Лекция 2

5. Система материальных точек. Основное уравнение динамики поступательного движения.

Перейдем к рассмотрению более сложной модели – к произвольной механической системе – системе материальных точек – совокупности n материальных точек m1, m2,..., mn, рассматриваемыхкак единое целое. По второмузаконуНьютона для всех

m1a1 F12 F13 ... F1n F1

где Fij – внутренние силы, действующие на i-ю точку со стороны j-ой точки; Fi – сум- марнаявнешняясила,действующаянаi-юточку.

следнее слагаемое Fi является суммой всех внешних сил. По третьему закону

Введем некоторую абстрактную точку С с радиус век-

где pi mivi – импульс i-ой точки, P mV – импульс системы, равный суммарному импульсу всех точек системы.

12

Полученное выражение еще раз продифференцируем по времени, учитывая,

Поскольку miai Fвнеш получаем второй закон Ньютона для системы ма-

i 1

териальных точек – основной закон динамики поступательного движения –

произведение массы системы на ускорение центра масс равно суммарной внешней

силе: ma Fвнеш.

Второй закон Ньютона для системы материальных точек имеет такой же вид, как второй закон Ньютона для одной материальной точки. Только вместо массы точки нужно брать суммарную массу системы, вместо суммарной силы – суммарную внешнюю силу. Также вместо импульса точки необходимо использовать суммарный импульс всех точек. Вместо радиус-вектора материальной точки – радиус-вектор центра масс системы материальных точек.

В качестве системы материальных точек может быть выбрано абсолютно твердое тело. Все введенные величины и полученные для системы законы могут быть использованы для абсолютно твердого тела, но только при поступательном движении. Поскольку, если тело движется поступательно, то все точки тела движутся так же, как центр масс ai a, тогда полученный закон описывает движение всех точек, а значит, движение всего тела.

Если тело еще и вращается, то полученный закон описывает только движение центра масс, с которым можно связать поступательное движение всего тела. Произвольное движение тела можно представить как совокупность поступательного движения, связанного с движением центра масс, подчиняющегося основному закону поступательного движения, и вращательного движения вокруг центра масс. Особенности вращательного движения мы рассмотрим, когда будем изучать механику твердого тела.

13

6. Закон Всемирного тяготения. Гравитационная масса. Сила тяжести. Вес. Невесомость.

Материальные точки массами m1 и m2, удаленные друг от друга на расстояние R, притягиваются друг к другу с силой, пропорциональной массам тел и обратно пропорциональной квадратурасстояниямеждуними,

Если материальная точка находится на поверхности Земли, то сила гравитации

Mm

будет равна Fграв G R2 mg, где М – масса Земли, m – масса тела, R – радиус

м

Земли, g – ускорение свободного падения на поверхности Земли, g 9,8 с2 . Для

материальных точек на поверхности Земли ускорение свободного падения находится в пределах 9,79 – 9,83 м/с2.

14

Если материальная точка находится на высоте h над поверхностью Земли, то сила

ниесвободногопадениянавысотеh.

Масса, входящая во второй закон Ньютона, является мерой инертных свойств тела, а масса, входящая в закон всемирного тяготения, является мерой гравитационных свойств тела. Это абсолютно разные физические величины, которые правильнее было быобозначатьразнымибуквами mГ и mИ ,иможнобылобыизмерятьвразличныхединицах (при этом изменилась бы только гравитационная постоянная). Но мир, в котором мы живем, устроен так, что гравитационные свойства и инерционные свойства, повидимому, жестко связаны и для их меры, как показывает эксперимент, может быть взята одна величина. Поэтому принято, что mГ mИ . В настоящее время эксперименталь- ноустановлено,чтозначениямасссовпадаютдо12-гознака.

15

Пустьтелонаходитсянаопореилинаподвесе. N –сила реакции опоры – составляющая действующей со стороны опоры силы, направленная нормально к опоре, T – сила натяжения подвеса, с которой подвес действует на тело. Обе силы имеют электромагнитную природу. Если вертикальнаяпроекцияскоростипостоянна(ay 0),тоизвторого

закона Ньютона следует, что N mg и T mg. Сила, с которой тело действует на опору или подвес, называется весом тела P. С учетом третьего закона Ньютона вес тела численноравенсилереакцииопорыилисиленатяженияподвеса P N или P T.

Если вертикальная составляющая ускорения (направленная параллельно весу) не равна нулю(ay 0),товестелабудетотличатьсяотсилытяжести.Вестела,движущегосясускорением a, направленным вниз, на поверхности Земли равен P m g a . Вес тела, движущегосясускорениемa,направленнымвверх,наповерхностиЗемлиравен P m g a .

Если тело падает свободно, ускорение равно ускорению свободного падения, a g (или a g наповерхностиЗемли),ивесравеннулю, P 0 –телонаходитсявсостоянии невесомости. Свободно падающими телами являются спутники, находящиеся на орбите, посколькус хорошим приближением единственной силой, действующей на спутник, является сила притяжения к Земле. Астронавты, находящиеся на спутнике, как и все тела там, будут в невесомости. Камень, свободно летящий в поле силы тяжести Земли, также будетнаходитьсявневесомости.

16

17

7.Силы трения.

Силы трения зависят от относительных скоростей тел. Силы трения могут быть разнойприроды,новрезультатеихдействиямеханическаяэнергиявсегдапревраща-

етсявовнутреннююэнергиюсоприкасающихсятел.

Различаютвнешнее(сухое)ивнутреннее(жидкоеиливязкое)трение.

Внешним трением называется трение, возникающее в плоскости касания двух соприкасающихся тел при их относительном перемещении. Если соприкасающиеся тела неподвижны друг относительно друга, говорят о трении покоя, если же происходит относительное перемещение этих тел, то в зависимости от характера их относительного движения говорят о трении скольжения, каченияили верчения.Трениескольжения

возникает при поступательном перемещении одного тела по поверхности другого. Трениекачениявозникаеткогдаоднотелокатитсяпоповерхностидругого.

Внутренним трением называется трение между частями одного и того же тела, например междуразличными слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою. В отличие от внешнего трения здесь отсутствует трение покоя. Если тела скользят относительнодруг друга и разделены прослойкой вязкой жидкости (смазки), то

трение происходит в слоесмазки. В таком случае говорят о гидродинамическом тре-

нии (слой смазки достаточно толстый) и граничном трении (толщина смазочной прослойки~0,1мкмименьше).

18

Длягладкихповерхностейопределенную рольначинаетигратьмежмолекулярное притяжение. Для них применяется закон трения скольжения Fтр fист N S p0 ,

где р 0 – добавочное давление, обусловленное силами межмолекулярного притяжения, которыебыстроуменьшаютсясувеличениемрасстояниямеждучастицами; S–площадь контактамеждутелами;fист –истинныйкоэффициенттренияскольжения.

Трение играет большую роль в природе и технике. Благодаря трению движется

транспорт,удерживаетсязабитыйвстенугвоздьит.д.

В некоторых случаях силы трения оказывают вредное действие и поэтому их надо уменьшать. Для этого на трущиеся поверхности наносят смазку (сила трения уменьшается примерно в 10 раз). Таким образом, внешнее трение твердых тел заменяется

значительноменьшимвнутреннимтрениемжидкости.

Радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения скольжения трением качения (шариковые и роликовые подшипники и т. д.). Сила трения каче-

нияопределяетсяпозакону,установленномуКулоном:

гдеr–радиускатящегосятела; fк –коэффициенттрениякачения.Изданноговыражения следует, что сила трения качения обратно пропорциональна радиусу катящегося тела.

20