ulstu2011-115

Рассчитаем оценки коэффициентов регрессионного уравнения (2.6–2.8) и проверим их статистическую значимость по критерию Стьюдента (2.7) при q=0,1. По критерию Фишера (2.15) проверим адекватность линейной модели при q=0,05. Поскольку линейная модель неадекватна, будем последовательно добавлять в ММ нелинейные взаимодействия с наибольшими коэффициентами регрессии. Для достижения адекватности ММ оказалось достаточным добавить взаимодействие x1x3. Таким образом, после перехода к физическим переменным получаем искомую ММ:

y=267.95–8.40 U [1/В] –3.25 I [1/А] –1.16 T [1/°C]+0.05 U T [1/(В °C)],

где U – опорное напряжение, В; I – ток потребления, А; T – конечная температура нагрева, °С.

3.Порядок выполнения работы

1.В соответствии с индивидуальным заданием необходимо перейти к стандартизированному масштабу факторов, составить МП ПФЭ и проверить ее свойства, рандомизировать опыты.

2.Провести ПФЭ.

3.Проверить воспроизводимость опытов. Если дисперсии неоднородны, повторить эксперимент.

4.Рассчитать оценки коэффициентов регрессионного уравнения.

5.Проверить статистическую значимость коэффициентов регрессии.

6.Проверить адекватность полученной ММ.

7.Перейти к исходным физическим переменным.

8.Записать полученную ММ и сделать выводы.

4.Содержание отчета

Отчет по выполненной работе должен содержать:

1.Постановку задачи и цель работы.

2.Матрицу планирования эксперимента.

3.Результаты проверки воспроизводимости опытов. Результаты расчетов коэффициентов регрессии и проверки их статистической значимости.

4.Результаты проверки адекватности полученной ММ исходными экспериментальными данными.

5.ММ исследуемого объекта в нормированных и физических переменных.

21

6.Выводы и предложения о ходе дальнейших исследований, составленные на основании анализа ММ.

5. Контрольные вопросы

1.В чем сущность планирования эксперимента? Поясните разницу между активным и пассивным экспериментом.

2.Какие задачи решает теория планирования эксперимента?

3.Что такое факторы оптимизации и какие требования к ним предъявляются? Как выбрать уровни варьирования факторов?

4.Какие требования предъявляются к параметрам оптимизации?

5.В чем сущность ПФЭ и какие ММ он позволяет исследовать?

6.Какую область описывает уравнение регрессии, полученное с помощью ПФЭ и в каких границах его можно использовать?

7.Что такое взаимодействие факторов и сколько их в ПФЭ?

8.В чем сущность и цели стандартизации масштаба факторов?

9.Как составляется и какими свойствами обладает МП ПФЭ?

10.Каков порядок постановки опытов при ПФЭ?

11.Как проверить воспроизводимость опытов?

12.Как рассчитать оценки коэффициентов регрессионного уравнения?

13.Как проверить статистическую значимость оценок коэффициентов регрессии?

14.Как проверить адекватность полученной ММ?

15.Как перейти к исходным физическим переменным?

22

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2 «ДРОБНЫЙ ФАКТОРНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ»

1. Цель работы

Исследовать радиоэлектронное средство (РЭС) с применением дробного факторного эксперимента и получить математическую модель.

2. Дробный факторный эксперимент

Число опытов ПФЭ 2n быстро растет с увеличением числа факторов n, и при больших n этот вид эксперимента оказывается практически неприемлемым. Для уменьшения числа опытов из множества точек факторного пространства может быть отобрана их некоторая часть, содержащая подходящее число опытов и представляющая собой дробный факторный план.

Дробный факторный эксперимент (ДФЭ), как и ПФЭ, позволяет исследовать полиномиальные ММ вида (2.1). Число оцениваемых параметров ММ и число проводимых в эксперименте опытов связано с понятием насыщенности эксперимента. Если число проводимых опытов превышает число оцениваемых параметров, эксперимент называется ненасыщенным, если равно – насыщен-

ным, если больше – сверхнасыщенным.

Дробным факторным экспериментом называется система опытов, пред-

ставляющая собой часть ПФЭ, позволяющая рассчитать коэффициенты уравнения регрессии и сократить объем экспериментальных данных.

2.1. Составление матрицы планирования ДФЭ

Для построения МП ДФЭ из имеющихся n факторов отбирают (n–p) основных факторов, для которых строят МП ПФЭ. Эту матрицу дополняют затем p столбцами, соответствующими оставшимся факторам. Уровни дополнительных факторов определяют как поэлементное умножение уровней не менее двух и не более (n–p) основных факторов. Говорят, что ДФЭ – это эксперимент типа

2n-p.

Выбранное для дополнительного фактора произведение называется генератором плана (поскольку определяет для дополнительного фактора правило чередования уровней варьирования в МП). Очевидно, что ДФЭ типа 2n-p будет иметь p генераторов.

Например, для ДФЭ типа 23-1 число опытов равно четырем опытам по сравнению с 16 опытами в случае ПФЭ (см. табл. 3.1). При трех основных фак-

23

торах ДФЭ содержит 8 опытов, а генераторами для дробных планов могут слу-

жить произведения x1x2, x1x3, x2x3, x1x2x3.

При введении одного дополнительного фактора (ДФЭ типа 24-1) может использоваться любой из четырех возможных генераторов:

x4=x 1x2; x4=x1x3; x4=x2x3; x4=x1x2x3.

В качестве генераторов плана используются незначимые взаимодействия. Таблица 3.1

Для нахождения математического описания процесса используются определенные части ПФЭ: 1/2, 1/4, 1/8 и т. д.

Эта система опытов называется дробными репликами, а сам метод ДФЭ – методом дробных реплик. Возможные дробные реплики от ПФЭ типа 24 приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

24

МП ПФЭ типа 24

2.2. Определение смешанности оценок коэффициентов

Составим матрицу ДФЭ для трех факторов.

Таблица 3.3

По данному плану мы можем определить коэффициенты регрессии b0, b1, b2 , b3. Однако коэффициенты регрессии b1, b2 , b3 будут смешаны с парными взаимодействиями.

25

При значительном числе факторов и опытов определение смешанности по МП является трудоемким. Для нахождения, при каких факторах и взаимодействиях оценки коэффициентов будут смешанными, вводят понятие контраста плана. Контраст получают умножением обеих частей генератора плана вводимого дополнительного фактора xj на этот фактор. Например, поскольку для ДФЭ (табл. 3.1) генератор плана x3=x1x2, то для контраста получим x32=x1x2x3, т.к. xi2=1, окончательно имеем 1=x1x2x3. Чтобы определить, с какими факторами и взаимодействиями смешана оценка фактора хi, необходимо умножить обе части контраста на это фактор. Например, для х1 имеем: х1=х12х2х3=х2х3, т. е. в1 оценивает одновременно 1 и b23. Записывают это так

b1  1+b23.

Для x2: x2=x1x2x3x2=x1x3, тогда b2  2+b13; для x3: x3=x1x2x3x3=x1x2, тогда b3  3+b13,

где i – действительные значениякоэффициентов bi .

В зависимости от числа факторов, входящих в контраст, говорят о разрешающей способности ДФЭ. Так, если для ДФЭ типа 24-1 в качестве генератора плана выбрано х4=x1x2x3 (контраст соответственно будет 1=x1x2x3x4), то говорят, что у такого эксперимента разрешающая способность равна 4; если генератор x1x2=x4 и контраст 1=x1x2x4, то разрешающая способность равна 3; генераторы плана с наибольшей разрешающей способностью называют главными и отдают им предпочтение.

Если вводится не один, а несколько дополнительных факторов, то получаем несколько генераторов плана (для каждого дополнительного фактора свой). В этом случае для определения смешанности оценок используют обобщающий контраст, который строится из отдельных контрастов, а также их произведений во всевозможных сочетаниях. Пусть, например, для ДФЭ 25-2 в качестве генераторов выбраны соотношения x4 = x1x2 и x5 = x1x2x3, контрасты будут соответст-

венно 1 = x1x2x4 и 1 = x1x2x3x5, а обобщающий контраст: 1 = x1x2x4 = x1x2x3x5 = x3x4x5.

Для определения смешанности перемножаем все составляющие обобщающего контраста на соответствующие факторы:

для x1: x1= x2x4 = x2x3x5 = x1x3x4x5; для x4 : x4 = x1x2 = x1x2x3x4 = x3x5 .

Тогда для смешанности оценок получим:

b1  1+ 24+ 234+ 1345; b4  4+ 12+ 1234+ 35.

26

Необходимо отметить, что следствием уменьшения числа опытов по сравнению с ПФЭ является и уменьшение точности оценок, вызванное их смешанностью.

2.3. Порядок постановки ДФЭ

При ДФЭ стандартизация масштабов факторов, порядок постановки опытов, проверка воспроизводимости опытов, расчет оценок коэффициентов регрессионного уравнения и проверка их статистической значимости, проверка адекватности полученной ММ и переход к физическим переменным производится так же, как и при ПФЭ. Однако необходимо учитывать, что для насыщенного и сверхнасыщенного экспериментов невозможна проверка адекватности ММ, так как для нее уже не остается степеней свободы.

2.4. Пример использования ДФЭ

Продолжим рассмотрение примера, приведенного в подразделе 2.9 для ПФЭ. Воспользовавшись информацией, что взаимодействия факторов x1x2 и x1x2x3 оказались статистически незначимыми, исследуем влияние на качество поверхности магнитных дисков дополнительных факторов: скорости нагрева V и изотермической выдержки t, поставив для этой цели ДФЭ типа 25-2. Условия проведения опытов сведем в табл. 3.4. Факторы x1x2x3 остаются такими же, как в таблице 2.6.

Для факторов x4 и x5 генераторами плана выберем взаимодействия x1x2 и x1x2x3, тогда контрасты будут соответственно 1 = x1x2x4 и 1 = x1x2x3x5, а обоб-

щающий контраст 1 = x1x2x4 = x1x2x3x5 = x3x4x5.

Таблица 3.4

Условия проведения ДФЭ

Найдем смешанность оценок:

b1 1+ 24+ 235+ 1345 ; b2 2+ 14+ 135+ 2345 ;

27

b3 3+ 1234+ 125+ 45 ;

b4 4+ 12+ 12345+ 35 ; b5 5+ 1245+ 123+ 34 ; b13 13+ 234+ 25+ 145 ; b23 23+ 134+ 15+ 245 .

После составления МП эксперимента и проведения рандомизированных опытов сведем полученные результаты в табл. 3.5, после чего проведем статистическую обработку полученных результатов. Для проверки по критерию Кохрена (2.5) воспроизводимости опытов при выбранном уровне значимости q=0,05 вычислим в каждой точке факторного пространства среднее значение (2.3) и дисперсию (2.4) исследуемого параметра. Получаемые результаты также будем заносить в табл. 3.5.

28

Таблица 3.5

Пример расчета ДФЭ типа 25-2

29

Рассчитаем оценки коэффициентов регрессионного уравнения (2.6–2.8) и проверим их статистическую значимость по критерию Стьюдента (2.9) при q=0,05. По критерию Фишера (2.15) проверим адекватность линейной, а затем нелинейной ММ при q=0,05. Поскольку как линейная, так и нелинейная модели оказались неадекватными, делаем вывод о несоответствии выбранной ММ экспериментальным результатам. В дальнейших исследованиях следует использовать более сложные модели, например, квадратичные (ортогональное и рототабельное композиционное планирование).

3.Порядок выполнения работы

1.В соответствии с индивидуальным заданием необходимо перейти к стандартизированному масштабу факторов, составить МП ДФЭ, рандомизировать опыты.

2.Провести ДЭФ.

3.Проверить воспроизводимость опытов. Если дисперсии неоднородны, повторить эксперимент.

4.Рассчитать оценки коэффициентов регрессионного уравнения.

5.Проверить статистическую значимость коэффициентов регрессии.

6.Проверить адекватность полученной ММ.

7.Перейти к исходным физическим переменным.

8.Записать полученную ММ и сделать вывод.

4.Содержание отчета

Отчет по выполненной работе должен содержать:

1.Постановку задачи и цель работы.

2.Матрицу планирования эксперимента.

3.Результаты проверки воспроизводимости опытов.

4.Результаты расчетов коэффициентов регрессии и проверки их статистической значимости.

5.Результаты проверки адекватности полученной ММ исходными экспериментальными данными.

6.ММ исследуемого объекта в кодированных и физических переменных.

7.Генераторы плана. Контрасты плана.

8.Обобщающий контраст плана. Систему смешанности коэффициентов.

9.Выводы и предложения о ходе дальнейших исследований, составленные на основании анализа ММ.

30