ТКП - Тема 6

близько 30 см; якщо в пікосекундному діапазоні, критична довжина складає одиниці і долі міліметра. Приблизно критичну довжину можна визначити по формулі

lкр tV ,

де V – швидкість розповсюдження збудження в середовищі.

Приведені вище елементи підсистем – лінійні. Проте вони можуть бути і нелінійними, залежними від режиму роботи (наприклад, гідравлічний опір при турбулентному режимі перебігу рідини залежить від витрати, значення магнітного опору елементу з феромагнітного матеріалу залежить від рівня індукції в ньому, значення місткості р – n переходу – від напруги на ньому).

Якщо набір лінійних і нелінійних елементів доповнити залежними і незалежними джерелами змінних типу потоку I і типу різниці потенціалів Е, то одержимо базові сукупності двополюсників, на основі яких можна одержувати ММ практично будь-яких технічних об'єктів.

Незалежні джерела використовуються для моделювання постійних дій на об'єкт (сила тяжіння, напруга живлення схеми – джерело типу різниці потенціалів і т. п.).

Залежні джерела звичайно длят на 2 групи: 1) джерела, залежні від часу; 2) джерела, залежні від фазових змінних і звичайно використовувані для віддзеркалення нелінійних властивостей об'єктів, для встановлення взаємозв'язків між підсистемами різної фізичної природи.

Таким чином, структура ММ об'єкту зовні виглядає як сукупність (система) компонентних рівнянь, кількість яких рівна кількості елементів декомпозиції об'єкту і топологічних рівнянь, кількість яких визначається числом вузлів або контурів в графах, що моделюють структуру об'єкту.

6.2Математичне забезпечення в САПР

6.2.1Класифікація завдань оптимального проектного синтезу об'єктів електроустаткування

Поняття електроустаткування об'єднує, перш за все, різного роду електромеханічні пристрої (ЕМУ), які необхідні для виробництва, перетворення і розподілу електричної енергії. Це різного роду електричні машини (для перетворення механічної енергії в електричну, і навпаки; для перетворення параметрів електричної енергії), трансформаторні пристрої (для перетворення параметрів електричної енергії, її контролю і вимірювання), електричні апарати (для управління і контролю електричними і іншими об'єктами).

Що Розглядаються САПР призначені для вирішення проблем проектного синтезу і аналізу електромеханічних пристроїв. При рішенні цієї проблеми для кожного конкретного ЕМУ при загальній постановці цієї проблеми необхідно відповідно до вказаних функціональних вимог до пристрою і критеріями його ефективності послідовне рішення трьох задач:

21

вибору оптимального фізичного принципу дії, вибору оптимальної структури пристрою при заданому (оптимальному) принципі дії і вибору оптимальних параметрів для заданої (оптимальної) структури пристрою.

ЕМУ є пристроями, принцип дії яких грунтується на використанні ефектів такого фізичного явища як електромагнітна індукція. Ефективність (оптимальність) використовуваних в ЕМУ фізичних принципів дії на сучасному етапі технічного прогресу обгрунтована всім процесом розвитку і вдосконалення сильноточных і слабкострумових електромеханічних перетворювачів енергії і інформації. Тому в загальній постановці завдання проектного синтезу електромеханічних пристроїв (ЕМУ) фізичні принципи дії приймаються заданими. В цьому випадку загальна постановка завдання проектного синтезу оптимальних ЕМУ повинна передбачати рішення задач структурного синтезу і оптимізації, параметричного синтезу і оптимізації і класифікується як завдання структурно-параметричної оптимізації.

Рішенням такої задачі є визначення глобально-оптимальної структури ЕМУ і його глобально-оптимальних параметрів.

Узагальнена математична (формалізована) постановка завдання структурнопараметричного оптимального синтезу залежно від підходу до її рішення може бути виконана різним чином.

На сучасному етапі розвитку наукових основ проектування ЕМУ розглядаються як складні багатовимірні системи, а завдання їх оптимального проектного синтезу ефективно розв'язуються як на основі методології системного підходу (СП). Ефективність СП на відміну від традиційних методів проектного синтезу грунтується на тому, що його методологія разом з особливостями окремих компонентів складних об'єктів дозволяє врахувати також і характер відносин і зв'язків між цими компонентами. Це приводить до розширення базису початкових понять, що описують складний об'єкт, поняттями предмет, структура, зв'язок, відношення, організація, властивість і, зрештою, до істотного підвищення адекватності ММ, що створюються на основі СП. Таким чином, СП дозволяє реалізувати комплексний аналіз проектованого об'єкту, що враховує самі різні аспекти його пристрою і функціонування.

ЕМУ є достатньо складними технічними системами. Складність ЕМУ обумовлена не стільки значною кількістю компонентів і відповідних їм конструктивних, технологічних і експлуатаційних чинників, скільки їх багатоаспектною природою і, перш за все, складністю виникаючих при функціонуванні ЕМУ і взаємодіючих в нелінійних середовищах електромагнітних, теплових і силових полів.

Математичні моделі ЕМУ (ММ ЕМ) повинні формалізувати взаємозв'язки між його вхідними і вихідними параметрами, а також між його внутрішніми компонентами і є системою математичних описів властивостей цих компонентів, їх зв'язків і відносин в процедурах автоматизованого проектування. Для ефективного досягнення мети проектування і рішення інших проектних задач ММ ЕМ повинні задовольняти ряду суперечливих вимог універсальності, точності, адекватності і економічності. Складність

22

математичного опису ЕМУ і необхідність задоволення вказаним вимогам створюють проблему зниження розмірності ММ на різних етапах проектного синтезу і такої її побудови, дозволяє поєднувати достатньо простий опис ЕМУ з детальним обліком всіх необхідних параметрів, чинників і характеристик. Методологія СП передбачає рішення задач на основі реалізації дедуктивного принципу (від загального до приватного) шляхом послідовного переходу від початкових посилок, принципів, узагальнених системних ММ до моделей необхідного рівня деталізації шляхом багаторівневої ієрархічної побудови Мм.

6.2.2 Формулювання завдання оптимального проектного синтезу ЕМУ

Унаслідок багатовимірності ЕМУ найбільш компактне формулювання завдання його проектного синтезу виходить в термінах багатовимірних просторів. Як відомо, під багатовимірним простором в математиці розуміється класифікована сукупність об'єктів, між якими встановлені співвідношення, еквівалентна різним просторовим співвідношенням эвклидовой геометрія.

Класи об'єктів багатовимірного простору групуються за певними ознаками (звичайно відповідним їх фізичній природі) і кількість осей простору відповідає кількості цих класів. Для об'єктів, що характеризуються чисельними значеннями, простір є метричним. У завданні проектного синтезу значення параметрів вхідних і вихідних величин розподіляється по осях багатовимірного простору відповідно до їх фізичного змісту (геометричні, електричні, магнітні, теплові, механічні, вартісні та інші параметри). Вся система вхідних величин відображається у вигляді метричного простору вхідних параметрів Rxz.

Система з Р вхідних параметрів, що характеризують умови і допуски на значення показників, що гарантуються, при яких розв'язується завдання синтезу, утворює р-мірний простір незалежних параметрів RzRxz.

який прийнято називати вектором ситуації.

У загальному випадку серед параметрів, створюючих вектор Z, можуть бути V неконтрольованих параметрів, про які відома тільки область зміни їх в V-мірному просторі.

Складові вектора Z можуть змінюватися при попередніх проектних дослідженнях для оптимізації вимог технічного завдання і коректування початкових умов рішення задачі.

Система з l вхідних керованих незалежних параметрів утворює l- мірний простір RxRxz, в якому кожен набір значень керованих параметрів (змінних) може бути преставлен l-мірним вектором

23

Необхідно відзначити деякі істотні особливості простору вхідних параметрів. Перша особливість полягає в тому, що в процесі рішення проектних задач може виникати необхідність розширення безлічі варійованих параметрів, унаслідок чого області просторів Rz і Rx можуть перерозподілятися в межах простору Rxz. У таких випадках частина вхідних параметрів може переводитися з групи незмінних в групу варійованих, і навпаки. Розмірність простору Rx може змінюватися також залежно від рівня вирішуваної задачі. При рішенні задачі структурно-параметричної оптимізації до складу набору вхідних параметрів повинні включатися всі параметри, що забезпечують опис будь-якої структури з безлічі можливих раціональних структур (СS), що одержуються яким-небудь чином і аналізованих за допомогою використовуваної математичної моделі. Склад набору вхідних і внутрішніх параметрів конкретного ЭМП визначається структурою використовуваної Мм. Поняття структури може визначатися різним чином, на даному етапі доцільно використовувати наступне визначення.

Під структурою ЭМП, як технічної системи, розумітимемо сукупність впорядкованих і взаємообумовлених, стійких зв'язків елементів ЕМУ, що забезпечують його цілісність і функціонування. Таким чином, структура є діалектичною єдністю протилежних сторін: розчленованої і цілісності.

Оскільки ЕМУ – це система, що складається з елементів (частин) різної природи, то його структура є гетерогенною, що і зумовлює багатовимірність простору його параметрів. Цілісність структури визначає ті властивості і закономірності функціонування технічної системи в цілому, які відсутні у її окремих елементів і окремо взятих зв'язків; вона характеризує велику значущість внутрішніх зв'язків в порівнянні із зовнішніми зв'язками системи і виділяє об'єкт як окрему систему.

Розчленована структури характеризується трьома компонентами: якісною специфікою елементів, їх кількістю і взаємним розташуванням в просторі. При проектному синтезі технічних пристроїв і технологічних процесів застосовуються різні способи розчленовування їх математичних моделей. Кожен спосіб розчленовування (декомпозиції) виділяє різне число елементів, видів взаємозв'язків і, отже, обуславливает відповідну структуру. Раціональна декомпозиція дозволяє найефективніше вирішувати задачі аналізу і проектного синтезу ЕМУ. Тому ще на етапі формування проектної ММ ЕМУ необхідно виконати її раціональне розчленовування на елементи і відповідно до нього сформулювати базис (набір) вхідних і внутрішніх параметрів (змінних) для опису всієї безлічі можливих допустимих структур ЕМУ, вибору оптимальної структури і оптимізації параметрів цієї структури.

Аналіз реалізованих процесів синтезу структур технічних пристроїв показує, що в загальному випадку в набір вхідних керованих параметрів, створюючих простір Rx, повинні входити параметри (змінні), які виконують різні функції в процесі структурного синтезу і оптимізації. За цією ознакою весь набір незалежних керованих змінних можна розділити на дві групи. До першої групи увійдуть ті змінні, варіювання яких забезпечує зміну структури

24

ЭМП (наприклад, число стрижнів магнітної системи, число концентров обмотки і т.п.). Набір цих змінних позначимо вектором Хs. Необхідно відзначити, що фізична природа змінних вектора Хs така, що вони можуть змінюватися тільки дискретно і заміна дискретного закону їх зміни безперервним аналогом недопустима.

У другу групу, що становить вектор Хп, увійдуть керовані змінні, які забезпечують можливість оптимізації параметрів ЕМУ при заданій структурі. У наборі параметрів вектора Хп також можна виділити дві групи змінних (їх позначимо відповідно як вектори Хnи Хn) // // . Група параметрів вектора Хnсохраняется в будь-якій структурі з безлічі раціональних структур Сs, а група керованих параметрів Хn змінюється при переході від структури до структури. Частина керованих параметрів вектора Хп може змінюватися безперервно, а частина дискретно. Вказані обмеження, що накладаються на характер зміни керованих змінних, істотно ускладнюють рішення задачі структурнопараметричної оптимізації ЕМУ.

Вихідні параметри даної системи утворюють простір RQ (x,z) функцийпоказників її функціонування Qj (x,z), які містять інформацію про стан системи, обумовлений як параметрами X і Z, так і різними проектними обмеженнями. Сукупність функцій-показників складає безліч вихідних характеристик ЕМУ Q(x,z), тобто

Qj (x,z) Q(x,z)

Значення вихідних показників ЕМУ повинні відповідати вимогам ТЗ, державних і галузевих стандартів, які задаються у вигляді сукупності граничних значень показників функціонування Qoj, складової безліч Qo, тобто Qoj Qo.

Кожна з осей простору RQ (x,z) відповідає певній функції Qj (x,z), значення якої відкладаються по цій осі.

Всі обмеження, що накладаються на параметри ЕМУ в узагальненій формі, можуть бути зведені до систем рівнянь і нерівностей.

Обмеження у вигляді рівності

утворюють простір допустимих рішень RD RQ (x,z)

обмежене поверхнями обмежень-рівності. Допустимим рішенням задачі проектного синтезу ЕМУ є визначення таких параметрів, при яких виконуються умови (6.3) і (6.4).

Вихідні функції-показники ЕМУ є базисом для визначення характеристик його якості і ефективності, які утворюють векторний критерій оптимальності:

F(x)=[Qj(x,z)], j=1, k ,

25

де к- кількість приватних критеріїв якості.

Що входять в F(x) приватні критерії завжди можна представити так, щоб оптимальним було мінімальне його значення, тоді завдання проектного синтезу оптимального ЕМУ полягає у визначенні такого вектора Х*, який доставляв би при фіксованому векторі Z мінімум критерію якості F(x) при виконанні умов (6.3) і (6.4). Таке завдання є завданням векторної багатокритерійної оптимізації і у векторній формі записується так:

знайти вектор Х*={X*i } i=1, n ,

який забезпечив би

F(x) min

Х*RS

Q(x)=RS

RS:

H(x) HS

де RS – безліч допустимих значень Х.

Ця загальна постановка завдання проектного синтезу оптимальних ЕМУ, а також апріорна інформація про характер зміни тих, що описують її змінних дають підставу класифікувати її як завдання математичного програмування із змінними, що дискретно і безперервно змінюються, визначити ті її істотні особливості, які повинні враховуватися і використовуватися при виробленні ефективності стратегії пошуку, математичного і алгоритмічного забезпечення для її вирішення.

Перш за все необхідно враховувати, що в ЕМУ, як в інших технічних системах, фізична природа змінних, що характеризують структурні особливості, така, що при зміні структури вони можуть змінюватися тільки дискретно. Тому моделювання структурних перетворень за допомогою моделей з безперервною зміною змінних неправомочно, оскільки суперечить фізичній природі елементів або зв'язків структури ЕМУ. Надалі таку дискретність називатимемо дискретністю першого роду. Наявність дискретностей першого роду обуславливает многоэкстремальность завдання структурної оптимізації ЕМУ. Простір вхідних параметрів Rxz утворює багатозв'язкову (по допустимих структурах) область пошуку, тобто

структур). Кожна допустима структура, тобто структура, що задовольняє умовам (6.2) і (6.4), характеризується поєднанням допустимих векторів параметрів X дi і Z дi .

Для різних структур набори цих параметрів різні, а внаслідок цього різні їх векторні критерії і функції обмежень.

Область зміни параметрів заданої структури може бути представлена у вигляді деякого гіперпаралелепіпеда з обмеженими розмірами. В межах підпростору параметрів кожної структури повинні бути поєднання параметрів, що забезпечують оптимальні значення векторного критерію для

26

даної структури. Тому простір функцій критеріїв і є багатоекстремальними і багатозв'язковим.

Багатозв'язковість і многоэкстремальность завдання структурної оптимізації обуславливает необхідність застосування для її вирішення універсальних методів глобальної оптимізації (методів перебору, випадкового пошуку), а також евристичних методів.

Структура будь-якого ЕМУ формується відповідно до його функціонального призначення, тобто функції є такими, що визначають по відношенню до структури. Тому, чим різноманітніші функціональні вимоги до ЕМУ даного вигляду, тим більшою виявляється кількість їх різних можливих структур і актуальніша проблема структурної оптимізації.

27