Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Типовик матан 5 модуль

.pdf

Скачиваний:

171

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

21. а) y =		x − 2 x x, ρ(x, y) =3(			x − y) ,			x =	6, x = 2 3 ;
		3						1		2
		3
		1	2x2
x =				−1	, t1		π	, t2 =	π
x =		cos t , ρ(x, y) =		−1		=	π		π
б)										.
б)			x( y2	+1)			6		3	.
	y = tg t		x( y2	+1)			6		3
	y = tg t

22. а) y = e2 x , ρ(x, y) = 4 y2 , x

=ln 4

3, x

=ln 4 8 ;

x = arcsin t

2 − y

, ρ(x, y)

, t1 = 0, t2 =

б)

y =

1−t2

= π

23. а) y = cos x, ρ(x, y) =

, x

= 0, x

;

2 − y2

x = 1+t

)

ρ(x, y) =

(

б)

1+t2

−1,

t1 =

, t2 = 3 .

y = ln t +

24. а) y = 1− x2 , ρ(x, y) =

= −

, x

;

x = ctg t

2 y2 −1

3π

1 , ρ(x, y) =

, t1 =

, t2 =

б)

y(x2

y =

sin t

25. а) y = 2

x −1, ρ(x, y) = xy ,

= 5 4, x

= 4;

1− x

б) x =

1−t

, ρ(x, y) =

, t = 0, t

2 − x2

y = arcsin t

26.а)

б)

y = 2		x −	x x	, ρ(x, y) = 6 x −3y				, x = 2 3, x = 4 2 ;
y = 2		x −		, ρ(x, y) = 6 x −3y				, x = 2 3, x = 4 2 ;
		3						1	2
		3
	x =	1			1	+ x2
	x =	t , ρ(x, y) =			1	+ x2	, t1 = 2, t2 = 4 .

						x
						x
y = ln t

27. а) y = 2ex / 2 , ρ(x, y) =1, x = ln 3, x				2	= ln 8 ;
			1	2
x = 0,5ln(1+t2 )		, ρ	(x, y) = tg y	, t1 = 0, t2 =		5
б)							.
б)	y = arctg t					2	.
	y = arctg t					2

28. а) y = 2

x +1, ρ(x, y) =

, x

= − 3 , x

= 21

;

y2 +4

x = tg t

, ρ(x, y) =

, t1

, t2 =

б)

y =

2 y2

−1

cos t

= π

29. а) y =sin x, ρ(x, y) = y cos x ,

x = 0, x

;

= ln (t + 1+t

), ρ(x, y) =

б)

, t = 0, t

=1.

y =

1+t

30. а) y =

(ln x − x2 ), ρ(x, y) =(ln x −2 y)2 , x1 = 4 2, x2 = 4 20 ;

, t1

, t2

б)

sin t , ρ(x, y) =

2x2

−1

y = ctg t

IV. С помощью криволинейного интеграла первого рода найдите массу M дуги пространственной материальной кривой,

x =ϕ(t)

заданной уравнениями y =ψ(t) при t1 ≤t ≤t2 , если плотность

z = χ(t)

вещества равна ρ(x, y, z) .

x = 2t −1

+ y2

y = 2t +1

, ρ(x, y, z) =

, t1 =

, t2 =

+1)2

−1

z =t

x = cos t

ρ(x, y, z) = z 3(x2 + y2 ) + z2 , t1 = 0, t2 = 2 2 .

y =sin t ,

z =

x = 2t −1

+ z2

y =t

+1 , ρ(x, y, z) =

, t1 =

6, t2 = 2 6 .

+1)2

−1

z =t

		x =t				1
4.			2t , ρ(x, y, z) = x y2 + z2 , t1		= 0, t2 =	1	.
4.	y =1−		2t , ρ(x, y, z) = x y2 + z2 , t1		= 0, t2 =	2	.
			2t			2
	z =1+		2t
	x = cos t			z2
				z2
5.	y = 2sin t , ρ(x, y, z) =				, t1 =3, t2 = 6 .
5.	y = 2sin t , ρ(x, y, z) =			6 − x2 − y2	, t1 =3, t2 = 6 .
		z =t		6 − x2 − y2
		z =t

x =sin t

9(x

+ y

)

y = cos t ,

ρ(x, y, z) =

, t1

, t2 =

3 .

+63

z =3 7t

x =sin t

y =t

, ρ(x, y, z) =

xz, t1 = 0, t2

z = 2 cos t

x = 2t −1

y =3t , ρ(x, y, z) =

, t1

= 0, t2 = 2 .

+3x2

z = 6t +1

x =t

6 − y2 − z2 , t1 = 0, t2 =

y = cos t , ρ(x, y, z) =

z = 2sin t

x = 2t

10.

y =t

, ρ(x, y, z) =

, t1 = 6, t2

= 20 .

− x2

z = 2t +1

x = 2sin t

= π .

11.

y = 2cost , ρ(x, y, z) = y2 − x2 +12z2 , t

= 0, t

z = 2

x = 2 cos t

12.

y =sin t

, ρ(x, y, z) =

, t1 = 0, t2 =

− x2 − y2

z =t

x = 2t

13.

y =3t

, ρ( x, y, z) =

−6xy , t1

= −

, t2 = 0 .

z = 6t +2

x = 2sin t

5x2

14.

y =t

ρ(x, y, z) =

,t1 = 0, t2 = 2π .

z =3cos t

x =sin 2t

ρ(x, y, z) = x2 + y2 + z2 , t = 1 , t

15.

y = cos 2t ,

=1.

z = 4

x =t

2π

16.

y =3sin t ,

ρ(x, y, z) =

, t1 =

, t2

48 +3z2 −2 y2

z = 2 cos t

x = 0,5t −1

17.

y = 2 −0,5t

, ρ( x, y, z) =

, t1 = 4, t2 = 7 .

z =t

2 − y2

x = 4

x( y

+ z

)

18.

y = 2cost ,

ρ( x, y, z) =

, t1 =

, t2

z = 2sin t

+32

x =t

19.

y = 2sin t ,

ρ(x, y, z) =

, t1

= 0, t2 =

6 − y2 − z2

z = cos t

x =sin t

20.

y = 3t , ρ(x, y, z) = (x + z) y, t1 = 0, t2

z = cos t

x = 0,5

21.

y =sin t , ρ(x, y, z) = 2 5x(z − y), t1

3π

, t2 = 2π .

z = cos t

x =3cos t

22.

y =t

ρ(x, y, z) = 11− x2 − z2 , t1 = 0, t2 = 2π .

z =sin t

x =3sin t

xyz

23.

y = cos t ,

ρ(x, y, z) =

, t1

= 0, t2 =

11− x2 − y2

z =t

x = 2t

2( y2

− z2 )

24.

y = 0,5t

, ρ(x, y, z) =

, t1

=1, t2 = 2 .

z =1−0,5t

x =t

3π

25.

y =sin t

ρ(x, y, z) =

, t1

, t2

11− y2 − z2

z =3cos t

x = cos 2t

26.

y = 2 3t ,

ρ(x, y, z) =

, t1 = 0, t2 = 2 .

3(x2 + y2 + z2 )

z =sin 2t

x =3t

y2 + z2

27.

y = 2sin 2t

, ρ(x, y, z) =

, t1

= 0, t2

x2 + y2

+ z2

z = 2 cos 2t

x = 0,5t −1

2 y

28.

y = 0,5t

, ρ(x, y, z) =

, t1

= 0, t2 = 5 .

2(x2

+ z2 )

z = 0,5t +1

x = 4sin t

29.

y =3t

ρ(x, y, z) =

, t1 = 0, t2 = 4 .

x2 + y2

+ z2

z = 4 cos t

x =1−6t

3(x2

− y2 )

30.

ρ(x, y, z) =

, t1 =

, t2 =

y = 2t −1,

z =3t

V. Дано векторное поле a и плоскость σ , пересекающая координатные плоскости по замкнутой ломаной KLMK, где K, L, M – точки пересечения плоскости σ с координатными осями Ox, Oy, Oz соответственно.

1)Найдите поток Q векторного поля a через часть S плоскости

σ, вырезаннойG координатными плоскостями, в сторону нормали n , направленной от начала координат О(0;0;0).

2)С помощью теоремы Остроградского-Гаусса найдите поток Q векторного поля a через полную поверхность тетраэдра OLMK в сторону внешней нормали.

3)Найдите циркуляцию C векторного поля a по контуру KLMK, образованному пересечением плоскости σ с координатными плоскостями.


1.	aG		= ( y − x)iG+(3y − z)k , σ : 2x + y + z = 4 .
2.	aG		=3( y − x)iG+(x +3y + z) Gj, σ : x −3y − z = −3.
3.	aG		= ( x + y)iG +(z −3y)k , σ : x + y − z = −2 .
4.	aG		= (x + z) Gj +(z − y)k , σ : x −2 y + z = 2 .
5.	aG		= (1+ z − y) Gj +(3x −2 y −2z)k , σ : 3x + 2 y − z = 6 .
6.	aG		= (3y + z) Gj −3(x + y)k , σ : 3x −3y + z = −3.
7.	aG		= (z − y)iG+(x + y −2z)k , σ : 2x +2 y + z = −2 .
8.		G	G	σ : 2x − y − z = 2 .
	a		=3xj −(3x +2 y + z)k ,
9.		aG	= (x − y + z) j +3( y −1)k , σ : 3x +3y + z = 6 .
10.		aG	= (3z − x)iG+(z − y) Gj,	σ :		x −2 y − z = −4 .
11.		aG	= 3(z − y) Gj +(x + y +3z)k ,			σ :		x + y −3z = −3 .
12.		aG	=( x −3z)iG+( y + z) Gj,	σ :		x − y + z = 2 .
13.		aG	= (x − z)iG+(x + y)k ,	σ :		x + y −2z = 2 .
14.		aG	= (3y +2z −2x)i +(1+ x − z)k ,					σ :	x −3y +2z = −6 .
15.		aG	= −3( y + z)iG+(x +3z)k ,		σ :		x +3y +3z = −3.
16.		aG	=( y + z −2x)i +(x − z) Gj,			σ :		x −2 y −2z = 2 .
17.		aG	= −(x +3y +2z)i +3yk ,		σ :		x + 2 y + z = 2.
18.		aG	= 3(z −1)iG+(x + y − z)k ,		σ :			x −3y −3z = −6 .
19.		aG	= (3x − y) Gj +(x − z)k ,	σ :		x + y −2z = −4 .
20.		aG	= (3x + y + z)i +3(x − z)k ,			σ :		3x − y + z =3 .
21.		aG	= ( y −3x) Gj +(x + z)k ,	σ :		x + y − z = 2 .
22.		aG	=( y + z)iG+( y − x) Gj,	σ :		2x − y + z = −2 .
23.		aG	=(1− x + y)iG+(2x −2 y +3z) Gj,					σ :	2x + y +3z = −6 .
24.		aG	=(3x + y)iG−3(x + z) Gj,		σ : 3x − y −3z =3.

25.	aG	= (x + z −2 y) j +( y − x)k ,			σ : 2x + y +2z = 2 .
26.	G	G	G	σ :	x − y −2z = −2 .
26.	a	=3zi −(2x + y +3z) j,		σ :	x − y −2z = −2 .
27.	aG	= (3x −2)iG+( y + z)k ,		σ :	3x +2 y −2z = −6 .
28.	aG	= (2z +2) Gj +(x + y)k ,		σ :	2x −3y +2z = 6 .
29.	aG	= (x + y)iG	+(z −2)k ,	σ :	2x +2 y −3z = 6 .
30.	aG	= (x −3)iG	+( y +2z)k ,	σ :	x − y + z = −3 .

VI. Дано векторное поле a(M ) .

1)Проверьте, является ли векторное поле соленоидальным или потенциальным.

2)Если поле потенциально, найдите его потенциал.

1.aG = ( yz + y −1)i +(xz + x) Gj +(xy +2)k .

2.aG = (−4x + y)iG+(2 y + x + z) Gj +(2z + y)k .

3.aG = (2xy −6x)i +(x2 −2 yz) Gj − y2k .

4.aG = (sin y +2)iG+(x cos y + z) Gj +( y +2z)k .

5.aG = ( y2 −3x2 + z)i + 2xyjG+(x +1)k .

6.aG = 2x( y + z)iG+(x2 − y2 ) Gj +(x2 − z2 +3)k .

7.aG = (z2 − y2 ) sin x i +(2 y cos x +2) Gj −2z cos x kG.

8.aG = ( y2 + y)iG+(2xy − z2 + x) Gj −2 yzk .

9.aG = ( y2 − z2 )iG+2xyjG+(1 −2xz)k .

10.aG = (1+ey )iG+(xey −ez −1) Gj +(2 − yez )k .

11.aG = (2 − yz)iG+(z − xz −1) Gj +( y − xy +1)k .

12.aG = (3y2 z −3x2 z)i +(6xyz +3) Gj +(3xy2 − x3 )kG.

13.aG = ( yex + z2 )i +(ex +1) Gj +2(xz −1)k .

14.aG =sin y iG+(x cos y −sin z) Gj − y cos z k .

15.aG = (x2 − y2 −3)i −2 y(x + z) Gj +(z2 − y2 )k .

16.aG = (ez +2)iG−(ez +3) Gj +(ez x −ez y +1)k .

17.aG = (2 yz + y − z)i +(2xy + x − z) Gj +(2xy − x − y)kG.

18.aG = ( yz +2 y −3z)i +(xz +2x + z) Gj +(xy −3x + y)kG.

19.aG = 2x sin z iG−2 y sin z Gj +(x2 − y2 ) cos z k .

20.aG = 3( y2 − x2 +1)i +6 y(x − z) Gj +3(z2 − y2 )kG.

21.aG = 3(z2 − x2 )i +3( y2 − z2 ) Gj +(6xz −6 yz −3)kG.

22.aG = 2x cos y iG+(z2 − x2 ) sin y Gj −2z cos y k .

23.aG = (2x + z)iG+(z −4 y) Gj +(x + y + 2z)k .

24.aG = (2 − zex )iG+(ez −3) Gj +( yez −ex )k .

25.aG = ( y −3z)iG+(x + 2z) Gj +(2 y −3x +4)k .

26.aG = (4x + z − y)i −(2 y + x) Gj +(x −2z)k .

27.aG = ( y +ez − zex )i +(x − z) Gj +(xez −ex − y)kG.

28.aG = (2x +cos z)i −(2 y +cos z) Gj +( y − x) sin z kG.

29.aG = (2xy +2)iG+(x2 −2 yz − y2 ) Gj +(z2 − y2 )kG.

30.aG = cos y iG+(sin z − x sin y) Gj + y cos z k .

В 2009 году Университет стал победителем многоэтапного конкурса, в результате которого определены 12 ведущих университетов России, которым присвоена категория «Национальный исследовательский университет». Министерством образования и науки Российской Федерации была утверждена программа его развития на 2009–2018 годы. В 2011 году Университет получил наименование «Санкт-Петербургский национальный исследовательский университет информационных технологий, механики и оптики»

КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Кафедра высшей математики (ВМ) была организована в 1931 году. Первым заведующим кафедрой был профессор Г.Д. Гродский. С конца 1936 года кафедрой ВМ заведовал профессор И.П. Натансон, известный специалист по теории функций действительной переменной. В 1944 году заведующим кафедрой ВМ становится профессор В.А. Тартаковский (1901-1973), замечательный математик и педагог. Владимир Абрамович Тартаковский является одним из крупнейших советских алгебраистов. Им получены пользующиеся мировой известностью результаты по проблеме тождества в теории бесконечных групп. Известность получили также его работы по использованию теоретико-числовых методов в теории изгибания поверхностей, теории диофантовых уравнений.

Обладая исключительной энергией, В.А. Тартаковский уделял много внимания научной и общественной работе. Ещё в тридцатые годы он в составе комиссии Hapкoмпроca участвовал в разработке программы по математике для средней школы. В течение долгого времени был членом президиума учебнометодического совета при Министерстве высшего и среднего специального образования СССР, входил в комиссию по реформе математического образования в стране. Был одним из инициаторов проведения среди школьников Ленинграда первой математической олимпиады. В.А. Тартаковский участвовал в организации Ленинградского отделения математического института им. В.А. Стеклова и был первым его директором.

В разное время на кафедре ВМ преподавали академик В.И. Смирнов, член-корреспонпент АН АН СССР Д.К. Фаддеев, проф. И.С. Соминский, проф. Ф.И. Харшиладзе, проф. А.Ф. Андреев, проф. Ю.В. Аленицын, проф. И.А. Молотков. В 1979 году кафедру возглавил доктор технических наук, профессор В.Г. Дегтярёв, специалист по теории устойчивости и теории движения космических аппаратов. С 1997 года кафедрой руководит доктoр физико-

математических наук, профессор И.Ю. Попов, в область научных интересов которого входят теория рассеяния, теория операторов, моделирование сложных физических систем.

Кафедра ВМ осуществляет обучение студентов всех специальностей университета по дисциплине “Высшая математика” и читает ряд специальных дисциплин математического цикла. Кафедра ведет подготовку бакалавров и магистров по направлению “Прикладная математика и информатика”. Кафедра ВМ является самой большой кафедрой в университете по числу преподавателей. Среди её сотрудников 7 докторов и 19 кандидатов наук. Преподаватели кафедры активно участвуют как в фундаментальных исследованиях по математике и теоретической физике, так и в прикладных научно-технических исследованиях, принимают активное участие в работе российских и международных научных конференций, выступают с докладами и преподают за рубежом. За последние 5 лет сотрудниками кафедры опубликовано более 300 работ в отечественных и зарубежных научных изданиях. Областью научных интересов профессора А.Г.Петрашеня является теория взаимодействия излучения с веществом, оптика и спектроскопия. Профессор В.П. Смирнов – специалист по теории твёрдого тела и применению теории групп в квантовой механике. Профессор Жук В.В. – один из ведущих в мире ученых в области дифференциальных уравнений. Профессор В.Ю. Тертычный занимается теорией оптимального управления механическими системами. Профессор Уздин В.М. является известным специалистом в физике магнитных наносистем. Профессор Мирошниченко Г.П. активно занимается изучением взаимодействия излучения с веществом.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
21.03.2016345.13 Кб83Тиоповой расчёт по математике 6 модуль.pdf
#
20.03.2016912.38 Кб41Типовик - несобственные интегралы и ряды.doc
#
20.03.20163.06 Mб24типовик 1 курс 3 модуль.doc
#
20.03.20163.08 Mб68Типовик 3 модуль.doc
#
20.03.2016117.25 Кб35типовик 7 модуль.doc
#
14.04.20151.22 Mб171Типовик матан 5 модуль.pdf
#
21.03.201616.17 Mб21Типовик по матану 3 семестр.pdf
#
21.03.201648.03 Mб120Типовик_мат_6модуль.pdf
#
14.04.2015988.75 Кб17ТИПОВЫЕ РАСЧЕТЫ ДЛЯ ЭКОНОМ СПЕЦ 1-2 модуль.pdf
#
14.04.20151.14 Mб23Типовые расчеты.pdf
#
21.03.2016843.71 Кб7типовые расчеты.pdf