 |
10−3 |
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
По сортаменту прокатной стали (ГОСТ8239-89) принимаем двутавр №27 с J x =5010 см4.Условия прочности по нормальным и касательным напряжени-
ям для нового сечения будут заведомо выполняться.
14