Lesn3_Integraly1

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

физический смысл криволинейного интеграла.

Криволинейный интеграл I рода по кривой от непрерывной плотности распределения ее массы равен массе данной кривой.

Обратимся к исследованию свойств криволинейного интеграла I рода.

2. Свойства криволинейного интеграла I рода

Свойство 1. Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления обхода кривой интегрирования:

f (x, y)dl f (x, y)dl .

AB BA

Свойство 2. Криволинейный интеграл I рода от единичной функции равен длине кривой интегрирования:

1dl lAB .

AB

Свойство 3.

( f (x, y) g(x, y))dl f (x, y)dl g(x, y)dl .

Свойство 6 (монотонности).

Если f(x, y) g(x, y) на кривой L, то

f (x, y)dl g(x, y)dl .

L L

180

§2. Свойства двойного интеграла

Свойство 7 (теорема о среднем). Если функция f(x, y) непрерывна на кривой AB, то существует точка M(x0, y0) AB, для которой выполняется равенство:

f (x, y)dl f (x0 , y0 ) lAB .

AB

3. Вычисление криволинейного интеграла I рода

Вычисление криволинейного интеграла I рода сводится к вычислению определенного интеграла.

Теорема 2. Пусть функция f(x, y) непрерывна на плоской гладкой кривой AB, заданной параметрически

Мы рассмотрели криволинейный интеграл I рода по плоской кривой. Совершенно аналогично можно рассматривать криволинейный интеграл I рода функции f(x, y, z) по простран-

181

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

ственной кривой AB: f (x, y, z)dl .

AB

Он обладает свойствами, аналогичными рассмотренным свойствам криволинейного интеграла I рода по плоской кривой. В частности, имеет место аналогичная формула вычисления криволинейного интеграла.

Теорема 2’. Пусть функция f(x, y, z) непрерывна на пространственной гладкой кривой AB, заданной параметрически

182

§2. Свойства двойного интеграла

§8. Поверхностный интеграл I рода

1. Понятие поверхностного интеграла I рода

Поверхностный интеграл I рода является обобщением двойного интеграла и, одновременно, криволинейного интеграла. Область определения подынтегральной функции - произвольная поверхность. Поэтому функция зависит от трех аргументов.

При определении используются совершенно аналогичные понятия и мы не будем давать их строгого определения. Рассмотрим только развернутое определение самого поверхностного интеграла.

Сумма (1) называется интегральной суммой I рода для функции f(x, y, z) по поверхности S.

Интегральная сумма еще не дает характеристики функции f(x, y, z) на поверхности S. Сумма зависит от выбора разбиения

183

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

поверхности и от выбора отмеченных точек. Чтобы избавиться от этой зависимости, осуществим предельный переход в интегральной сумме.

4. Будем осуществлять последовательно разбиения поверхности S так, чтобы диаметр d разбиения стремился к нулю. Как и при определении предыдущих интегралов вводится понятие предела I интегральных сумм при d 0. (Дословное повторение).

Предел интегральных сумм, если он существует, не зависит от способа разбиения поверхности и от выбора отмеченных точек. Поэтому число I полностью определяется функцией f(x, y, z) и поверхностью S.

Определение 1. Предел интегральных сумм (1), если он существует и конечен, называется поверхностным интегралом функции f(x, y, z) по поверхности S. Функция f(x, y, z) в этом случае называется интегрируемой по по-

верхности.

Используя введенные обозначения, определение интеграла можно записать в символической форме:

Естественно возникает вопрос о существовании поверхностного интеграла для данной функции.

Определение 2. Поверхность z = z(x, y) называется гладкой, если функция z(x, y) имеет на области определения непрерывные частные производные.

Непрерывная поверхность называется кусочно-гладкой, если ее можно разбить на конечное число гладких поверхностей.

184

§2. Свойства двойного интеграла

Теорема 1. (Достаточное условие интегрируемости).

Если функция f(x, y, z) непрерывна на ограниченной ку- сочно-гладкой поверхности S, то она интегрируема по этой поверхности.

Доказательство опускаем.

По аналогии с криволинейным интегралом I рода получаем

физический смысл поверхностного интеграла I рода.

Интеграл I рода по поверхности S от непрерывной плот-

Обратимся теперь к свойствам поверхностного интеграла.

2. Свойства поверхностного интеграла I рода

Свойство 1. Поверхностный интеграл I рода от единичной функции равен площади поверхности интегрирования:

1ds S .

(S )

Вытекает из физического смысла интеграла.

Свойство 2.

f (x, y, z) g(x, y, z) ds = f (x, y, z)ds + g(x, y, z)ds .

S S S

Свойство 3.

с f (x, y, z)ds = с f (x, y, z)ds .

S S

Свойства 3 и 4 называются свойствами линейности.

Свойство 4 (аддитивности). Если поверхность S разбита на части S1 и S2, не имеющие общих внутренних точек, то справедливо равенство

185

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

f (x, y, z)ds = f (x, y, z)ds + f (x, y, z)ds .

Свойство 6 (оценка интеграла). Если функция f(x, y, z) непрерывна на поверхности (S) площадью S, то для ее наименьшего m и наибольшего M значений выполняется неравенство

m S f (x, y, z)ds M S.

(S )

Свойство 7 (теорема о среднем). Если функция f(x, y, z) не-

прерывна на поверхности (S) площадью S, то существует точка M(x0, y0, z0) (S), для которой выполняется равенство:

f (x, y, z)ds = f(x0, y0, z0) S.

(S )

Обратимся к вычислению поверхностного интеграла I ро-

да.

3. Вычисление поверхностного интеграла I рода

Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению двойного интеграла.

Теорема 2. Пусть функция f(x, y, z) непрерывна на гладкой поверхности S. Поверхность S задана явно

где область D замкнута и ограничена. Тогда выполняется равенство

186

§2. Свойства двойного интеграла

Доказательство опускаем.

Следствие. Если гладкая поверхность (S) задана явно соотношениями (4), то для ее площади S выполняется равенство

лельно оси Oz. Получим плоскую область D, являющуюся кольцом

1 x2 y2 4 .

Поверхность S является графиком определенной на области D функции

187

Глава VI. Интегрирование функций нескольких переменных

Перейдем в двойном интеграле к полярной системе координат. Тогда подынтегральная функция принимает вид x2 y2 , а об-

Перейдем к интегрированию векторных функций.

188

§2. Свойства двойного интеграла

Лекция 21

§9. Криволинейный интеграл II рода

1. Понятие криволинейного интеграла II рода

ассмотрим сначала решение одной физической задачи.

сила F на этой дуге постоянна F (M ) F (Ni ) . Под ее действием материальная точка движется не по дуге Li, а по отрезку Mi 1Mi . Тогда работа силы F по перемещению материальной

189