L04-Динамика, механика твердого тела

следующим образом: момент инерции I относительно

произвольной оси равен сумме момента инерции Iо

относительно оси, параллельной данной и

al

проходящей через центр инерции тела, и

i

произведения массы тела m на квадрат расстояния «а»

между осями:

n

de

t

i

В соответствии с теоремой Штейнера момент

f

инерции диска относительно оси О'О' равен

on

C

В заключение приведем значения моментов инерции

для некоторых однородных тел.

y

pan

1. Тонкий длинный стержень с сечением любой

формы с b<<l.

o

Момент инерции относительно оси,

C

к стержню и проходящей через его

перпендикулярнойm

al

i

t

равен

n

ide

3. Тонкий диск. Толщина диска b во много раз

меньше радиуса диска R(b<<R). Момент инерции

f

относительно оси, совпадающей с диаметром диска

C

4. Момент инерции шара радиуса R относительно

оси, проходящей через егоonцентр, равен

y

m

pan

§ 35. Кинетическая энергия твердого тела

m

Вращение тела вокруг неподвижной оси Z. Линейная

скорость элементарной массы

i может быть

o

представлена в виде

где Ri — расстояние mi от оси Z.

CСледовательно, кинетическая энергия i-й

al

i

t

n

Сумма в правой части этого соотношения

представляет собой момент инерции тела I

de

относительно оси вращения. Таким образом,

i

кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг

неподвижной оси, равна

f

on

Полученное выражение аналогично выражению для

кинетической энергии тела, движущегося

y

движении роль

поступательно. При вращательномC

pan

массы играет момент инерции, а роль линейной

скорости угловая скорость.

§ 36. Работа внешних сил при вращении твердого

m

тела

o

Найдем работу, которую совершают внешние силы

C

при вращении тела вокруг неподвижной оси Z.

Внешняя сила, приложенную к элементарной массе

i

через fi,-. За время dt i-я элементарная масса проходитal

путь

.

t

n

i

de

Работа силы fj на этом пути определяетсяf

проекцией

силы на направление перемещения, т.е. по

касательной. Таким образом

on

Но fτi Ri

C

равно модулю момента силы fi,

y

относительно оси Z, взятому со знаком « + », если fτi

положительна, и со знаком «-», если fτi отрицательна.

pan

Если учесть знак угла поворота, то

m

o

C

t

n

Работа за конечный промежуток времени находитсяial

путем интегрирования

de

ω

i

f

Если проекция результирующего момента сил на

направление

ф

on

остается постоянной, ее можно

вынести за знак интеграла:

C

y

Свяжем с телом систему координат К', ось Z' которой

направим вдоль вектора угловой скорости вращения

тела ω . Тогда скорость i-й элементарной массы тела

в неподвижной системе координат К может быть

представлена в виде

al

i

t

где Vo — скорость начала координат О' системы К', r'i

n

- радиус-вектор, определяющий положение

элементарной массы по отношению к точке О'.

de

i

Кинетическая энергия i-й элементарной массы равна

f

on

Осуществим возведение в квадрат, выполним

суммирование по всем элементарным массам и

C

вынесем постоянные множители за знак суммы:

y

pan

Сумма элементарных масс есть масса тела;

выражение

равно произведению массы тела

на радиус-вектор г'с центра инерции тела в системе

m

дает момент инерции Iz тела

К'; выражение

o

относительно оси вращения Z'. Поэтому можно

C

написать, что

Таким образом, кинетическая энергия тела при

плоском движении слагается из энергии

поступательного движения со скоростью, равной

скорости центра инерции, и энергии вращения вокруг

оси, проходящей через центр инерции тела.

i

al

t

n

i

de

§ 38. Гироскопы

f

Гироскопом (или волчком) называется массивное

on

симметричное тело, вращающееся с большой

скоростью вокруг оси симметрии. Ось симметрии

C

является одной из главных осей инерции гироскопа,

y

поэтому момент импульса гироскопа совпадает по

направлению с его осью вращения.

Для того чтобы изменить направление в пространстве

оси гироскопаpan, необходимо в соответствии с

m

o

C

подействовать на него моментом внешних сил. При

al

i

t

n

(ось 00 и прямая О'О' предполагаются лежащими в

de

—

плоскости чертежа, а прямая О"О" и силы f1 и f2

перпендикулярными к этой плоскости).

i

f

on

«Противоестественное» поведение гироскопа

полностью соответствует законам динамики

вращательного движения, т. е. в конечном счете,

законам Ньютона. В самом деле, момент сил f1 и f2

y

направлен вдоль прямойCО'О'. За время момент

pan

импульса гироскопа L получит приращение

, которое имеет такое же направление, как и

М. Момент импульса гироскопа спустя время

будет равен результирующей

, лежащей

m

в плоскости чертежа. Направление вектора L'

o

al

Описанное поведение гироскопа положено в основу

i

прибора, называемого гироскопическим компасом

(гирокомпасом). Этот прибор представляет собой

гироскоп, ось которого может свободно

n

t

de

поворачиваться в горизонтальной плоскости.

f

Вследствие суточного вращенияiЗемли

i

al

t

Гироскопический компас выгодно отличается от

компаса с магнитной стрелкой тем, что в егоn

показания нет необходимости вносить поправки на

магнитное склонение и не приходится принимать мер

i

de

для компенсации воздействия на стрелку

f

ферромагнитных предметов (стального корпуса

корабля и т. п.). По этой причине в навигации

применяются гирокомпасы.

on

Гироскопические силы. При попытках вызвать

C

поворот оси гироскопа заданным образом вследствие

гироскопического эффекта возникают

y

гироскопические силы, действующие на опоры, в

которых вращается ось гироскопа. Чтобы

предотвратить это вращение, к оси гироскопа должны

быть приложены действующие со стороны

pan

подшипников силы. По третьему закону Ньютона ось

будетmдействовать на подшипники с силами f1 и f2,

oкоторые и являются гироскопическими силами.

C