Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1265 вузов, 4640 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Южно-Уральский Государственный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Справ_по_эл_мат_весь_1

.pdf
Скачиваний:
12
Добавлен:
09.05.2015
Размер:
506.03 Кб
Скачать
☆

ctg(x) tg(x) 2ctg(2x)

Формулы преобразования произведения двух функций в сумму

sin(x)cos(y) 1[sin(x y) sin(x y)] 2

sin(x)sin(y) 1[cos(x y) cos(x y)] 2

cos(x)cos(y) 1[cos(x y) cos(x y)] 2

Формулы понижения степени

sin2(x) 1 cos(2x) 2

cos2(x) 1 cos(2x) 2

ctg2 (x) 1 cos(2x) 1 cos(2x)

Формулы, содержащие дополнительный угол

Acos(x) Bsin(x) A2 B2 cos(x ) Asin(x) Bcos(x) A2 B2 sin(x )

 

A

 

 

 

B

 

 

Где arccos

 

 

 

 

arcsin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 B2

A2 B2

 

 

 

 

 

 

Формулы приведения

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

 

 

 

x

cos(x),

sin( x) sin(x),

sin

 

 

 

 

x

cos(x)

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

x

 

sin(x),

cos( x) sin(x),

cos

3

x

 

sin(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg

 

 

 

 

 

x

ctg(x),

tg( x) tg(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ctg

 

x

 

tg(x),

ctg( x) ctg(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 11 -

Обратные тригонометрические функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y arcsin(x),

x [ 1;1],

y

 

 

 

;

 

 

, arcsin( x) arcsin(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

y arccos(x), x [ 1;1];

y 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y arctg(x),

x R,

y

 

 

 

;

 

 

 

,

arctg( x) arctg(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

y arcctg(x),

x R,

y 0;

 

 

 

 

 

Решение простейших тригонометрических уравнений

sin(x) a, x ( 1)k arcsin(a) k ,

 

k Z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 12 -

 

cos(x) a,

x arccos(a) 2k

 

 

tg(x) a,

x arctg(a) k

 

 

 

ctg(x) a,

x arcctg(a) k

 

 

 

Значения тригонометрических функций основных углов

 

 

 

 

Угол

 

 

Функции

0о

30о

45о

60о

90о

 

0

/6

/4

/3

/2

sin

0

1/2

2/2

3/2

1

cos

1

3/2

2/2

1/2

0

tg

0

3/3

1

3

–

ctg

–

3

1

3/3

0

Гиперболические функции

 

 

y sh(x)

 

ex e x

,

x R,

y R, sh( x) sh(x)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

y ch(x)

ex e x

 

,

x R,

y [1; ),

ch( x) ch(x)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

y th(x)

sh(x)

,

 

x R, y ( 1;1), th( x) th(x)

 

 

 

 

ch(x)

 

 

 

 

 

y cth(x)

1

,

 

x ( ;0) (0; ),

y ( ; 1) (1; ),

 

 

 

 

 

 

th(x)

 

 

 

 

 

cth( x) cth(x)

- 13 -

Свойства гиперболических функций

Соотношения между гиперболическими функциями одного и того же аргумента

ch2(x) sh2(x) 1,

th2 (x) 1

1

,

cth2 (x) 1

1

,

ch2 (x)

sh2 (x)

 

sh(x)

 

 

 

 

 

ch(x)

 

 

 

y th(x)

 

1

, y cth(x)

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

ch(x)

cth(x)

 

 

sh(x)

th(x)

 

Формулы сложения аргументов

sh(x y) sh(x) ch(y) ch(x) sh(y) ch(x y) ch(x) ch(y) sh(x) sh(y)

th(x y) th(x) th(y) 1 th(x) th(y)

Формулы двойного аргумента

sh(2x) 2sh(x) ch(x)

ch(2x) ch2(x) sh2(x) 2sh2(x) 1 2ch2(x) 1

- 14 -

th(2x)

2th(x)

1 th2 (x)

Формулы преобразования суммы в произведение

sh(x) sh(y) 2sh

sh(x) sh(y) 2sh

ch(x) ch(y) 2ch

ch(x) ch(y) 2sh

x y

x y

 

 

 

 

ch

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

x y

x y

 

 

 

 

 

ch

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

x y

x y

 

 

 

 

ch

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x y

x y

 

 

 

 

sh

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Формулы преобразования произведения двух функций в сумму

2sh(x) ch(y) sh(x y) sh(x y) 2ch(x) ch(y) ch(x y) ch(x y) 2sh(x) sh(y) ch(x y) ch(x y)

Формулы понижения степени

sh2(x) ch(2x) 1 2

ch2(x) ch(2x) 1 2

Дифференцирование

Таблица производных

(C) 0

u

n

 

n u

n 1

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

u

 

a

u

 

 

 

 

e

u

 

e

u

u

 

 

 

 

ln(a) u ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

u

loga

(u)

 

 

 

, ln(u)

 

 

 

 

u ln(a)

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(sin(u)) cos(u) u (cos(u)) sin(u) u

(tg(u))

u

cos2(u)

- 15 -

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ctg(u)) sin2(u)

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(arcsin(u))

 

 

 

 

 

1 u2

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(arccos(u))

 

 

 

 

 

 

 

1 u2

 

(arctg(u))

u

1 u2

(arcctg(u))

u

1 u2

(sh(u)) ch(u)u (ch(u)) sh(u)u

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(th(u)) ch2 (u)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

sh2 (u)

 

 

(cth(u))

 

 

Правила дифференцирования

 

 

 

 

C f

 

 

 

C f (x)

(x)

 

 

( f (x) g(x))

 

f

 

 

 

 

(x) g (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)

 

f

(x) g(x) g (x) f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

g

2

(x)

 

g(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

'

 

 

 

 

 

f (u(x))

fu (u(x)) u (x)

Неопределенный интеграл

Таблица основных неопределенных интегралов

uadu

 

ua 1

 

C

(a 1)

du u C

 

 

 

 

 

du

 

 

a 1

 

 

 

ln |u | C

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

audu

au

 

C

eudu eu C

lna

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(u)du cos(u) C

- 16 -

cos(u)du sin(u) C

cosdu2 u tg(u) C

sindu2 u ctg(u) C

 

 

 

 

du

 

ln

tg

u

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(u)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

tg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

cos(u)

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 u2

 

 

 

a

 

 

 

 

 

du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln |u u2 a2 | C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u2 a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

1

arctg

u

C

 

 

 

a

2

2

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

1

 

a u

 

 

C

 

 

 

 

ln

 

 

a

2

2

 

a u

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

sh(u)du ch(u) C

ch(u)du sh(u) C

du

ch2 (u) th(u) C

du

sh2 (u) cth(u) C

Свойства неопределенного интеграла

d f (x)dx f (x)dx

 

f (x)dx f (x)

dF(x) F(x) C

 

af (x)dx a f (x)dx,

a 0 – постоянная

( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx

Если f (x)dx F(x) C , то f (a x b)dx

1

F(a x b) C

a

 

 

- 17 -

 

 

Определенный интеграл

Свойства определенного интеграла

a

f (x)dx 0

a

b b

c f (x)dx c f (x)dx

a

a

 

b

b

b

( f (x) g(x))dx f (x)dx g(x)dx

a

a

a

b

a

 

f (x)dx f (x)dx

a

 

b

b

c

b

f (x)dx f (x)dx f (x)dx

a

a

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Формула Ньютона-Лейбница

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

ba F(b) F(a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx F(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Прогрессии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Арифметическая прогрессия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an 1 an d , где an

и an 1 соответственно n и n+1 члены прогрессии, d –

разность арифметической прогрессии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an a1 (n 1)d

 

 

 

 

 

 

a1

an

 

 

 

2a1

d(n 1)

 

Сумма членов арифметической прогрессии Sn

 

n

n

 

2

 

2

 

Геометрическая прогрессия

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bn 1

bn q где bn и bn 1 соответственно n и n+1 члены прогрессии, q –

знаменатель геометрической прогрессии, q 0.

 

b b qn 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1

b (1 qn )

Сумма членов геометрической прогрессии S

 

 

 

b b q

 

n

 

1

n

1

 

,

 

 

1 q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 q

 

 

 

b1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

если

|q | 1, то b1

qn 1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

1 q

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 18 -

Элементы комбинаторики

Правило суммы: Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а объект В может быть выбран n способами, то выбрать объект либо А, либо В можно m n способами.

Правило произведения: Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а объект В может быть выбран n способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана m n способами.

Опр. Перестановки – это упорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга только порядком элементов.

Pn n! – число перестановок множества из n элементов.

Опр. Пусть в множестве с n элементами есть k различных элементов, при этом 1-й элемент повторяется n1 раз, 2-й элемент – n2 раз,…, k – элемент – nk раз, причем n1 n2 nk n. Тогда перестановки данного множества называют перестановками с повторениями.

n!

Pn (n1,n2,...,nk ) n1! n2 !...nk !

Опр. Размещения – это упорядоченные совокупности k элементов из n, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов.

Ak

n!

(n k)!

n

Опр. Размещения с повторениями – это упорядоченная совокупность k элементов из n, в которой каждый элемент может повторяться.

Ank nk .

Опр. Сочетания – это неупорядоченные совокупности k элементов из n, отличающиеся друг от друга только составом элементов.

Cnk n!

k! (n k)!

Опр. Сочетания с повторениями – это сочетания из n элементов по k , в которых некоторые из элементов или все могут оказаться одинаковыми.

Cnk Cnk k 1

- 19 -

ГЕОМЕТРИЯ

ПЛАНЕМЕТРИЯ

Треугольник (рис.1).

Полупериметр p a b c .

2

Радиус вписанной окружности r . Радиус описанной окружности R. Площадь треугольника

S

1

bh

1

absin(ACB)

 

 

 

 

 

 

 

abc

pr.

 

p(p a)(p b)(p c)

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4R

Теорема синусов

a

 

 

 

b

 

c

.

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(B)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin(A)

 

sin(C)

 

 

 

 

 

Теорема косинусов c2 a2

b2 2abcos(C)

 

 

 

 

 

Прямоугольный треугольник (рис.2).

 

 

 

 

 

Теорема Пифагора c2

a2

b2 .

 

r

a b c

;

R

c

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 20 -

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности