Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Теория пределов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.04.2015

Размер:

581.73 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Sсек.OAC = 1

R2 x = 1 x ,

S OAC =

OA OC sin(OA ; OC) =

1 1 sin x ,

S OBC =

OC BC =

1 tg x =

tg x .

Значит,

sin x <

x <

tg x sin x < x < tg x

x (0;

) .

Теперь докажем, что

lim

sin x

= 1

― первый замечательный предел.

x→0

Рассмотрим − 2

< x <

2 , x ≠ 0 . Тогда в силу нечётности справедливо неравенство

sin x

tg x

, (x ≠ 0), 1 <

sin x

cos x

Так как в Ι и

ΙV

четвертях все выражения под знаком модуля положительные (в ΙV четверти

x < 0 и sin x < 0 ),

то

1 <

1 >

sin x

> cos x . Так как

lim cos x =1, то,

по теореме о

sin x

cos x

x→0

сжатой функции существует lim

sin x

=1.

x→0

1.6.

Ограниченные функции

Определение.

Функция

f (x)

называется

ограниченной

на

множестве

X , если

k > 0 : x X

f (x)

≤ k . (или существуют числа M , N : x X M ≤ f (x) ≤ N ).

Например,

f (x) = sin x - ограниченная функция на (−∞;+∞) , т.к.

sin x

≤1 при любых x .

Если функция не

является

ограниченной на

множестве

X ,

то

её

называют неограниченной.

Следовательно, f (x)

не ограничена на

X , если для любого сколь угодно большого k > 0 существует

хотя бы один

x* X :

f (x*)

> k .

Теорема 1. Если функция имеет конечный предел при x → x0 , то функция ограничена в окрестности предельной точки x0 .

•

Доказательство. lim f (x) = A ε > 0 Uδ(x0 ) : x U δ(x0 ) ∩ X f (x) − A < ε

x→x0

A −ε < f (x) < A + ε.

Обозначим A −ε = M				•	(x0 ) выполняется
				и A + ε = N . Тогда x U δ
ограниченная.
		Теорема 2. Если существует конечный ненулевой предел функции
	1		ограничена в окрестности предельной точки x0 .
	f (x)

M ≤ f (x) ≤ N , т. е. f (x) -

f (x) при x → x0 , то функция

Доказательство. Пусть lim f (x) = A, где А ≠ 0 . Тогда справедливо
x→x0
•	f (x) − A	< ε , или
ε > 0 Uδ(x0 ) : x U δ(x0 ) ∩ X

							A −ε < f (x) < A + ε.
Так как A ≠ 0 , то для достаточно малого ε > 0 все части последнего неравенства имеют одинаковые
знаки	1	<	1	<	1	1	- ограничена в окрестности предельной точки.
знаки	A + ε	<	f (x)	<	A −ε	f (x)	- ограничена в окрестности предельной точки.
	A + ε		f (x)		A −ε	f (x)
							7

Теорема 3. Если функция имеет бесконечный предел, то она неограниченна в окрестности предельной точки.

•

Доказательство. lim f (x) = ±∞ ε > 0 Uδ(x0 ) : x U δ(x0 ) f (x) > ε .

x→x0

Последнее неравенство и означает, что функция в окрестности предельной точки x0 является неограниченной.

1.7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (б.м. и б.б.)

Определение 1. Функция α(x) называется бесконечно малой (б.м.) в точке x0 , если lim α(x) = 0 .

x→x0

Теорема. Для существования конечного предела lim f (x) = A, необходимо и достаточно,

чтобы

x→x0

функцию f (x) можно было представить в виде

f (x) = A + α(x) , где α(x) - б.м. в точке x0 .

lim f (x) =

A ε > 0 U

•

(x0 ) ∩ X

f (x) − A

Доказательство.

δ(x0 ) : x U δ

< ε

x→x0

Обозначим f (x) − A = α(x)

α(x)

< ε, иначе говоря

•

α(x) −0

< ε lim α(x) = 0 .

ε > 0 Uδ (x0 ) : x U δ(x0 ) ∩ X

x→x0

Следовательно α(x)

― б. м. в точке x0 , где α(x) = f (x) − A f (x) = A + α(x) .

Определение 2.

Функция

f (x)

называется бесконечно

большой (б.б.) в точке

x0 ,

если

lim f (x) = ∞.

x→x0

ЗАМЕЧАНИЕ.

В определении б.б. функции f (x) → ∞, это значит, что охватываются случаи стремления f (x) → +∞

или f (x) → −∞. Однако можно привести пример б.б. функции, которая не стремится к + ∞ или −∞.

Например, f (x) = tg x - б.б. в точке x =

, хотя

lim f (x) не существует. Действительно

x→

lim tg x = −∞ и

lim tg x = +∞. Односторонние пределы не равны. Однако

lim

tg x

= +∞, т. е.

x→

−0

x→

f (x) = tg x - б.б. в точке x =

1.8.

Свойства б.м. и б.б. функций

Теорема 1. Если α(x) б.м. в точке x0 , то

- б.б. в точке x0

и если f (x) б.б. в точке x0 , то

α( х)

f (х)

б.м. в точке x0 .

Доказательство. Пусть α(x)

б.м. в точке

x0 . Обозначим

= f (x) и X

- область определения

α( х)

функции α(x) . Возьмём E > 0 -

сколь угодно большое число, тогда

= ε- сколь угодно малое число.

Так как α(x) б.м. в точке x0 , то для ε =

> 0

Uδ(x0 ) : x U

= 1 = 1 > 1 = E

δ(x0 ) ∩ X α(x) < ε f (x)

•

Итак, ε > 0 Uδ(x0 ) : x U•δ(x0 ) ∩ X

α(õ)

f (x)

> E , т. е.

f (x) ― б.б. в

точке x0 .

Аналогично

доказывается и второе утверждение теоремы.

Теорема 2. Произведение функции, б.м. в точке x0 , на ограниченную функцию в окрестности точки x0 есть б.м. функция в той же точке.

Доказательство. Пусть α(x) - б.м. в точке x0 , а ϕ(x)

- ограниченная в Uδ(x0 ) , т.е.

ϕ(x)

≤ k для

всех значений x Uδ(x0 ). Обозначим f (x) = α(x) ϕ(x) .

Пусть X - область определения для функций

α(x)

и ϕ(x) . Возьмём

ε > 0 и найдём ε =

. Так как

α(x) б.м. в точке x0 , то по

ε =

найдём

•

) : x U δ

) ∩ X

α(x)

< ε =

. Тогда для x U δ(x

) ∩ X справедливо неравенство:

f (x)

α(x) ϕ(x)

α(x)

ϕ(x)

≤

k = ε f (x)

б.м. в точке x0 .

sin x

Пример. lim

= 0 , т. к. sin x - ограниченная для всех x , а 1

- б.м. в точке ± ∞ .

x→±∞ x

Следствия:

1). Произведение конечного числа бесконечно малых функций есть б.м. в той же точке. Действительно б.м. функция является ограниченной, т. к. имеет конечный предел.

2). Произведение конечного числа бесконечно больших функций есть б.б. в той же точке. Действительно, если ϕ1(x),...,ϕn (x) - б.б., то

f (x) = ϕ (x) ... ϕ

(x) =

...

ϕ ( õ)

( õ)

ϕ ( õ)

( õ)

откуда следует, что функции f (x) представляет собой

, то есть б.б.

á.ì.

Теорема 3. Сумма конечного числа функций, б.м. в точке x0 , является б.м. функцией в той же точке.

Доказательство. Пусть α1 (x), α2 (x)

- б.м. в точке

x0 . Тогда возьмём любое сколь угодно малое

> 0 , для которого

•

Uδ1 (x0 ) : x Uδ(x0 ) ∩ X

α1 (x)

и Uδ2 (x0 ) : x Uδ(x0 ) ∩ X

α2 (x)

•

Тогда ε > 0 U δ(x0 ) =U δ1 (x0 ) ∩U δ2

(x0 ) : x U δ(x0 )

α1 (x)

α2 (x)

(x) + α

(x)

≤

(x)

= ε

Таким образом, f (x) = α1 (x) + α2 (x) - б.м. в точке x0 .

Сформулируем еще два свойства для бесконечно больших функций:

Сумма конечного числа функций, б. б. в одной точке, и имеющих одинаковый знак, является б.б. того же знака в той же точке.

Сумма функции, б.б. в точке x0 , и ограниченной функцию в окрестности точке x0 есть б.б. функция в той же точке.

1.9. Арифметические операции над функциями, имеющими конечный предел. Вычисление пределов

Теорема 1. Если существуют конечные пределы двух функций lim f (x) = A и		lim g(x) = B , то
	x→x0	x→x0
lim ( f (x) + g(x)) = A + B
x→x0
Доказательство.
lim	f (x) = A f (x) = A + α(x) , где α(x) - б.м. в точке x0 .
x→x0
lim	g(x) = B g(x) = B +β(x) , где β(x) - б.м. в точке x0 .
x→x0
	9

Тогда f (x) + g(x) = A + B + (α(x) +β(x)) , где (α(x) +β(x)) - б.м. в точке x0 . Следовательно,

lim ( f (x) + g(x)) = A + B .

x→x0

Теорема 2. Если существуют конечные пределы двух функций lim f (x) = A и

lim

g(x) = B , то

x→x0

lim ( f (x) g(x)) = A B

x→x0

Доказательство.

lim

f (x) = A f (x) = A + α(x) , где α(x) - б.м. в точке x0 .

x→x0

lim

g(x) = B g(x) = B +β(x) , где β(x) - б.м. в точке x0 .

x→x0

Найдём

f (x) g(x) = ( A + α(x)) (B +β(x)) = A B + ( A β(x) + B α(x) + α(x) β(x)) ,

где

B α(x) и

A β(x) ,

также

α(x) β(x)

являются

б.м.

точке

x0 .

Значит

f (x) g(x) = A B + (б.м.) lim ( f (x) g(x)) = A B .

x→x0

Теорема 3. Если существуют конечные пределы двух функций

lim

f (x) = A и

lim g(x) = B ≠ 0 ,

f (x)

x→x0

то lim

x→x0 g(x)

Доказательство. Из определения предела следует, что справедливы утверждения:

lim f (x) = A f (x) = A + α(x) , где α(x) - б.м. в точке x0 .

x→x0

lim

g(x) = B g(x) = B +β(x) , где β(x) - б.м. в точке x0 .

x→x0

Найдём разность

f (x)

−

A + α( x)

−

A B + B α(x) − A B − A β(x)

B α(x) − A β(x)

g(x)

B B + β( x)

B (B +β(x))

B2 + B β(x)

(B α(x) − A β(x))

= (б.м.) (огр.)=(б.м.)

B2 + B β(x)

где

- ограниченная, т. к. знаменатель стремится к B2 ≠ 0 .

B2 + B β(x)

Таким образом

f (x)

+ (б.м.) lim

f (x)

g(x)

x→x0

g(x)

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

		lim C	f (x) = lim C lim	f (x) = C lim f (x) .
		x→x0	x→x0 x→x0	x→x0
	Рассмотрим все возможные случаи, которые могут встретиться при вычислении пределов суммы,
произведения и отношения функций.
		Вычисление предела суммы f (x) + g(x)
	Пусть lim f (x) = A и lim g(x) = B . Тогда, если:
	x→x0	x→x0
1.	A, B - конечные числа lim ( f (x) + g(x)) = A + B .
		x→x0
2.	A = +∞, B = +∞	lim ( f (x) + g(x)) = [+∞ + ∞] = +∞.
		x→x0
3.	A = −∞, B = −∞	lim ( f (x) + g(x)) =[−∞ −∞] = −∞ .
		x→x0
			10

4.	A = +∞, B - конечное lim ( f ( x) + g( x)) = [+∞ + В] = ∞ .
		x→x0
5.	A = +∞, B = −∞	lim ( f (x) + g(x)) =[+∞ −∞]	неопределённость.
		x→x0
Примеры:

1).

2).

−1

lim

−

= [∞ −∞]= lim

= −∞.

+ 0

x→0 x2

x→0 x

−

= [∞ −∞]= lim

x +1 − 2 x

= −lim

x −1

= −

lim

−

−1

x→1 x

x2 −1

x→1

x→1 (x −1) (x +1)

Вычисление предела произведения f (x) g(x) .

Пусть

lim

f (x) = A и

lim g(x) = B . Тогда, если:

x→x0

B - конечные числа lim ( f (x) g(x)) = A B .

x→x0

A ≠ 0, B = ∞

lim ( f ( x) g( x)) = [ A ∞] = ∞ .

x→x0

A = 0, B = ∞

lim ( f (x) g(x)) =[0 ∞]

неопределённость.

x→x0

Пример: lim x ctg x =[0 ∞] = lim

cos x =

lim

cos x

=1.

x→0

x→0 sin x

x→0

sin x

Вычисление предела отношения

f (x)

g(x)

Пусть

lim f (x) = A и

lim g(x) = B . Тогда, если:

x→x0

f (x)

A, B - конечные числа,

B ≠ 0 lim

g(x)

x→x0

A ≠ 0, B = 0 ,

f ( x)

lim

= ∞ .

g(x)

→x0

б.м.

A -конечное, B = ∞ ,

lim

f (x)

= 0 .

g(x)

∞

x→x0

A = ∞, B - конечное,

lim

f (x)

∞

= ∞ .

g(x)

x→x0

A = ∞, B = 0 ,

lim

f (x)

∞

= ∞ .

g(x)

x→x0

A = 0, B = ∞ ,

lim

f (x)

= 0 .

g(x)

∞

x→x0

f (x)

7. A = 0, B = 0 ,

lim

- неопределённость.

g(x)

x→x0

f (x)

∞

8. A = ∞,

B = ∞,

lim

- неопределённость.

g(x)

x→x0

∞

Примеры.

x2 −3 x + 2

(x −1)

(x − 2)

1). lim

= lim

x2 +3 x

(x −1) (x −3)

x→1 x3 − 4

x→1 x

x2 − 4 x3

∞

x3 (

− 4)

= lim

= 4 .

2).

lim

x→∞ x

+3 x − x

∞

x→∞ x

(

−1)

х2

3).

lim

4 − x − 4 + x

= lim

− 2 x

= −

2 x

x( 4 − x +

x→0

4 + x)

1.10. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций (б.м. и б.б)

Определение 1. Пусть α(x) и β(x) ― б.м. в точке x0 , тогда

1). Если lim	α(x)	= 0 , то α(x) называется б.м. более высокого порядка относительно
x→x0	β(x)

β(x) .Обозначение: α(x) = о(β(x)) .

2). Если	lim	α(x)	= C , где C ≠ 0,C ≠ ∞, то α(x) и β(x) называется б.м. одинакового порядка.
	x→x0	β(x)
3). Если	lim	α(x)	не существует, то α(x) и β(x) называются несравнимыми.
	x→x0	β(x)
Пример. Сравнить α(x) = x2 −1 и β(x) = x −1 в точке x =1.
Решение. Так как lim					x2 −1	= lim(x +1) = 2 α(x) и β(x) одного порядка.
Решение. Так как lim					x −1	= lim(x +1) = 2 α(x) и β(x) одного порядка.
				x→1	x −1	x→1		α(x)
Определение 2.				Две б.м. функции называются эквивалентными при x → x0			, если lim	α(x)
							x→x0	β(x)
Обозначается : α(x)				~	β(x) .
				x→x0

б.м.

=1.

Примеры. 1) sin x

x , так как

lim

sin x

=1.

x→0

tg x

~ x , так как

tg x

sin x

lim

= lim

lim

=1 .

x→0

cos x

x→0

x→0 cos x

1 −cos x

sin 2 (

)

sin 2

(

)

sin(

)

3) 1 −cos x

, так как

lim

= lim

=1.

x→0 2

x→0

arcsin x

~ x , так как

lim

arcsin x

= lim

=1.

x→0

y→0 sin y

arctg x

~ x , так

как

lim

arctg x

= lim

=1.

x→0

y→0 tg y

Свойства эквивалентных б.м.

Теорема 1. Сумма функций, б.м. в точке x0 , разного порядка эквивалентна б.м. меньшего порядка.

Доказательство.

Пусть β(x)

- б.м. в точке x0 более высокого порядка, чем α(x) . Рассмотрим γ(x) = α(x) +β(x) .

γ(x)

α(x) +β(x)

β(x)

Найдём

lim

= lim 1

=1 + 0 =1, то есть α(x) +β(x)

~ α(x) .

x→x0 α(x)

α(x)

x→x0

Теорема 2. Предел

отношения

двух

б.м.

функций в

точке

не

изменится,

если

числитель и

знаменатель заменить на эквивалентные им б.м. функции. Иначе:

если α(x) ~ α1 (x) и β(x) ~ β1 (x) , x → x0	, то lim	α(x)	=	lim	α1 (x)
если α(x) ~ α1 (x) и β(x) ~ β1 (x) , x → x0	, то lim	β(x)	=	lim	β1 (x)
	x→x0	β(x)		x→x0	β1 (x)
12

Доказательство.

α(x)

α1

(x) β1

(x)

α1 (x)

lim

= lim

β(x)

α1 (x)

β1

(x)

β1 (x)

x→x0

β(x) x→x0

Теорема 3. Если α(x) ~ α1 (x)		и β(x) ~ β1 (x) ,		x → x0 , то α(x) β(x) ~ α1 (x) β1(x) .
Доказательство.
lim		α(x) β(x)	= lim		α(x)	lim	β1 (x)	=1.
	α1 (x) β1 (x)						β(x)
x→x0			x→x0 α1 (x)			x→x0

Теорема 4. Сумма б.м. функций эквивалентна сумме эквивалентных им б.м., если заданная сумма не

является разностью эквивалентных б.м.

Пример.

tg x −sin x

x − x ,

поскольку ноль является конечным числом, а не бесконечно малой функцией. В

x→0

этом

случае

постараемся

разложить

заданное

выражение

на

множители.

tg x −sin x = sin x

1 −cos x

cos x

x→0

Определение 3. Пусть

U (x)

V (x) - б.б. в точке x0 . Тогда:

1) если

lim

U (x)

= ∞, то U (x)

называется б.б. высшего порядка относительно V (x) . В этом случае

x→x0

V (x)

V (x) - б.б. низшего порядка относительно U (x) . Очевидно lim

V (x)

= 0 .

x→x0

U (x)

2) если

lim

U (x)

= C , где C ≠ 0, C ≠ ∞ , то U (x) и

V (x) называются б.б. одинакового порядка.

x→x0

V (x)

3) если /

lim

U (x)

, то U (x)

V (x) называются несравнимыми.

V (x)

x→x0

4) если

lim

U (x)

=1 , то U (x)

V (x) называются эквивалентными: U (x) ~

V (x) .

x→x0

V (x)

x→x0

Свойства эквивалентных б.б. функций.

Отметим лишь некоторые свойства.

1)Сумма б.б. функций разного порядка эквивалентна б.б. высшего порядка.

2)Предел отношения б.б. не изменится, если числитель и знаменатель заменить на эквивалентные б.б.

Иначе: если U (x) ~ U	1	(x) и V (x) ~ V (x) ,	x → x	0	, то lim	U (x)	= lim	U1 (x)

		1			x→x0	V (x)	x→x0 V1 (x)

3) Сумма б.б. функций можно заменить на сумму эквивалентных б.б., если заданная сумма не является разностью эквивалентных б.б.

4) Если U (x) ~ U1(x) и V (x) ~ V1(x) , x → x0 , то U (x) V (x) ~ U1(x) V1(x) .

1.11. Главная часть б.м. и б.б. функций

Для каждой б.м. или б.б. функции существует бесконечное множество эквивалентных функций. Например, при x → 0 б.м. функция tg x ~ sin x; ~ arcsin x; ~ x и т. д.

Естественно при вычислении пределов использовать замену на простейшую эквивалентную функцию. Определение 1. Пусть α(x) - простейшая б.м. в точке x0 , а β(x) - другая б.м. в той же точке x0 .

Если β(x) ~ C(α(x))k , где C, k - постоянные числа, C ≠ 0 , то бесконечно малую C(α(x))k x→x0

называют главной частью β(x) . Число k называют порядком функции β(x) относительно α(х) .

ЗАМЕЧАНИЕ

Вид главной части зависит от того, конечным или бесконечным является число x0 . Пусть β(x)

- б.м. в

точке x0 , то

1) Если x0 = a - конечное число, то главная часть функции

β(x)

имеет вид C (x − a)k .

2) Если x0 = ∞, то главная часть функции

β(x) имеет вид C

1 k

Определение 2. Пусть U (x) - простейшая бесконечно большая в точке x0 ,

V (x) - другая бесконечно

большая в той же точке x0 . Если V (x)

C(U (x))k , где C, k - постоянные числа, C ≠ 0 ,

k > 0 , то

x→x0

бесконечно большую C(U (x))k

называют главной частью функции V (x) . Число k называют порядком

функции V (x) относительно U (х) .

ЗАМЕЧАНИЕ.

Пусть V (x) - б.б. в точке x0 . Тогда:

1). если x0

= a - конечное число, то главная часть функции V (x) имеет вид C

− a

= ∞, то главная часть функции V (x) имеет вид C (x)k .

2). если x0

1.12. Второй замечательный предел

Теорема.

Последовательность

(1 +

)п,

где

п =1, 2,K,

стремится

конечному

пределу,

заключенному между числами 2 и 3.

Доказательство. Воспользуемся формулой бинома Ньютона

(1 + х)п =1 + пх+

п(п−1)

х2 +

п(п−1)(п−2)

х3 +K+ хп При

x =

(1 +

)п

=1 + п

п(п−1)

(

)2 +

п(п−1)(п−2)

(

+K+ (

)п

= 2 + 1

п−1

(п−1)(п−2) +K+ 1K(п−1)п

2 3

п2

2 3Kп

пп

= 2 +

(1 −

)(1 −

)+K+

(п(п−1)K(1+п−п)

2 3

2 3Kп

= 2 +

(1 −

)(1 −

)+K+

(п−1

п−2

п−(п−1)

2 3

2 3Kп

= 2 +

(1 −

)(1 −

)+K+

(1 −

)(1 −

)K(1 −

п−1

2 3

2 3Kп

123

14243

144424443

Так как слагаемые положительные, то последовательность (1 + 1п)п имеет наименьшее значение 2, а

затем растет с увеличением п.

С другой стороны, так как выражения (1 − 1п)<1 , (1 − 1п)(1 − п2 )<1 и т.д., то

(1 +		)п < 2 +												1			(1 −	1		)= 2 +1 −
	1		1	+	1	+K+	1	< 2 +	1	+	1	+K+		1	= 2 +	2	(1 −	2n−1			1	= 3 −		1	< 3 .
	п		2	+	2 3	+K+	2 3Kn	< 2 +	2	+	2	+K+		n−1	= 2 +		1 −	1			n−1	= 3 −		n−1	< 3 .
				{		123					2		2						2				2
				>2			>2 2K2											2

Таким образом 2 < (1 + 1п)п < 3 , то есть последовательность ограниченная возрастающая. Тогда она

имеет предел, заключенный между 2 и 3. Этот предел обозначают числом е, то есть lim (1 + 1 )n = e . n→∞ n

Выяснено, что e ― это иррациональное число (оно называется числом Непера). Это число вычислено

e 2,7182818284...

Полученное предельное соотношение можно записать в другом виде, обозначив	1	= z	n = 1	:
	п
			z

lim(1 + z)z = e ― второй замечательный предел. z→0

Определение. Натуральными называются логарифмы, за основание которых принято число е.

Обозначение: ln x = loge x .

Пользуясь вторым замечательным пределом, докажем несколько эквивалентностей:

lim ln(1 + x)

x→0 x

lim loga (1 + x) = lim

x→0 x x→0 ln a

= lim ln(1 + x) x = ln e =1

x→0

ln(1+x)			ln(1 + x)
	ln a	= lim		=1

	x	x→0	x
	ln a

ln(1 + x) ~ x .

x→0

loga (1 + x) ~ x .

x→0 ln a

ах −1

lim

= lim

ln a

loga (1 + (a x −1))

loga (1 + y)

x→0

хln a

x→0 ln a

y→0 ln a

y→0 loga

(1 + y)

a x −1 ~

x ln a .

x→0

Как частный случай ex −1 ~

x .

x→0

lim

(1 + x)a −1

= lim

ea ln(1+x)

−1

= lim

a ln(1 + x)

= lim

(1 + x)a −1 ~

ax .

x→0

x→0 ax

x→0

Таблица 3. Таблица эквивалентных бесконечно малых

sin x

1 −cos x

x→0

tg x

~ x

loga (1 + x)

ln(1 + x)

~ x

x→0

x→0 ln a

x→0

arcsin x ~

a x −1 ~

x ln a

ex −1 ~

x→0

arctg x

(1 + x)a −1 ~

x→0

1 + x sin x −1 = lim

(1 − x sin x)

−1

x sin x

Пример.

lim

= lim

x→0

ex2 −1

x→0

1.13. Показательные неопределенности

Определение. Функция вида

y = (u(x))v( x) , где u(x) > 0

называется показательно-степенной. Так

как (u(x))v( x) = eln(u(x))v( x)

= ev( x) ln u( x) , то

lim (u( x))v( x) =

lim

v( x) ln u( x)

lim

ev( x) ln u( x)

= по т. о пределе суперпозиции = ex→x0

x→x0

Возможны следующие неопределенности:

[1∞ ], если u →1, v → ∞ . Тогда lim uv = [1∞ ]= elimv ln u

= e[∞ 0],

[∞0 ], если u → ∞, v → 0 . Тогда lim uv = [∞0 ]= e[0 ∞], [00 ], если u → 0, v → 0 . Тогда lim uv = [00 ]= e[0 ∞].

−1 2x

lim 2xln

x−1

lim 2xln(1−

)

lim 2x(−

)

Пример. lim

= [1∞ ]= ex→∞

= ex→∞

= e−2

x→∞

1.14. Непрерывность функций

Определение 1.

Пусть дана функция y = f (x) . Рассмотрим два значения ее аргумента x и

x0 .

Разность

x − x0 =

называется

приращением

аргумента

точке x0 . Разность

у − у0 = f (x) − f (x0 ) =

y называется приращением функции y = f (x) в точке x0 .

Так как x − x0 =

x , то x = x0 + x и

y = f (x0 +

х) − f (x0 ) .

Определение 2. Функция y = f (x)

называется непрерывной в точке

x0 ,

если она определена в

некоторой

окрестности

точки x0

lim

y = 0 , т.е.

если

бесконечно

малому приращению

x соответствует б. м. приращение

y .

x→0

y = lim (f (x) − f (x0 ))= 0

Так как

y = f (x) − f (x0 ) ,

то

можно

переписать

lim

x→0

x→х0

lim f (x) = f (x0 ) .

x→х0

Таким образом, получаем эквивалентное определение:

Определение 3.	Функция		y = f (x)	называется непрерывной в точке x0 ,				если она определена в
некоторой окрестности точки x0 и lim				f (x) = f (x0 ) или		lim f (x) =	lim	f (x) = f (x0 ) .
			x→х0			x→х0 +0	x→х0 −0
Это равенство можно переписать в виде lim					f (x) = f ( lim x) , то есть под знаком непрерывной
функции можно переходить к пределу.				x→х0		x→х0

Приведем две важные теоремы о непрерывных функциях.
Теорема 1. Если функции			f (x) и g(x) непрерывны в точке x0 , то непрерывны в этой же точке их
сумма, произведение и частное (при g(x0 ) ≠ 0 ).
Доказательство. Найдем
lim F(x) = lim (f (x) + g(x))= lim f (x) + lim g(x) = f (x0 ) + g(x0 ) = F(x0 )
x→õ0	x→õ0			x→õ0	x→x0
функция F(x) = f (x) + g(x) ― непрерывная в точке						x0 . Аналогично доказываются теоремы для
произведения и частного.
Теорема 2. Если функция g(x) непрерывна в точке x0 , а функция							f (u) ― в точке u0 = g(x0 ) , то
сложная функция f (g(x))		непрерывна в точке x0 .
Доказательство.	lim	f (g(x)) = lim f (u) = f (u0 ) = f (g(u0 )) .
	x→х0		u→u0
Определение 4. Если функция y = f (x) непрерывна в каждой точке некоторого интервала (а; b), то
функция называется непрерывной на этом интервале.
Определение 5. Функция			y = f (x)	называется непрерывной слева (справа) в точке x0 , если она
определена в точке x0 и		lim	f (x) = f (x0 ) (или		lim	f (x) = f (x0 ) ).
	x→х0 −0				x→х0 +0
Определение 6. Функция			y = f (x)	называется непрерывной на замкнутом интервале [a; b], если

она непрерывна в каждой точке интервала (а; b), и непрерывна справа в точке а и слева в точке b . Рассмотрим некоторые свойства функций, непрерывных на отрезке.

1. Непрерывная на [a; b] функция достигает на этом отрезке по крайней мере один раз наибольшего значения Ì и наименьшего значения ò , т.е. m ≤ f (x) ≤ M (рис. 11).

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.04.201541.61 Кб5ТЕМЫ СЕМИНАРОВ ПО СОЦИОЛОГИИ.docx
#
18.04.201527.14 Кб91Темы эссе по деловому этикету.doc
#
18.04.201518.99 Кб11Темы_5_6.docx
#
23.11.20194.82 Mб9Теоретический материал.docx
#
18.04.2015564.74 Кб25Теория вероятностей. Лекция №7.doc
#
18.04.2015581.73 Кб72Теория пределов.pdf
#
18.04.2015443.39 Кб22Теория_руководства.doc
#
26.09.2019382.98 Кб2Терминологический словарь.doc
#
24.11.2019518.58 Кб39Тест по маркетингу Фирсова.rtf
#
14.11.201925.01 Кб11Тест по ООН.docx
#
20.07.2019853.5 Кб2тест препр.doc