Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1
.pdfПриведем примерU |
U вычисления определителя третьего порядка различными |
||||||
способами. |
|
|
|
|
|
||
Пусть дан определитель |
|||||||
|
|
1 |
− 2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
∆ = |
|
4 |
−1 |
5 |
|
. |
|
|
|
6 |
−8 |
7 |
|
|
|
1способ (по определению)
∆= −7 − 60 − 96 +18 + 56 + 40 = −49 .
2способ (по теореме разложения).
∆ =1 |
|
−1 |
5 |
|
+ 2 |
|
4 |
5 |
|
+ 3 |
|
4 |
−1 |
|
=1 33 + 2 (−2) + 3 (−26) = −49 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
−8 |
7 |
|
|
|
6 |
7 |
|
|
|
6 |
−8 |
|
|
3 способ (преобразованием с помощью свойств). Умножая строку на (−4) и прибавляя ко второй, затем, умножая первую строку на (−6) и прибавляя к третьей, получаем определитель, равный заданному:
|
|
1 |
− 2 |
3 |
|
|
|
|
|||||
∆ = |
|
0 |
7 |
− 7 |
|
. |
|
|
0 |
4 |
−11 |
|
|
Разлагая этот определитель по элементам первого столбца, находим
∆=1 74 −−117 = (−77 + 28) = −49 .
Взаключении еще раз подчеркнем, что поскольку любой определитель n - го порядка посредством теоремы Лапласа сводится к определителям второго и третьего порядков, то очевидно, что все свойства определителей второго и третьего порядков справедливы и для определителя n -го порядка.
Итак, свойства определителей n -го порядка выражаются следующим теоремами.
1.Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами.
2.При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак.
3.Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен
нулю.
4.Множитель, общий для элементов некоторого столбца (строки), можно выносить за знак определителя.
5.Определитель с двумя пропорциональными столбцами (строками)
равен нулю.
6.Определитель равен нулю, если все элементы некоторого столбца (строки) равны нулю.
7.Определитель не изменится, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответственные элементы другого столбца (строки), предварительно умножив их на один и тот же множитель.
8.Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
93
9. Пусть ∆ - некоторый определитель n -го порядка. Сумма произведений алгебраических дополнений элементов какой-нибудь строки (столбца) на любые числа q1, q2 , ..., qn равна определителю ∆′, который
получается из данного ∆ заменой упомянутой строки (столбца) строкой (столбцом) из чисел q1, q2 , ..., qn .
10. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.
4.14 Методы вычисления определителей n −го порядка
1 Разложение определителя по элементам строки или столбца
Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца (формула 4.33) позволяет свести вычисление определителя n −го порядка ( n >1)
к вычислению n определителей порядка n −1.
Если определитель имеет равные нулю элементы, то удобнее всего разлагать определитель по элементам той строки (или столбца), которая содержит наибольшее число нулей.
Используя свойства определителей, можно преобразовать определитель n −го порядка так, чтобы все элементы некоторой строки или столбца, кроме, может быть, одного, равнялись нулю. Таким образом, вычисление определителя n −го порядка, если он отличен от нуля, сводится к вычислению одного определителя (n −1)-го порядка. И так процесс продолжается дальше, т.е. сводим
вычисление определителя (n −1)-го порядка к вычислению определителя (n − 2)
порядка, и так далее до тех пор, пока не дойдем до определителя третьего порядка, который мы можем вычислить по определению.
НапримерU |
,U вычислим определитель четвертого порядка |
||||||
|
−1 |
2 |
7 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||
∆ = |
1 |
3 |
−1 |
2 |
|
. |
|
|
2 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
− 5 |
2 |
−1 |
3 |
|
|
Решение. Прибавив ко второй строке первую, к третьей – первую, умноженную на 2, к четвертой – первую, умноженную на – 5, получим
|
−1 |
2 |
7 |
5 |
|
|
|
||||
∆ = |
0 |
5 |
6 |
7 |
, |
|
0 |
5 |
16 |
13 |
|
|
0 |
−8 |
− 36 |
− 22 |
|
т.е. мы «обнулили» все элементы первого столбца, кроме одного.
Теперь, разлагая определитель по элементам первого столбца, имеем
94
∆ = −1 (−1)1+1 |
5 |
6 |
7 |
= −252 . |
7 |
16 |
13 |
||
|
−8 |
− 36 |
− 22 |
|
2 Приведение определителя к треугольному виду
Определителем треугольного вида называется определитель треугольной матрицы, т.е. определитель, имеющий один из следующих видов:
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
... |
a1n |
|
|
|
0 |
a22 |
a23 |
... |
a2n |
|
|
|
∆1 = |
0 |
0 |
a33 |
... |
a3n |
|
|
|
|
... ... ... ... ... |
|
|
|||||
|
0 |
0 |
0 |
... |
ann |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
a11 |
0 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a21 |
a22 |
0 |
... |
0 |
|
|
∆2 = |
a31 |
a32 |
a33 |
... |
0 |
. |
||
|
... ... ... ... ... |
|
|
|||||
|
|
an1 |
an2 |
an3 |
... |
ann |
|
Докажем, что определитель треугольного вида равен произведению элементов его главной диагонали, т.е.
∆1 = ∆2 = a11a22 a33 ...ann .
Действительно, разлагая определитель ∆1 по элементам первого столбца,
имеем
|
|
|
a22 |
a23 |
... |
a2n |
|
∆ |
|
= a |
0 |
a33 |
... |
a3n |
. |
|
1 |
11 |
... ... ... ... |
|
|||
|
|
|
0 |
0 |
... |
ann |
|
Полученный определитель вновь разлагаем по элементам первого столбца.
Тогда
|
|
|
|
a33 |
a34 |
... |
a3n |
|
∆ |
|
= a a |
|
0 |
a44 |
... |
a4n |
. |
|
1 |
11 |
22 |
... ... ... ... |
|
|||
|
|
|
|
0 |
0 |
... |
ann |
|
Продолжая этот процесс, получаем ∆1 = a11a22 a33 ...ann . Аналогично можно показать, что ∆2 = a11a22 a33 ...ann .
95
Таким образом, иногда удобно при вычислении определителя предварительно привести его к треугольному виду, используя свойства определителей.
НапримерU ,U вычислим определитель четвертого порядка
1 2 −1 5
∆ = |
1 |
5 |
6 |
3 . |
|
−1 |
− 2 |
3 |
5 |
|
2 |
4 |
− 2 |
8 |
Приведем определитель к треугольному виду. Используя свойство 8 определителя, преобразуем его так, чтобы каждый элемент, находящийся ниже главной диагонали, был равен нулю. Для этого из второй строки вычтем первую, к третьей строке прибавим первую, из четвертой вычтем первую, умноженную на 2. Получим
|
1 |
2 |
−1 |
5 |
|
|
|
|
|||||
∆ = |
0 |
3 |
7 |
− 2 |
|
. |
|
0 |
0 |
2 |
10 |
|
|
|
0 |
0 |
0 |
− 2 |
|
|
Так как определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали, то ∆ =1 3 2 (−2) = −12 .
3 Метод опорного элемента
Метод опорного элемента заключается в последовательном применении формулы, выражающей определитель порядка n через определитель порядка n −1, элементами которого являются определители второго порядка. Если элемент данного определителя, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля, то эта формула имеет вид
|
a11 |
a12 |
a13 |
... |
a1n |
|
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
||||||
|
a21 |
a22 |
a23 |
... |
a2n |
|
1 |
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
a31 |
a32 |
a33 |
... |
a3n |
= |
|
a31 |
a32 |
|
|
|
|
|
n−2 |
||||||||||||
|
... |
... |
... ... ... |
|
a11 |
|
... |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
an1 |
an2 |
an3 |
... |
ann |
|
|
|
a11 |
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Элемент |
|
|
|
|
|
|
an1 |
an2 |
|
|
|||
a11 в этом случае называется |
|
a11 |
a13 |
|
... |
||
|
a21 |
a23 |
|
|||
|
|
|
||||
|
a11 |
a13 |
|
|
... |
|
|
|
|
||||
|
a31 |
a33 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
... |
|
|
|
... |
|
|
a11 |
a13 |
|
|
... |
|
|
|
|
||||
|
an1 |
an3 |
|
|
||
|
|
|
|
a11
a21 a11
a31
a11
an1
a1n
a2n
a1n
a3n (4.38)
...
a1n
ann
опорным. В качестве опорного
элемента можно взять любой отличный от нуля элемент данного определителя. При n =3 формула (4.38) приобретает вид:
96
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
a11 |
a12 |
|
a11 |
a13 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
|
a21 |
a22 |
|
a21 |
a23 |
|
|
|
|
||||||
a |
21 |
a |
22 |
a |
23 |
= |
|
|
|
|
. |
(4.39) |
|||||
|
|
|
|||||||||||||||
a |
|
a11 |
a12 |
|
a11 |
a13 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a31 |
a32 |
a33 |
|
11 |
|
a31 |
a32 |
|
a31 |
a33 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Докажем справедливость равенства (4.39). Умножим вторую и третью строки данного определителя на опорный элемент a11. Так как при этом
определитель умножится на a112 , то, следовательно, для соблюдения равенства
второй определитель умножаем на |
|
1 |
|
. Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a11 |
|
a12 |
|
|
a13 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
|
a12 |
|
|
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
∆ = |
a |
21 |
|
a |
22 |
|
|
a |
23 |
|
= |
|
|
a a |
21 |
|
a a |
22 |
|
a a |
23 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
11 |
a |
|
|
11 |
a |
|
|
11 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
31 |
|
32 |
|
|
33 |
|
|
|
|
11 |
a |
31 |
|
|
a |
|
32 |
|
a |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Вычитая в последнем определителе из второй строки первую, умноженную |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
на a21 , а из третьей – первую, умноженную на a31 , получаем |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
∆ = |
|
|
|
|
a a |
21 |
− a a |
21 |
|
a a |
22 |
− a a |
21 |
a a |
23 |
− a a |
21 |
= |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
11 |
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
11 |
a a |
31 |
− a a |
31 |
|
a a |
32 |
− a a |
31 |
|
a a |
33 |
− a a |
31 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
11 |
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
= |
|
|
|
0 |
|
a a |
22 |
|
− a a |
21 |
|
|
|
a a |
23 |
− a a |
21 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
11 |
|
|
|
0 |
|
|
a11a32 − a12a31 |
|
|
|
a11a33 − a13a31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Разлагая полученный определитель по элементам первого столбца и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
a12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a21 |
|
|
||||||||||||||||
a a |
22 |
− a a |
21 |
= |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
a a |
23 |
|
− a a |
21 |
= |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
13 |
|
|
|
a13 |
a23 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
a a |
32 |
− a a |
31 |
= |
|
a11 |
|
|
a12 |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
a a |
33 |
|
− a a |
31 |
= |
|
a11 |
a13 |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
a31 |
|
|
a32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
13 |
|
|
|
a31 |
a33 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
приходим к равенству (4.39). Аналогично доказывается справедливость формулы
(4.38).
Таким |
образом, |
|
|
вычисление определителя порядка n сводится к |
|||
вычислению некоторого числа определителей второго порядка. |
|||||||
НапримерU |
,U методом опорного элемента вычислим определитель |
||||||
|
−1 |
2 |
7 |
5 |
|
|
|
|
|
||||||
∆ = |
1 |
3 |
−1 |
2 |
|
. |
|
|
2 |
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
− 5 |
2 |
−1 |
3 |
|
|
Решение. Согласно формуле (4.38)
97
|
|
|
|
−1 |
2 |
|
|
|
|
−1 |
7 |
|
|
|
|
−1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
1 −1 |
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 5 − 6 − 7 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
−1 |
2 |
|
|
|
−1 |
7 |
|
|
|
|
|
−1 |
5 |
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
∆ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
− 5 |
−16 |
−13 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
(−1) |
2 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
36 |
22 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
2 |
|
|
|
−1 |
7 |
|
|
|
|
−1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
− 5 |
2 |
|
|
− 5 |
−1 |
|
|
− 5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Применив еще раз формулу (4.38), получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
− 5 |
|
|
− 6 |
− 7 |
|
|
|
|
|
− 5 |
|
− 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 5 |
− 7 |
|
|
|
|
|
|
50 |
30 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
− 5 |
|
−16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 5 |
−13 |
|
|
|
|
1 |
|
|
= −252. |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
∆ = |
− 5 |
|
−16 |
−13 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
8 |
|
36 |
22 |
|
|
− 5 |
|
− 5 |
|
− 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 5 |
− 7 |
|
|
|
5 |
−132 |
− 54 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.15 Определитель произведения матриц
Теорема 4.1 Определитель произведения конечного числа матриц n -го порядка равен произведению определителей этих матриц.
Доказательство. Утверждение теоремы достаточно доказать для случая двух квадратных матриц A = (aij ) и B = (bij )одинакового порядка.
Рассмотрим вспомогательный определитель
|
a11 |
|
a12 |
... |
a1n |
|
0 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
a21 |
|
a22 |
... |
a2n |
|
0 |
0 |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
... ... ... ... |
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
∆ = |
an1 |
|
an2 |
... |
ann |
|
0 |
0 |
... |
0 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
−1 |
0 |
|
|
... |
0 |
|
b |
b |
... |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−1 |
... |
0 |
|
b21 |
b22 |
... |
b2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
... ... ... ... |
|
... ... ... ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
0 |
|
|
... |
−1 |
|
bn1 |
bn2 |
... |
bnn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Разлагая этот определитель с помощью теоремы Лапласа, получим |
||||||||||||||||||||||||
равенство ∆ = |
|
A |
|
|
|
B |
|
. |
Покажем далее, |
что |
∆ = |
|
AB |
|
. |
Для этого |
преобразуем |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
определитель следующим образом. Сначала первые |
n столбцов, |
умноженных |
соответственно на b11, b21, ..., bn1, прибавим к (n +1) -му столбцу. Затем первые n столбцов, умноженных соответственно на b12 , b22 , ..., bn2 к (n + 2) -му столбцу и т.д. На последнем шаге к (2n)-му столбцу будут прибавлены первые n столбцов, умноженные соответственно на b1n , b2n , ..., bnn . В результате получим определитель
98
|
a11 |
a12 ... |
a1n |
|
c11 |
c12 ... |
c1n |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a21 |
a22 ... |
a2n |
|
c21 |
c22 ... |
c2n |
|
|
|
... |
... ... ... |
|
... ... ... ... |
|
|
|||
∆ = |
an1 |
an2 ... |
ann |
|
cn1 |
cn2 ... |
cnn |
|
, |
−1 |
0 ... |
0 |
|
0 |
0 ... |
0 |
|
||
|
|
|
|
||||||
|
0 |
−1 ... |
0 |
|
0 |
0 ... |
0 |
|
|
|
... |
... ... ... |
|
... ... ... ... |
|
|
|||
|
0 |
0 ... |
−1 |
|
0 |
0 ... |
0 |
|
|
в котором |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cij = ai1b1 j + ai2b2 j +... + ainbnj , i, j =1, |
2, ..., n , |
т.е. cij - элементы матрицы C = AB .
Разлагая полученный определитель с помощью теоремы Лапласа по последним n столбцам, находим:
∆ = |
|
С |
|
(−1)(1+2+...+n)+[(n+1)+(n+2)+...+2n] |
|
−1 |
0 |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
O |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
−1 |
|
|
||||||
(−1)(2n+1)n (−1)n |
|
C |
|
= (−1)2n(n+1) |
|
C |
|
= |
|
C |
|
= |
|
AB |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Итак, доказаны равенства ∆ = |
|
A |
|
|
|
B |
|
и |
∆ = |
|
AB |
|
, |
из которых следует, что |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
AB = AB .
Мы доказали теорему для произведения двух матриц. Ясно, что отсюда
непосредственно вытекает ее истинность и для произведений любогоU |
конечного |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
числа матриц.U Например, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ABC |
|
= |
|
|
|
(AB)C |
|
= |
|
AB |
|
|
|
C |
|
= |
|
A |
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
В частности, для любой квадратной матрицы A |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ak |
|
= |
|
A |
|
k (k = 0, 1, 2, ...). |
(4.40) |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы знаем, что транспонирование квадратной матрицы не меняет ее определителя. Поэтому для произвольных квадратных матриц A, B одного и того
же порядка так как A = AT и B = BT , верны равенства
A B = AB = AT B = ABT = AT BT .
Рассмотрим матрицу |
x |
y |
и найдем ее определитель. |
||||||
A = |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
u |
v |
|
|
A |
|
= |
= xv − uy , |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
u |
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тогда A 2 = (xv − uy)2 .
Далее найдем произведение матриц A AT :
99
A AT |
x y |
x u |
|
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|
|
||
= |
|
|
|
= x |
|
|
xu + yv |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ v |
2 |
|
|
u v |
y v |
xu + uv u |
|
|
|
и, соответственно, определитель полученной матрицы:
A AT = (x2 + y2 ) (u2 + v2 )− (xu + uv)2 .
Но так как A 2 = A A = A AT = AAT , то
(xv − yu)2 = (x2 + y2 )(u2 + v2 )− (xu + yv)2 .
Это соотношение обычно записывают в виде следующего тождества:
(x2 + y2 )(u2 + v2 )= (xv − yu)2 + (xu + yv)2 ,
называемого тождеством Лагранжа.
Квадратную матрицу называют невырожденной, или неособенной, если ее
определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если ее
определитель равен нулю. Из теоремы 4.1 следует, что произведение нескольких квадратных матриц является невырожденной матрицей тогда и только тогда, когда все сомножители являются невырожденными матрицами.
Воспользуемся доказанной теоремой об определителе произведения матриц для более подробного изучения свойств обратной матрицы.
Пусть дана квадратная матрица
a |
a |
... |
a |
|
|
||
|
11 |
12 |
|
1n |
|
|
|
a21 |
a22 |
... |
a2n |
|
|
||
A = |
|
|
... |
... |
. |
|
|
... ... |
|
|
|||||
|
|
an2 |
... |
|
|
|
|
an1 |
ann |
|
|||||
Матрицей, союзной |
или присоединенной к матрице A, называется |
||||||
матрица |
A |
A |
... |
A |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
11 |
21 |
|
n1 |
|
|
|
|
A12 |
A22 |
... |
An2 |
|
, |
|
С = |
|
... |
... |
... |
|
|
|
... |
|
|
|
||||
|
A |
A |
... |
A |
|
|
|
|
1n |
2n |
|
nn |
|
где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij данной матрицы A.
Обратим внимание на то, что в матрице C алгебраические дополнения к элементам i -ой строки матрицы A расположены в i -ом столбце.
Теорема 4.2 Если A - квадратная матрица порядка n , а C - союзная к ней матрица, то AC = CA = E det A , где E единичная матрица порядка n .
Доказательство. Обозначим через D произведение AC , т.е.
a |
a |
... |
a |
11 |
12 |
|
1n |
a21 |
a22 |
... |
a2n |
D = |
... ... ... |
||
... |
|||
|
an2 |
... |
ann |
an1 |
A11
A12
...
A1n
A |
... |
A |
|
21 |
|
n1 |
|
A22 |
... |
An2 |
. |
... |
... ... |
|
|
A |
... |
A |
|
2n |
|
nn |
|
100
Согласно определению произведения матриц, элемент dij матрицы D
равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца союзной матрицы С. Для элементов dii ,
стоящих на главной диагонали, получим сумму произведений элементов i -й строки матрицы A на их алгебраические дополнения, что равно det A (по теореме о разложении определителя по элементам строки). Для остальных элементов dij
(i ≠ j) получим сумму произведений элементов |
i -й строки на алгебраические |
||||||||||||||||||||
дополнения элементов j -й строки. Эти произведения, |
мы знаем, равны нулю. |
||||||||||||||||||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
det A |
0 |
0 ... |
0 |
|
|
1 |
0 |
0 ... |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
0 |
det A |
0 ... |
0 |
|
|
0 |
1 |
0 ... |
0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= E det A. |
|||||||||||||
|
AC = |
|
|
... |
... ... |
... |
|
= |
|
|
... ... |
... |
det A |
||||||||
|
|
|
|
... |
|
|
... ... |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
0 ... |
det |
|
|
0 |
0 |
0 ... |
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
||||||||||||
Аналогично можно доказать, что CA = E det A . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Таким образом, AC = CA = E det A . Теорема доказана. |
|
B , обратная |
|||||||||||||||||||
Теорема 4.3 Для того чтобы существовала |
матрица |
||||||||||||||||||||
матрице A, необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной. |
|||||||||||||||||||||
Доказательство. Необходимость. Пусть |
для |
матрицы |
A существует |
||||||||||||||||||
обратная матрица B . Тогда |
AB = E и, следовательно, |
det(AB) = det E . Используя |
|||||||||||||||||||
теорему об определителе произведения матриц, имеем |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
det Adet B = det E . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица A |
|||||||||
Так |
|
|
как |
det E =1, |
то |
det A ≠ 0 , |
и, |
следовательно, |
|||||||||||||
невырожденная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Достаточность. Пусть матрица А невырожденная, т.е. det A ≠ 0 . Докажем, |
|||||||||||||||||||||
что матрица |
|
|
1 |
C , где C - матрица, союзная к A, является обратной к матрице |
|||||||||||||||||
|
det A |
||||||||||||||||||||
A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Так как (следует из теоремы 4.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1 |
|
AC = |
1 |
|
CA = E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
det |
A |
det |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A |
|
|
|
|
C |
= |
|
|
C A = E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
det A |
|
det A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(поскольку |
1 |
- |
число), то матрица |
1 |
|
C , очевидно является обратной |
|||
det A |
det |
A |
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
||||
матрице A, т.е. B = |
|
C . Теорема доказана. |
|
|
|||||
det |
A |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
101
4.16 Методы нахождения обратных матриц
1 Нахождение обратной матрицы через алгебраические дополнения
В процессе доказательства теоремы 4.3 получен способ нахождения матрицы, обратной данной. Т.е. из доказательства теоремы следует, что
|
|
|
|
A |
A |
... |
A |
|
|
|
|
1 |
|
11 |
21 |
... |
n1 |
|
|
|
|
|
A |
A |
A |
|
|
||
A−1 |
= |
|
|
12 |
22 |
|
n2 |
. |
(4.41) |
det A |
|
|
... ... |
||||||
|
|
... ... |
|
|
|||||
|
|
|
|
A |
A |
... |
A |
|
|
|
|
|
|
1n |
2n |
|
nn |
|
|
Теорема 4.4 Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица.
Доказательство. Пусть A1−1 и A2−1 - матрицы, обратные невырожденной матрице A. Имеет место равенство AA1−1 = E . Умножив обе его части на A2−1
слева, |
|
получим |
A−1 AA−1 |
= A−1E = A−1 . |
С |
другой |
стороны, |
|||||
|
|
= (A−1 A)A−1 |
2 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
A−1 AA−1 |
= EA−1 = A−1 |
. Следовательно, |
A−1 |
= A−1 |
. Теорема доказана. |
|||||||
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Невырожденные матрицы обладают следующими свойствамиU :U
1.det A−1 = det1 A .
2.(A−1 )−1 = A .
3.(Ak )−1 = (A−1 )k .
4.(AB)−1 = B−1 A−1 .
В справедливости этих свойств предлагаем читателю убедиться
самостоятельно. |
|
|
|
|
|
|||
НапримерU |
,U найдем матрицу, обратную к матрице |
|||||||
|
5 |
|
− 2 |
2 |
|
|||
|
3 |
|
− |
2 |
3 |
|
||
A = |
|
. |
||||||
|
2 |
|
− |
3 |
4 |
|
||
|
|
|
||||||
Определитель матрицы |
||||||||
det A = |
|
5 |
− 2 |
2 |
|
|
||
|
|
|||||||
|
3 |
− 2 |
3 |
|
= 7 |
|||
|
|
|
2 |
− 3 |
4 |
|
|
отличен от нуля, поэтому матрица A имеет обратную. Чтобы ее найти, вычислим алгебраические дополнения и воспользуемся формулой (4.41).
A = (−1)1+1 |
|
− 2 |
3 |
|
=1, |
A = (−1)2+1 |
|
− 2 |
2 |
|
= 2 , |
|
|
|
|
||||||||
11 |
|
− 3 |
4 |
|
|
21 |
|
− 3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
102