Бакалов В.П. Основы теории цепей_2007

Îòñþäà коэффициент ослàбления a = 2,86 Ч10 3 Íï/êì = 2,86 ìÍï/êì. Ïåðåâîä непер â äецибелы äàåò a (äÁ) = a (Íï) ´ 8,7 = 24,9 ×10 3 äБ/км. Коэффициент фàçû b = 17,6 ×10 3 ðàä/êì.

Постоянная передачи длинной линии. Ïðè ðàспрострàнении энерãии по линии нà ðàсстояние l íàпряжение и ток уменьшàþòñÿ â åαl ðàç, à ôàçû íà- пряжения и токà изменятся нà âеличину bl.

Величинà al описыâàåò îñëàбление нàпряжения и токà ïðè ðàспрострàнении энерãèè ïî âñåé äлине линии и нàçûâàåòñÿ õàðàктеристической (собст-

âенной) постоянной ослàбления линии: Àñ = al. Из формул (13.15 à) ñëåäóåò, ÷òî

Величинà Bñ = al = ju1 ju2 = ji1 ji2 íàçûâàåòñÿ õàðàктеристической

(собстâенной) постоянной фàзы линии.

Ïî àíàëîãии с теорией четырехполюсникоâ âеличинà Ãñ = Àñ + jÂñ ÿâляется õàðàктеристической (собстâенной) постоянной переäàчи линии.

Çàметим, что при отсутстâèè ñîãëàñîâàíèÿ, ò. å. ïðè Zí ¹ Zâ óñëîâèÿ ïåðå- äà÷è ýíåðãии по линии слеäует оцениâàòü âеличиной рàбочей постоянной переäà÷è Ãp = Àp + jÂp по формулàм, полученным â общей теории четырехполюсникоâ (ñì. ãë. 12).

13.5. Входное сопротивление линии

Âõîäное сопротиâление линии опреäеляется отношением нàпряжения и токà â íà÷àле линии. Нàéäåì âûðàжение äëÿ Zâõ, используя урàâнения переäàчи линии â форме (13.9 â):

341

Ðàссмотрим некоторые чàстные режимы рàботы линии.

Ïðè ñîãëàñîâàííîì âключении линии (Zí = Zâ) из (13.16) получим, что Zâõ = Zâ, êàê è áûëî óñòàíîâëåíî ðàíåå.

Åñëè âûõîäíûå çàжимы линии зàмкнуты нàкоротко (Zí = 0), формулà (13.16) упрощàется и принимàåò âèä

Êîãäà линия нàãруженà íà произâольное сопротиâление, не рàâ- íîå âîëíîâîìó (Zí ¹ Zâ), можно пользоâàòüñÿ äëÿ ðàсчетоâ общей формулой (13.16). Оäíàêî èíîãäà óäîáíî âûðàçèòü Zâõ через пàðà- метры XX и КЗ. Для этоãî ðàçäелим числитель и знàìåíàòåëü (13.16) íà Zâ ch gl :

Äàííàя формулà ïîçâоляет по измеренным знàчениям сопротиâлений XX и КЗ рàссчитàòü âõîäное сопротиâление линии.

Сущестâóåò åùå îäíà ôîðìà ïðåäñòàâления âõîäíîãо сопротиâления. Для получения ее перепишем âûðàжение (13.16) после äеления нà Zâ ch γl â äðó- ãîì âèäå:

Zâõ = Zâ Zí Zâ + th γl . 1 + ( Zí Zâ ) th γl

Обознà÷èì th χ = Zí Zâ . Òîãäà

Ýòà формулà äàåò âозможность по зàäàííûì ïàðàìåòðàì Zâ è Zí îïðåäелить

è çàòåì íàéòè âõîäное сопротиâление линии.

Âî âñåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íàãðóçêà íà конце линии не рàâíà åå âîëíîâому сопротиâлению, âõîäное сопротиâление опреäеляется ãиперболическим тàíãенсом комплексноãî àðãументà. Чтобы äàòü ïðåäñòàâление о хàðàктере изменения âõîäíîãо сопротиâления линии, нà ðèñ. 13.7, à ïîêàçàíû çàâисимости моäулей сопротиâлений XX и КЗ от äлины линии, построенные â ñîîòâåòñòâии с формулàìè (13.17), à íà ðèñ. 13.7, á изобрàæåíà çàâисимость моäóëÿ Zâõ îò ÷àстоты из (13.18) при несоãëàñîâàííîé íàãрузке линии.

342

Ðèñ. 13.7

Колебàтельный хàðàêòåð âõîäíîãо сопротиâления при несоãëà- ñîâàííîé íàãрузке объясняется нàличием â линии пàäàþùèõ è îò- ðàженных âîëí. Ôàçà îòðàженной âîëíû â íà÷àëå öåïè çàâèñèò îò âеличины βl, ò. å. îò ÷àстоты и äлины линии. При изменении чàñ- òîòû èëè äлины линии фàçà îòðàженной âîëíû íàпряжения то бу- äåò ñîâïàäàòü ñ ôàçîé ïàäàþùåé âîëíû íàпряжения, то буäет протиâоположнà ôàçå ïàäàþùåé âîëíû.  òî æå âðåìÿ äëÿ òîêà âñå áóäет происхоäèòü íàоборот: при соâïàäåíèè ôàç ïàäàþùåé è îò- ðàженной âîëí íàпряжения фàçû ïàäàþùåé è îòðàженной âîëí òîêà áóäут протиâоположны, т. е. если результирующàÿ âîëíà íà- пряжения мàêñèìàëüíà ïî àмплитуäе, то результирующàÿ âîëíà òîêà имеет минимàльную àмплитуäó. Òàêèì îáðàçîì,

13.6. Линия без потерь

Вторичные параметры и уравнения передачи. Ðåàëüíàя линия

âñåãäà îáëàäàет потерями. Оäíàêî â ðÿäå ñëó÷àåâ óäîáíî ñ÷èòàть линию иäåàльной, т. е. не имеющей потерь. Линия без потерь это линия, у которой рàссеяние энерãии отсутстâует, что имеет место при знàчениях перâичных пàðàметроâ R = 0 è G =0.

Òàêàÿ èäåàëèçàöèÿ îïðàâäàíà äля коротких по äлине линий, рàáîòàþùèõ íà ñâåðõâысоких чàñòîòàõ (ôèäåðîâ, элементоâ ðà- äиотехнических устройстâ, полоскоâых линий, измерительных линий, соãëàсующих СВЧ устройстâ è äð.), ãäå âыполняются усло- âèÿ R = ωL è G = ωC, и поэтому резистиâными сопротиâлением проâîäîâ è ïðîâîäимостью изоляции можно пренебречь по срàâ- нению с инäóêòèâным сопротиâлением и емкостной проâîäимостью линии.

Коэффициент рàспрострàнения линии без потерь

343

g = a + jb = ( R + jwL)(G + jwC ) = -w2LC = jwLC.

Îòñþäà коэффициент ослàбления a = 0, à коэффициент фàçû b = w LC линейно зàâèñèò îò ÷àстоты.

Волноâое сопротиâление линии без потерь

ÿâляется чисто àêòèâным (резистиâíûì).

Коэффициент фàçû b ñâÿçàí ñ äлиной âолны электромàãнитноãо колебàíèÿ. Длиной âîëíû l íàçûâàåòñÿ ðàсстояние межäó äâóìÿ òî÷êàìè, âзятыми â íàïðàâлении рàспрострàнения âîëíû, ôàçû â которых отличàþòñÿ íà 2p. Ñëåäîâàтельно, bl = 2p и l = 2p/b.

Óðàâнения переäàчи линии без потерь получàþòñÿ èç (13.9 â),

Ïðè àíàлизе процессоâ, происхоäÿùèõ â линии без потерь, общепринято рàсположение той или иной точки нà линии хàðàктеризоâàòü åå óäàлением не от нà÷àëà линии, кàê ýòî äåëàëè ïðåæäå, à îò êîíöà линии (рис. 13.8). В этом случàå óðàâнения переäàчи линии без потерь, âûðàæàющие комплексные äåéñòâующие знà÷å- íèÿ íàпряжения и токà â произâольной точке линии õ, отсчитàí- íîé îò åå êîíöà, çàïèñûâàþòñÿ â âèäå:

Ðàссмотрим рàзличные режимы рàботы линии без потерь.

Согласованное включение линии. Ïðè íàãрузке линии без потерь нà резистиâное сопротиâление Zí = Rí, ðàâíîå âîëíîâîìó Zâ = râ, òîê I2 = U2/Rí = U2/râ è óðàâнения переäà÷è (13.19)

x

Ðèñ. 13.8

344

преобрàзуются слеäующим обрàçîì:

Ýòè óðàâнения описыâàþò ïàäàþùèå âîëíû, ðàспрострàняющиеся â линии слеâà íàïðàâî, ò. å. îò íà÷àëà к концу линии (рис. 13.9, à). Íà íàïðàâление рàспрострàнения âîëí óêàçûâàåò çíàê «ïëþñ» ïåðåä bx (íàпомним, что рàсстояние õ отсчитыâàåòñÿ îò êîíöà линии).

Òàêèì îáðàçîì, ïðè ñîãëàñîâàííîì âключении линии без потерь â ней сущестâуют только пàäàþùèå, èëè áåãóùèå, âîëíû íàпряжения и токà. Ïðè ýòîì àмплитуäы колебàний постоянны по âñåé äлине линии (рис. 13.9, á). Äàнный режим рàботы линии нàçûâàþò òàêæå режимом беãóùåé âîëíû. Ñäâèã ôàç ìåæäó íàпряжением èõ и током ix ðàâен нулю, поэтому энерãèÿ áåãóùåé âолны носит àê- òèâíûé õàðàêòåð.

Короткое замыкание линии. Ïðè Zí = 0 íàпряжение â конце линии U2 = 0. Óðàâнения переäà÷è (13.19) äëÿ äàííîãо режимà ðàботы линии принимàþò âèä:

Если положить äля простоты нà÷àльную фàçó ji2 òîêà â конце линии рàâíîé íóëþ, òî ìãíîâенные знàчения нàпряжения и токà â любой точке линии описыâàþòñÿ âûðàжениями:

345

Амплитуäû íàпряжения I2 ρâ sin βx è òîêà I2 cosβx ÿâляются функциями коорäèíàòû õ. В линии есть точки, â которых àмплитуäà íàпряжения (токà) â любой момент âремени рàâíà íóëþ. Ýòî òàê íàçûâàåìûå óçëû íàпряжения (òîêà). Имеются тàкже точки, â которых àмплитуäà íàпряжения (токà) приобретàåò ìàêñèìàльное знàчение пучности нàпряжения (òîêà).

Óçëû íàпряжения и пучности токà îáðàзуются â òî÷êàõ, â êî-

торых βx = 0, π, 2π, ..., òàê êàê ïðè ýòîì sin βx = 0 è ux = 0, a cos βx = ±1 è òîê ix имеет мàêñèìàльную àмплитуäу. Пучности нàïðÿ-

жения и узлы токà âозникàþò â òåõ òî÷êàх линии, ãäå βx = π2 ; 32 π; 52 π; K.

Ïðè ýòèõ çíàчениях βõ sin βõ = ±1, â ýòîì ñëó÷àå àмплитуäà íà- пряжения ux îêàçûâàåòñÿ ìàêñèìàльной, a cos βõ = 0 è àмплитуäà òîêà ix ðàâíîé íóëþ. Ðàссмотрим причины пояâления узлоâ и пуч- ностей нàпряжения и токà.

При КЗ линии коэффициенты отрàжения имеют знàчения

σu = ( Zí − Zâ )( Zí + Zâ ) = −1, σi = −σu = 1,

т. е. происхоäит полное отрàжение энерãèè, â результàòå ÷åãî â любой точке цепи результирующее нàпряжение (ток) окàçûâàåòñÿ ðàâным сумме пàäàþùèõ è îòðàженных âолн. Дейстâительно, из урàâнений â комплексной форме (13.20) слеäóåò:

Поскольку потерь â линии нет, àмплитуäû ïàäàþùèõ è îòðà- женных âîëí âî âñåõ òî÷êàх линии оäèíàêîâû.

Ñäâèã ôàç ìåæäó ïàäàþùåé è îòðàженной âîëíàìè íàпряжения â точке õ

ϕu = βx − [− (βx − π )] = 2βx − π = 4λπ x − π,

à ìåæäó ïàäàþùåé è îòðàженной âîëíàìè òîêà

ϕi = βx − ( −βx ) = 2βx = 4λπ x.

Óäîáíî ðàññìàòðèâàòü â линии без потерь точки õ, отстоящие от концà линии нà ðàсстояния, крàòíûå ÷åòâåðòè äëèíû âîëíû, ò. å. êðàòíûå λ/4. В конце линии (õ = 0) ϕu = π è ϕi = 0. Ñëåäîâà- тельно, пàäàþùàÿ è îòðàæåííàÿ âîëíû íàпряжения нàõîäÿòñÿ â

346

режим рàботы линии получил тàêæå íàçâàíèå режимà стоячих

âîëí.

Íàпряжение èõ è òîê ix â КЗ линии соãëàñíî (13.21) ñäâинуты по фàçå íà 90°. Ýòî ñâèäетельстâóåò î òîì, ÷òî ýíåðãия стоячей âолны имеет реàêòèâíûé õàðàêòåð.

Îïðåäåëèì âõîäное сопротиâление КЗ линии â произâольной

Ïðè x = 0, λ/2, λ, 3λ/2, ... âеличинà βx = ( 2πλ ) x = 0,π,2π,3π,K

è âõîäное сопротиâление Zâõ êç = 0. Ïðè õ = λ/4, 3λ/4, 5λ/4, ... âе- личинà βx = 2πλ x = 0, π2,K è âõîäное сопротиâление Zâõ êç = = ± j∞.

Íà ðèñ. 13.13 ïðèâåäåíà çàâисимость Zâõ êç j îò äлины линии (рàсстояния õ îò êîíöà линии).

Меняя äлину КЗ линии без потерь, можем получить âõîäíîå

сопротиâление, имеющее инäóêòèâíûé õàðàêòåð (â äèàïàçîíå x =

= 0 ... λ/4), емкостный хàðàêòåð (õ = λ/4 ... λ/2), çàтем опять ин-

äóêòèâíûé (õ = λ/2 ... 3λ/4) è ò. ä.

Ïðè äëèíàõ, êðàòíûõ λ/4, âõîäное сопротиâление короткозàìêíó-

той линии без потерь экâèâàлентно âõîäному сопротиâлению пàðàл- лельноãо колебàтельноãо контурà, à ïðè äëèíàõ, êðàòíûõ λ/2 âõîäному сопротиâлению послеäîâàтельноãî êîëåáàòельноãо контурà.

Учитыâàÿ, ÷òî â линиях, без потерь β = ωLC è, ñëåäîâàтельно, чàñòîòà ω è äëèíà линии l (èëè ðàсстояние от концà линии õ)

äлине КЗ линия преäñòàâляет собой äâухполюсник с бесконечным числом резонàíñîâ.

Размыкание линии. В режиме XX Zí = ∞ è I2 = 0. Óðàâнения переäàчи получим из (13.19):

348

Äëÿ ìãíîâенных знàчений имеем (при нà÷àльной фàçå íàïðÿ-

Ñðàâíèâàÿ óðàâнения переäà÷è (13.22) è (13.23) ñ óðàâнениями КЗ линии (13.20) и (13.21), âèäим, что полученные урàâнения тàê- æå ÿâляются урàâнениями стоячих âîëí. Ðàçíèöà состоит â том, что узлы и пучности нàпряжения при XX соâïàäàþò ñ óçëàми и пучностями токà при коротком зàìûêàíèè, à узлы и пучности токà ðàзомкнутой линии с узлàми и пучностями нàпряжения КЗ линии. В конце рàзомкнутой линии обрàзуется пучность нàпряжения и узел токà.

Äàнный режим рàботы линии по àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèì íàçû- âàåòñÿ режимом стоячих âîëí. Âõîäное сопротиâление рàзомкнутой линии без потерь опреäеляется из (13.22):

Åãî ãðàôèê, îòðàæàþùèé çàâисимость от õ, äàí íà ðèñ. 13.15.

Включение линии на реактивное сопротивление. Пусть линия нàãруженà íà èíäóêòèâность Lí (ðèñ. 13.16, à). Ïðè çàäàííîé ÷àстоте ω сопротиâление

íàãрузки Zí = jωLí.

Èç ðèñ. 13.13 âèäно, что отрезок зàкороченной линии äлиной меньше λ/4 имеет âõîäное сопротиâление инäóêòèâíîãî õàðàêòåðà. Поэтому âñåãäà можно поäîáðàòü òàêóþ äлину отрезкà l ′, при которой еãî âõîäное сопротиâление рàâнялось бы зàäàнному сопротиâлению Zí. Çàменим инäóêòèâность Lí отрезком КЗ линии (рис. 13,16, á). Ýòà çàìåíà ïîçâоляет применить теорию КЗ линии и срàзу же построить криâûå ðàñïðåäеления нàпряжения и токà â ëè-

349

íèè, íàãруженной нà èíäóêòèâность (рис. 13.16, â). Â ðàññìàòðèâàемой линии âозникàют стоячие âолны. Этот режим отличàется от режимà ÊÇ çàìûêàíèÿ òåì, ÷òî áëèæàйший узел и пучность сäâинуты от концà линии нà некоторое рàсстояние.

Íà ðèñ. 13.1á, ã ïðèâåäåí ãðàôèê âõîäíîãо сопротиâления линии, âклю- ченной нà èíäóêòèâность â çàâисимости от ее äлины. Оно имеет реàêòèâíûé õàðàêòåð â любом сечении линии.

Âñëó÷àå, êîãäà линия нàãруженà íà емкость Cí с сопротиâлением Zí =

=1/(jωCí), можно зàменить эту емкость отрезком рàзомкнутой линии äлиной l < λ/4 (ñì. ðèñ. 13.15), âõîäное сопротиâление котороãî ðàâняется зàäàнному 1/(jωCí). Î÷åâèäíî, è â ýòîì ñëó÷àå â линии âозникàют стоячие âîëíû. Ïðå- äîñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ âозможность проàíàлизироâàòü äàнный режим рàботы линии сàмостоятельно.

Включение линии на резистивное сопротивление, не равное

волновому. Положим äëÿ îïðåäеленности, что сопротиâление нà- ãрузки Rí > Zâ = ρâ, è ðàссмотрим рàспрострàнение по линии âîëíû íàпряжения.

Ïàäàþùàÿ âîëíà íå âñÿ ïîãëîùàåòñÿ íàãрузкой, чàñòü åå îòðà- æàåòñÿ îáðàòíî â линию. Амплитуäà îòðàженной âолны меньше àмплитуäû ïàäàþùåé âолны, поэтому пàäàþùóþ âолну можно преäñòàâèòü â âèäе суммы äâóõ âîëí. Îäíà èç íèõ, ðàâíàÿ ïî àм- плитуäå îòðàженной âîëíå, âçàèìîäåéñòâóÿ ñ íåé, îáðàçóåò ñòîÿ- ÷óþ âîëíó. Îòñòàâøàÿñÿ ïàäàþùàÿ âîëíà ÿâляется беãóùåé. Òàêèì îáðàçîì, â линии âозникàåò ñìåøàííàÿ âîëíà, состоящàÿ èç áåãó- ùåé è ïàäàþùåé âîëí. Äàнный режим рàáîòû íàçûâàåòñÿ режимом смешàííûõ âîëí.

Íà ðèñ. 13.17 ïîêàçàíî ðàñïðåäеление по äлине линии моäуля комплексной àмплитуäû íàпряжения. В линии буäут отсутстâîâàòü

350