2ДУ

Подберем функцию из условия: .

(Это уравнение для определения функции является уравнением с разделяющимися переменными и нас интересует не его общее решение, а какое либо частное решение не тождественно равное нулю).

Тогда для определения имеем уравнение

.

Это уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными и способ его решения изложен ранее.

Задача 11. Найти решение задачи Коши:

, .

Вначале найдем общее решение этого уравнения. Будем искать в виде . Тогда, подставляя и в исходное уравнение, получим: . Функцию определяем из условия: ; ; ; ; . Определим : ; ; +С; ; . Следовательно, общее решение имеет вид . Из условия определяем произвольную постоянную С: ; .

Ответ: .

Задача 12. Найти решение задачи Коши:

, .

Данное уравнение является уравнением Бернулли. Будем искать в виде . Тогда, подставляя и в исходное уравнение, получим: . Функцию определяем из условия: ; ; ; ; . Определим : ; ; +С; ; .( Знак плюс при извлечении квадратного корня выбран исходя из начальных условий). Следовательно, общее решение имеет вид . Из условия определяем произвольную постоянную С: ;

Ответ: .

Задача 13. Найти решение задачи Коши:

, .

Вначале найдем общее решение этого уравнения. Будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:

; .

Функцию определяем из условия: ,; ;; . Определим :

; ; .

Интегрируем правую и левую части полученного соотношения

.

Приведем схему вычисления полученных интегралов.

.

Для вычисления сделаем замену переменных , , . Тогда получаем

Подставляя полученные интегралы в исходное выражение, получаем , . Следовательно , общее решение имеет вид . Используя начальные условия задачи Коши, определим С.

Так как , то , С=0.

Тогда имеем .

Ответ: .

15