Линейная алгебра
.doc
Решение:
1)
2) Каноническое уравнение прямой, проходящей через две данные точки
А1 (x1,y1,z1) и А2 (x2,y2,z2), имеет вид:
или в параметрическом виде:
; .
Аналогично уравнение прямой, проходящей через две точки
А1 (x1,y1,z1) и А4 (x4,y4,z4), имеет вид:
; ;
Замечание: ноль в знаменателе означает, что прямая, проходящая через точки
А1 (x1,y1,z1) и А4 (x4,y4,z4), перпендикулярна оси ОY.
Угол между двумя прямыми определяется по формуле:
3) Найдем уравнение плоскости ,проходящей через точки А1, А2 и А3.
Углом между прямой и плоскостью будем называть угол, образованный прямой и её проекцией на плоскость. Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями
Тогда
4) , где h – высота, опущенная из точки А3 на
отрезок А1А2 с уравнением
Найдем уравнение перпендикуляра.
Запишем его уравнение как
Условие перпендикулярности прямых:
Условие прохождения через точку А3 (6;2;0)
Получили условие принадлежности искомого перпендикуляра плоскости
Тогда
Направляющий вектор искомой прямой находим как векторное произведение
(-2;1;3) и (2;13;-3)
; ;
Итак, уравнение перпендикуляра:
или
и отрезок А1А2 с уравнением
их точку пересечения P (3;2;-2) находим путем решения системы линейных уравнений.
Длина перпендикуляра
5) Рассмотрим векторы , и , на которых построена пирамида.
Зная координаты начала и конца каждого вектора, получаем объема пирамиды на основании формулы:
6) Из точки А4 (0;2;2) опускаем перпендикуляр, уравнение плоскости :
Прямая, проходящая через точку А4 (0;2;2) и перпендикулярная плоскости , имеет направляющий вектор ,
следовательно, искомая прямая представляется уравнением
7) уравнение плоскости, определяемой высотой
и точками А1 (3;2;-2) и А4 (0;2;2)
искомая плоскость определяется двумя прямыми: высотой пирамиды и гранью А1А4
уравнение грани А1А4:
;
Выразим прямые параметрически:
и
Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые:
,
Тогда уравнение плоскости
Решение:
Данные векторы образуют базис в Ln = L4 тогда и только тогда, когда число векторов равно n=4 и detA0, где A – матрица из координатных столбцов данных векторов.
Итак, заданные векторы действительно образуют базис в четырехмерном пространстве.
Найдем координаты вектора в этом базисе.
Обозначим координаты вектора
или
x=1/3; y=2; z=3; t=1
координаты вектора
Решение:
Обозначим
Тогда
Число и вектор-столбец называются собственными, если
Нам нужно, чтобы эта система имела нетривиальное (ненулевое) решение. А поскольку тривиальное решение у неё есть всегда, требуется, чтобы к-во решений было бесконечным. Это означает, что детерминант матрицы должен быть нулевым, что и даёт уравнение на собственные числа.
Для нахождения собственных значений матрицы A составляем характеристическое уравнение:
Имеет три корня: 1=-1; 2=1; 3=5.
Для корня 1=-1
, где t – параметр
Для корня 2=1
,
, где t – параметр
Для корня 2=5
,
, где t – параметр