вышмат

Определение 6. Функция f (x) имеет в точке x0 бесконечный предел,

Частными случаями определения 6 являются определения 7 и 8. Определение 7. Функция f (x) имеет в точке x0 пределом плюс беско-

нечность (+ ∞), если для любого числа М > 0 можно найти такое число δ>0,

Геометрически определение 7 означает, что все точки графика функции y = f (x), для которых x ( x0 – δ, x0 + δ), лежат выше прямой y = М, где М > 0 – произвольно, а δ подобрано в зависимости от М (рис. 5).

Рис. 5

Определение 8. Функция f (x) имеет в точке x0 пределом минус бесконечность (−∞), если для любого наперёд заданного числа М< 0 можно найти такое число δ > 0, что для всех значений x D (x ≠ x0 ), удовлетворяющих неравенству x − x0 < δ, выполняется неравенство f (x)<М.

Пишут: lim f (x)= −∞.

x→x0

21

Геометрически определение 8 означает, что все точки графика функции y = f (x), для которых x ( x0 – δ, x0 + δ), лежат ниже прямой y =М, где М < 0

– произвольно, а δ подобрано в зависимости от М (рис. 6).

Рис. 6

Если бесконечный предел функции f (x) в точке x0 получается при стремлении x к x0 только слева (x → x0 −0) или только справа (x → x0 + 0),

товэтомслучаеимеемделосодностороннимибесконечнымипределами.

Предел функции на бесконечности

Выше введено определение предела функции в данной точке x = x0 .

Введём теперь понятие предела функции на бесконечности. Пусть функция f (x) задана на неограниченном множестве D.

Определение 9. Число А называется пределом функции f (x) при x стремящемся к бесконечности (x → ∞), если для любого ε > 0 найдётся та-

кое вещественное число Р, что для всех x > Р, принадлежащих области определения функции, выполняется неравенство f (x) – А < ε.

Если А есть предел функции f(x) при x , стремящемся к бесконечности, то пишут

Число А при этом часто называют пределом функции f (x) на беско-

нечности.

Неравенство f (x) – А < ε равносильно неравенству А – ε < f (x)< А+ε. Учитывая последнее, можно дать следующее геометрическое истолкование

предела функции на бесконечности: lim f (x)=А геометрически означает,

x→∞

что какое бы ε > 0 мы ни взяли, найдётся такое Р, что для всех значений

22

x > Р кривая y = f (x) будет находиться между прямыми y = А – ε

и y = А + ε. (рис. 7).

Рис. 7

Если известно, что множество D не ограничено сверху (снизу), то можно говорить о пределе функции при x → +∞ (или x → −∞).

Определение 10. Число А называется пределом функции f (x) при x → +∞ (x → −∞), если для любого ε > 0 найдётся такое число Р, что для

телю дать самостоятельно.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Ограниченные функции

Аналогично понятию бесконечно малой и бесконечно большой перемен-

функцией при x → a (или в окрестности точки а), если имеет место одно из равенств:

В определениях 11 и 12 а может быть как числом, так и одним из символов ∞, + ∞, -∞.

23

ти D (в которой функция определена), если существует такое положительное число К, что для всех значений аргумента x , взятых из области D, имеет место неравенство

Если нельзя найти такое число К, чтобы неравенство (1.6) выполнялось одновременно для всех значений x D, то функция f (x) называется неограни-

ченной в этой области.

В частности, можно говорить о функциях, ограниченных на сегменте, в интервале и т. д. Если функция ограничена в интервале (−∞,+∞), то говорят, что она ограничена на всей прямой, или просто ограничена.

Так как неравенство (1.6) равносильно неравенствам -К< y< К, то ограниченность функции f (x) в области D геометрически означает, что точки

графика функции y = f (x), соответствующие всем абсциссам x D, лежат между двумя прямыми: y = -К и y =К, параллельными оси OX (рис. 8).

Рис. 8

Распространение теорем о пределах на случай произвольных функций

Для предела функции f (x) при x → x0 остаются верными все теоремы

о пределах, сформулированные в п. 1.3. В качестве примера рассмотрим теорему о пределе суммы, разности, произведения и частного. Прежде всего заметим, что арифметические действия над функциями можно производить только в общей части их областей определения.

24

Теорема 3. Пусть функции f (x) и g(x), определённые на некотором чи-

собой сумму, разность, произведение и частное этих функций (последнее при условии В ≠ 0), имеют в точке x0 также конечные пределы, причём

lim [ f (x)± g(x)]=А ± В;

x→x0

Таким образом, пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя отличен от нуля. Теперь, пользуясь теоремой о пределе частного, получаем:

lim sin x =1.

x→0 x

Доказательство этой теоремы приведено, например, в [ 1 ].

25

Рассмотренный предел часто называют первым замечательным пределом. Он находит большое применение при отыскании пределов величин, в выражении которых участвуют тригонометрические функции.

Второй замечательный предел

В математическом анализе встречается несколько важных пределов переменных величин. Одним из таких является предел переменной

где n = 1, 2, 3, … .

Теорема 5. Переменная величина (1.7) при n→∞ имеет предел, заключенный между 2 и 3.

Определение 11. Предел переменной величины (1+1/ n)n при n→∞ называется числом e :

e = lim (1+1/ n)n .

n→∞

26

Число e – иррациональное и поэтому не может быть точно выражено какой-нибудь конечной дробью. С точностью до 15-го десятичного знака число e =2,718281828459045… . При практических вычислениях обычно ограничиваются первыми двумя–тремя десятичными знаками этого числа. Число e играет очень важную роль в математическом анализе.

Этот предел часто называют вторым замечательным пределом.

Замечание 4. Наряду с (1.8) имеют место равенства [ 6 ]:

lim (1+1/ x)x = e ,

x→−∞

lim (1+1/ x)x = e ,

x→+∞

lim (1+ α)1/ a = e.

α→0

Последнее равенство получается из (1.8) следующим образом: сделаем заме-

ну1/ a = x . Приα→0, x→∞. α =1/ x . Тогда lim (1+ α)1/ a = lim (1+1/ x)x = e .

α→0 x→∞

Рассмотрим примеры на вычисление предела функций, сходящихся к

1

27

Замечание 5. Все изложенное в п. 1.4 об особых случаях пределов и неопределенностях верно и для произвольной функции f (x) .

Как уже отмечалось выше, для раскрытия неопределенностей даже одного какого-нибудь вида нельзя указать единого способа. В зависимости от конкретного примера неопределенность раскрывается тем или иным способом. В п. 2.2.2 с помощью дифференциального исчисления будут получены некоторые общие способы раскрытия неопределенностей. Здесь же продолжим рассмотрение некоторых наиболее употребляемых способов и приемов раскрытия неопределенностей, начатое в конце п. 1.4.

Пример 15. Найти предел многочлена n-й степени при x → +∞:

Решение. В данном случае можно повторить все рассуждения, проведенные нами при решении примера 1 в 1.4. В случае коэффициентов с разными знаками имеем неопределенность вида ∞ – ∞. Для раскрытия этой неопределенности вынесем за скобки высшую степень х, получим

Предел выражения в скобках, очевидно, будет равен первому слагаемому a0 (так как остальные слагаемые являются бесконечно малыми), а пре-

дел xn – бесконечности. Следовательно, все выражение будет иметь своим пределом +∞ или −∞, в зависимости от знака a0 .

28