сборник задач по дискретке другой вариант

29.Какие из следующих высказываний не могут быть вместе истинными, но могут быть вместе ложными.

1)Все лыжники – мастера спорта.

2)Отдельные лыжники – мастера спорта.

3)Некоторые лыжники не являются мастерами спорта.

4)Ни один лыжник не является мастером спорта.

30.Выясните, могут ли быть одновременно истинными следующие суждения:

1)«Все спортсмены этой команды – мастера спорта» и «Лишь некоторые спортсмены этой команды – мастера спорта».

2)«Если я куплю билеты, то мы пойдем в театр» и «Я куплю билеты и мы пойдем в театр».

3)«Если ты не виноват, то тебе нечего бояться» и «Ты не виноват, но тебе есть чего бояться».

4)«Хотя бы одна из роз в этом прекрасном букете – алая» и «Все розы в этом прекрасном букете – алые».

31.Ученики 10Б класса хвастались тем, что они выше ростом учеников 10А. На вопрос учителя математики: «Что, собственно, означает, что вы выше ростом?» – ученики дали следующие ответы:

1)Любой из нас выше любого из них.

2)Самый высокий из нас выше самого высокого из них.

3)Для любого ученика нашего класса найдется ученик 10А класса меньшего роста.

4)Каждый ученик 10А класса ниже хотя бы одного ученика нашего класса.

5)Средний рост учеников нашего класса больше среднего роста учеников 10А класса.

Есть ли среди этих ответов равносильные? Если есть, то какие?

32.Установите, являются ли равносильными суждения в каждой из следующих пар:

1)Мой отец работает в университете, а брат учится в школе. Неверно, что мой отец не работает в университете, а брат в школе не учится.

2)Водород бесцветен и не имеет запаха. Неверно, что водород имеет цвет или запах.

51

3)Число кратно трем тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна трем. Неверно, что либо число не делится на три, либо сумма его цифр не является кратной трем.

4)Если Петр ровесник Ивана, то и Иван – ровесник Петра. Если Петр не является ровесником Ивана, то и Иван не может быть ровесником Петра.

5)Коль зима без снега, то лето без хлеба. И зима без снега, и лето без хлеба.

6)Эта фигура – или квадрат, или ромб. Эта фигура – ромб.

7)Кирилл виноват. Кирилл не может быть невиноватым.

8)Если он опоздал, то, значит, пришел не вовремя. Если он пришел не вовремя, то значит, опоздал.

9)x B \ C . x B и x C .

33.Приняв каждое суждение в паре за истинное, установить, является ли оно достаточным основанием для второго суждения пары.

1)Треугольник ABC равен треугольнику ABD. Треугольник ABC и треугольник ABD имеют равные площади.

2)Треугольник ABC равен треугольнику ABD. Треугольник ABC и ABD –правильные.

3)Адрес на конверте указан точно. Письмо дойдет до адресата.

4)Данное число делится на 9. Данное число делится на 3.

5) Высказывание x É y является истинным. Высказывание

¬y É ¬ x является истинным.

6)Известно, что из A следует B, а из B следует C. Если A, то C.

7)Иванов не сдал вовремя все зачеты. Иванов не допущен к экзаменам.

8)Алексеев – хороший шахматист. Алексеев выиграл шахматный турнир.

34.Восстановите суждение по данной схеме отношений между терминами:

1)S – книга, P – учебник;

52

2)Так как все студенты юридических вузов изучают логику, то, следовательно, среди тех, кто изучает логику, есть студенты юридических вузов.

3)Все следователи – юристы. Это следует из того, что некоторые юристы – следователи.

4)Первым пришел, конечно же, Петров. Это следует из того, что Яковлев не был первым. Не мог быть первым и Ковалев. Но тройка призеров включала только перечисленных спортсменов.

5)Известно, что в правильном треугольнике медианы в точке из пересечения делятся в отношении 1:2. В треугольнике ABC медианы

вточке их пересечения делятся в отношении 1:2. Значит, треугольник ABC – правильный.

37.Являются ли правильными следующие умозаключения?

1)Каждый любит сам себя. Значит, кого-то кто-нибудь любит.

2)Все любят Джейн. Значит, все любимы кем-то.

3)Этому никто не поверит. Значит, судья этому не поверит.

4)Ни одно животное не бессмертно. Кошки – животные. Значит, некоторые кошки не бессмертны.

5)Перья есть только у птиц. Ни одно млекопитающее не является птицей. Значит, все млекопитающие лишены перьев.

6)Имеются прилежные студенты. Ни один студент не лишен способностей. Значит, некоторые студенты, лишенные способностей, не прилежны.

7)Глупец был бы способен на это. Я на это не способен. Значит, я не глупец.

8)Если бы кто-нибудь мог решить эту задачу, то и какойнибудь математик мог бы. Кэбот – математик, а не может ее решить. Значит, задача неразрешима.

9)Всякий, кто может решить эту задачу, – математик. Кэбот не может её решить. Значит, Кэбот – не математик.

10)Тот, кто распускает этот слух, должен быть и ловким, и беспринципным. Кэбот не ловок. Лоувелл не беспринципен. Значит, ни Кэбот, ни Лоувелл не распускают этот слух.

11)Все книги имеют страницы; следовательно, неверно, что некоторые книги не имеют страниц.

54

12)Некоторые умозаключения не являются правильными; значит, неверно, что все умозаключения правильные.

13)Всякий треугольник имеет четыре стороны; значит, неверно, что все треугольники не являются четырехугольниками.

14)Все планеты вращаются вокруг своей оси; значит, некоторые планеты вращаются вокруг своей оси.

15)Некоторые животные не говорят; следовательно, некоторые говорящие не являются животными.

16)Некоторые люди не являются поэтами; следовательно, некоторые поэты – не люди.

17)Все металлы не являются жидкостями; значит, все жидкости не являются металлами.

18)Некоторые металлы – жидкости; значит, некоторые жидкости – металлы.

38.Приведите примеры силлогизмов, построенных по правильным модусам.

39.Установите, в чем суть нарушения закона тождества в следующих примерах:

1)«Из всей силы я ударил себя кулаком по правому глазу. Из глаза, конечно, так и посыпались искры, и порох в то же мгновение вспыхнул. Советую вам всякий раз, когда вы вздумаете развести огонь, добывать из правого глаза такие же искры». (барон Мюнхгаузен).

2)Зимой некто пришел навестить друга. Слуга у дверей объявил ему, что барин вышел со двора.

– А барыня?

– Она тоже вышла.

– Ну, а барышня?

– Вышла вместе с ними.

– Так я зайду обогреюсь у печки немного.

– Это невозможно: у нас все дрова вышли.

3)Шестилетний Андрюша моется в ванной.

–Мама , можно я твоим шампунем вымою голову?

–Можно.

Взял флакон в руки и прочитал: «Для сухих волос».

– Нет, мне нельзя, у меня ведь уже мокрые волосы!

55

4 ) Приезжий . Ну что это за комнатушка? Да здесь и кошке негде повернуться!

Х озяин отеля . Не надо волноваться, сэр, в наш отель мы кошек не пускаем.

Человек со временем посетит Марс. Иванов – человек; значит, Иванов со временем посетит Марс.

40.Установите, соблюдаются ли требования закона достаточного основания в следующих примерах:

1)Петров стал хуже учиться после того, как стал заниматься в секции легкой атлетики. Значит, именно занятия легкой атлетикой стали причиной того, что Петров стал хуже учиться.

2)На одной из контрольных работ Иванов не справился с решением задачи. Преподаватель после этого сделал вывод, что Иванов совершенно не умеет решать задачи.

41.Проверить правильность доказательства.

1)Требуется доказать, что через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну. Допустив, что таких прямых можно провести хотя бы две, мы приходим к вы-

воду, что от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить два угла с одной и той же градусной мерой 90о. А это противоречит аксиоме, согласно которой от данной полупрямой в данную полуплоскость можно отложить лишь один угол с данной градусной мерой. Значит, наше предположение неверно и теорема доказана.

2)Если треугольник ABC – равнобедренный, то он имеет при основании равные углы. Действительно, пусть треугольник ABC – равнобедренный, а AB – его основание. Тогда треугольник CAB равен треугольнику CBA, так как сторона CA равна стороне CB, а сторона CB равна стороне CA и угол C – общий. Значит, угол A равен углу B. Что и требовалось доказать.

3)У любого треугольника хотя бы два угла – острые. Так как если предположить, что существует такой треугольник, в котором острый угол только одни или такового нет вообще, то из этого сле-

дует, что данный треугольник имеет два угла таких, что каждый из них равен или больше 90о. А это в свою очередь означает, что сумма всех трех углов больше 180о, что противоречит действительному положению вещей, и тезис можно считать доказанным.

56

обе части на (a − b − c) , получаем, что a = b .

5)В Семье Н. пятеро детей – все девочки. Значит, шестой ребенок тоже будет девочкой.

6)Человек заходит в бар. Садится за столик, но не спешит делать заказ. Бармен подходит к нему и спрашивает:

– Что бы вы хотели выпить?

– Ничего. Я один раз попробовал спиртное – мне не понравилось. Вежливый бармен предлагает ему сигару.

– Спасибо, я не курю. Попробовал, но мне это не доставило удовольствия.

– Может, вы присоединитесь к играющим в карты джентльменам за соседним столиком? – не сдается бармен.

– Нет уж, увольте. Я не играю в карты. Однажды попробовал, но игра меня не увлекла. И вообще, если бы не обстоятельства, я бы не пошел в бар. Но мы договорились встретиться здесь с сыном.

– Если я хоть что-то понимаю в жизни, это – ваш единственный ребенок, – с уверенностью предположил бармен.

7)Я успешно сдала и этот экзамен, конечно же благодаря тому, что сдавала его в бирюзовом платье, – подумала Наташа. – Ведь экзамен по математике я сдавала в нем и сдала успешно. Экзамен по физике я тоже сдавала в нем и тоже успешно. Да и историю я сдавала в нем, а по истории я получила «отлично». Теперь все экзамены буду сдавать только в бирюзовом.

42.Найдите ошибку в доказательстве того, что все лошади имеют одну и ту же масть.

Для доказательства утверждения покажем, что любые n лошадей имеют одну и туже масть. При n =1 имеется одна лошадь, которая, естественно, имеет такую же масть, как она сама. Для n = k предположим, что любые k лошадей имеют одинаковую масть. Предположим, что в загон помещена k +1 лошадь. Выведем из загона одну лошадь. Теперь в загоне k лошадей, поэтому они имеют

57

одну и ту же масть. Вернем выведенную лошадь в загон и выведем другую лошадь. Опять в загоне k лошадей, поэтому все они имеют одну масть. Итак, все лошади имеют ту же масть, что и те лошади, которые были выведены. Поэтому все k +1 лошадей имеют одну и ту же масть. Таким образом, все лошади имеют одну и ту же масть.

43. Установите фигуру и модус силлогизмов. Определите, является ли вывод силлогизма: правильным, логически правильным.

1)Все женщины любят красиво одеваться. Некоторые профессора – женщины.

Некоторые профессора любят красиво одеваться.

2)Всякое хищение – умышленное преступление. Кража – тайное хищение имущества.

Кража – умышленное преступление.

3)Некоторые телевизоры – цветные.

Некоторые телевизоры не являются транзисторными. Некоторые цветные телевизоры не являются транзисторными.

4)Некоторые писатели – женщины. Все женщины любят цветы.

Среди тех, кто любит цветы, есть писатели.

5)«Жмурки» – детская игра.

Некоторые детские игры небезопасны. «Жмурки» не являются безопасной игрой.

6)Каждый честный человек выполняет свои обещания. Этот человек не выполняет свои обещания.

Этот человек – бесчестный.

7)Все солдаты умеют маршировать.

Некоторые маленькие дети не умеют маршировать. Некоторые маленькие дети не являются солдатами.

8) Ни один эгоист не нравится окружающим.

Все обязательные люди окружающим нравятся.

Ни один обязательный человек не является эгоистом. 9) У каждого судьи есть честолюбие.

Тот, кто честолюбив – ищет пути для самоутверждения. Каждый судья ищет пути для самоутверждения.

10) Взятка – уголовное преступление.

Всякое уголовное преступление – наказуемо. Взятка – наказуема.

58

10.В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 8 открыток? А если требуются, чтобы открытки были разные?

11.На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром 38 человек, с ветчиной – 42 человека, и с сыром и с колбасой 28 человек, и с колбасой и с ветчиной – 31 человек, и с сыром и с ветчиной – 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 24 человека, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

12.На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?

13.Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать?

14.Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день должно быть 5 занятий: по алгебре, геометрии, истории, географии и литературе, причем алгебра и геометрия не должны следовать непосредственно друг за другом?

15.Сколько нечетных (четных) чисел можно составить из цифр числа 36941, если каждую цифру можно использовать не более одного раза?

16.Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 4 можно составить из цифр 1, 2, 3, 5, 7, 9 если каждая цифра может встречаться в записи числа несколько раз?

17.Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 если каждая из них может повторяться несколько раз?

18.Имеется n абонентов телефонной сети. Сколькими способами можно одновременно соединить три пары?

19.Человек имеет 6 друзей и в течении k дней приглашает к себе 3-x из них так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами может он это сделать, если k = 20, k = 10 , k = 30 ?

60