Вычисление интегралов с помощью вычетов
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»
Кафедра прикладной математики
И.П. ВАСИЛЕГО
ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ ВЫЧЕТОВ
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения
высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет»
Оренбург 2004
ББК 22.161.1 я7 В 19
УДК 517.3 (07)
Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент, зав.кафедрой
математического анализа Невоструев Л.М.
Василего И.П.
Вычисление интегралов с помощью вычетов: Методические В19 указания. – Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. – 20с.
Методические указания предназначены для студентов экономических специальностей и инженерно-технических специальностей. На базе основной теоремы теории вычетов, получены алгоритмы вычисления, определенных интегралов от тригонометрических функций и несобственных интегралов двух видов.
ББК 22.161.1 я7
© И.П. Василего, 2004 © ГОУ ОГУ, 2004
2
Введение
Решение многих задач физики, механики и некоторых разделов математики связано с вычислением определенных или несобственных интегралов. В работе рассмотрены способы вычисления таких интегралов с помощью теории вычетов. В разделе 1 приводятся основные сведения из теории вычетов. В разделе 2,3 на примерах разобраны способы вычисления определенных и несобственных интегралов и приведены варианты примеров для самостоятельной работы.
3
1 Основные факты теории вычетов
I Обязательно по книгам (1) и (2) читатель должен ознакомиться с основными понятиями теории функций комплексного переменного: аналитическая функция, интеграл от функции комплексной переменной по кривой и его свойства, ряды Тейлора и Лорана и т.д.
Определение 1. Нулем аналитической функции f (z) называется точка
z0 , для которой f (z0 )= 0 .
Если f (z) не равна тождественно нулю ни в какой окрестности точки
z0 , то можно описать окружность достаточно малого радиуса с центром в точке z0 внутри которой не будет других нулей, кроме центра z0 .
Если |
f (z0 )= f ′(z0 )=... = f (k −1)(z0 )= 0 , а |
f (k )(z0 )≠ 0 , то точка z0 |
||||||||||
называется нулем порядка k для функции f (z). Если k =1, то нуль называется |
||||||||||||
простым, при k >1 k - кратным. |
|
|
|
|
|
|
|
f (z) |
|
|||
Определение 2. Точки в которых функция |
перестает быть |
|||||||||||
аналитической называются особыми точками функции |
f (z). |
|
||||||||||
Определение 3. Точка z0 называется изолированной |
особой точкой |
|||||||||||
функции |
f (z), если |
функция |
|
|
f (z) аналитична |
в |
некоторой проколотой |
|||||
окрестности |
(кольце) |
{z С | 0 < |
|
z − z0 |
|
< r}, а в |
самой точке z0 или не |
|||||
|
|
|||||||||||
определена, или определена, но не дифференцируема. |
|
|
||||||||||
Определение 4. Ряд вида |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+∞ |
|
|
|
+∞ |
−1 |
|
|
|||
|
|
∑an (z − z0 ) |
|
= ∑an (z − z0 )n + |
∑an (z − z0 )n |
|||||||
|
|
−∞ |
|
|
|
|
n=0 |
n=−∞ |
|
|||
где |
{an }∞n=−∞ |
- последовательность комплексных чисел, называется |
рядом Лорана с центром в точке z0 .
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд |
∑an (z − z0 )n , |
сходящемся |
в |
круге |
|
z − z0 |
|
< r , называется правильной |
||||
|
|
|||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частью ряда Лорана. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ряд |
∑an (z − z0 )n , |
сходящийся |
в |
области |
|
z − z0 |
|
> 0 , называется главной |
||||
|
|
|||||||||||
|
n=−∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частью ряда Лорана.
По определению ряд Лорана сходится, если сходятся одновременно его правильная и главная части. Следовательно, ряд Лорана сходится в кольце: 0 < z − z0 < r .
Изолированные особые точки бывают трех типов: устранимая особая
точка, полюс, существенно особая точка. |
функции f (z) |
|
Определение 5. |
Изолированная особая точка z0 |
|
называется устранимой, |
если существует конечный предел |
lim f (z)≠ f (z0 ). |
|
|
z→z0 |
4
Тогда z0 |
является устранимой особой точкой функции |
f (z) |
тогда и только |
|||||||||||||||
тогда, когда главная часть её ряда Лорана с центром в точке z0 |
отсутствует. |
|||||||||||||||||
Определение |
6. |
Изолированная |
особая |
точка |
z0 |
функции |
f (z) |
|||||||||||
называется полюсом, если |
lim f (z)= ∞. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z→z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда z0 |
является полюсом функции f (z), |
тогда и только тогда, когда |
||||||||||||||||
главная часть ряда Лорана с центром в точке z0 |
состоит из m (конечного числа) |
|||||||||||||||||
членов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a−m |
|
|
|
a−m+1 |
|
a−1 |
|
∞ |
|
|
|
|
|
f (z)= |
|
|
|
|
+ |
|
+.. + |
|
+ ∑an (z − z0 )n , a−m ≠ 0, m ≥1. |
|||||||||
|
(z |
− z0 )m |
(z − z0 )m−1 |
z − z0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|||||||||
Число m называют порядком полюса. |
Если |
m =1, то полюс |
называется |
|||||||||||||||
простым. |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (z) точка z = z0 есть полюс порядка |
m , |
то для |
|||||||
Если для функции |
||||||||||||||||||
функции |
1 |
|
|
точка z = z0 есть нуль порядка m . |
|
|
|
|
|
|||||||||
f (z) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение 7. Изолированная особая точка z0 функции f (z)
называется существенно особой точкой, если lim f (z) не существует. Точка
z→z0
z0 является существенно особой точкой функции f (z) тогда и только тогда, когда главная часть ряда Лорана с центром в точке z0 содержит бесконечное число членов.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Например, |
точка |
z = 0 |
|
- существенно особая точка |
функции e z . |
|||||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Действительно, e z |
=1 + |
+ |
|
+..... . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
z |
2! z 2 |
|
|
|
f (z) является |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Заметим, что изолированная особая |
точка |
функции |
||||||||||||||||||
полюсом порядка |
k ≥1 тогда и только тогда, |
когда в некоторой проколотой |
||||||||||||||||||
окрестности точки z0 : 0 < |
|
z − z0 |
|
< r , f (z)= |
|
ϕ(z) |
причем ϕ(z) аналитична |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
(z |
− z0 )k |
|||||||||||||||||
в круге |
|
z − z0 |
|
< r |
и ϕ(z0 )≠ 0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II Вычет функции и правила вычисления его
Определение 8. Вычетом однозначной аналитической функции f (z) в изолированной особой точке z0 (в том числе z0 = ∞) называется значение интеграла
1 |
∫ f (z)dz = Re s f (z) |
||
2πi |
|||
γ |
z=z0 |
||
|
|
5
где интегрирование ведется по γ-замкнутому кусочно-гладкому контуру Жордана, содержащему внутри себя точку z0 и не содержащему других особых точек функции f (z). При этом интегрирование ведётся в положительном направлении относительно области, содержащей точку z0 .
Если z0 ≠ ∞, то Re s f (z)= a−1 - коэффициент при (z − z0 )−1 |
в ряде |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z=z0 |
|
f (z)= a , где |
|
|
|
|
|
z −1 |
|
|||||||
Лорана. Если |
z |
0 |
= ∞, |
то |
Re s |
|
a - коэффициент при |
в |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
z=z0 =∞ |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
лорановском разложении функции f (z) в окрестности точки z0 = ∞. |
|
|
|||||||||||||||||||
Вычет |
f (z) |
в точке z0 = ∞ находят, в основном, непосредственно по |
|||||||||||||||||||
определению, |
причем за контур γ принимают окружность |
|
z |
|
= R достаточно |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
большого радиуса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Правила вычисления вычетов в точке z0 ≠ ∞. |
|
|
|||||||||||||||||||
1) Если |
точка |
z0 |
является устранимой особой точкой для функции |
||||||||||||||||||
f (z), то Re s f (z)= 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
z=z0 |
|
|
|
|
z = z0 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2) Пусть точка |
полюс первого порядка (простой полюс) для |
||||||||||||||||||||
f (z). Тогда Re s f (z)= lim ((z −z 0 )f (z)). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
z=z0 |
|
|
|
z→z0 |
ϕ(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В частности, |
если |
f (z)= |
, |
|
где |
функции |
ϕ(z) и ψ(z) аналитические |
в |
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ψ(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
окрестности точки z0 , ϕ(z0 )≠ 0, |
|
ψ(z0 )= 0, ψ′(z 0 )≠ 0 , то |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Re s f (z)= |
ϕ(z0 ) |
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z=z0 |
|
|
ψ′(z0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) Если точка z0 |
- полюс порядка m >1 функции f (z), то |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Re s f (z)= |
1 |
|
lim ((z − z0 )m f (z))(m−1) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
(m − |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
z=z0 |
|
|
|
1)! z→z0 |
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления интегралов будем использовать основную теорему 1 теории вычетов:
Если функция f (z) аналитична в замкнутой области G , ограниченной
замкнутой спрямляемой жордановой кривой С, за исключением конечного числа изолированных особых точек a1 , a2 ,..., an , находящихся внутри С, то
справедлива формула
|
n |
∫ f (z)dz = 2πi∑Re s f (z) |
|
c |
k =1 z=ak |
6
2 Вычисление интегралов от тригонометрических функций
|
2π |
|
Интегралы вида |
I = ∫R(cos ϕ, sin ϕ)dϕ, где R(u, v) |
- рациональная |
|
0 |
отрезке [0,2π], |
функция, а функция |
g(ϕ)= R(cos ϕ, sin ϕ) непрерывна на |
сводится к интегралом по единичной окружности от функций комплексного переменного.
Пусть z = eiϕ. Тогда с помощью формул Эйлера: |
eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
eiϕ − e−iϕ |
|
|
eiϕ + e−iϕ |
|
или sin ϕ = |
z − |
|
|
|
, cos ϕ = |
z + |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
sin ϕ = |
|
, cos ϕ = |
z |
z |
|
(1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Отсюда dz = eiϕ idϕ или dϕ = −i |
dz |
|
= |
1 |
|
dz |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
z |
|
|
|
z пробегает |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||||||||||||||
При изменении |
ϕ |
от |
0 до 2π переменная |
окружность |
|
|
=1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
поэтому |
I = |
|
|
|
∫R(z)dz |
(где |
R |
(z)= |
|
|
|
R |
|
z + |
|
|
|
|
, |
|
z − |
|
. |
Так |
|
|
|
как |
|||||||||||||||||
|
i |
|
z |
|
|
z |
|
z |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
рациональная функция |
|
на окружности |
|
z |
|
=1, то существует такое |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
R(z)≠ ∞ |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r >1, что |
в круге |
|
z |
|
< r функция |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
аналитична |
всюду за |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R(z)определена |
|
исключением быть может конечного числа изолированных особых точек,
находящихся в круге |
|
z |
|
<1. Взяв в качестве контура С окружность |
|
z |
|
=1и |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
применяя теорему 1, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
n |
~ |
|
|
|
|
(2) |
|||
|
|
|
|
I = 2πi ∑Re s R(z), |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
k =1 z=ak |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где a1 , a2 ,..., ak - полюсы функции |
~ |
(z), лежащие в круге |
|
z |
|
<1. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
2π
Таким образом, алгоритм вычисления интеграла I = ∫R(cos ϕ, sin ϕ)dϕ
0
таков:
1)надо доказать, что функция R(cos ϕ, sin ϕ)рациональна относительно cos ϕ или sin ϕ и непрерывна на [0;2π];
2)делаем замену z = eiϕ при которой отрезок [0;2π] переводится в
множество M ={z C | |
|
=1}; sin ϕ = |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
dz |
|
||
z |
|
z − |
|
, cos ϕ = |
|
t + |
|
, dϕ = |
|
и |
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2i |
z |
2 |
|
t |
iz |
|
|||
|
|
|
|
7
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
I = |
|
|
|
|
|
∫ |
R(z)dz ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3) проверяем условие теоремы 1. Для этого находим изолированные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
особые |
|
|
|
точки |
z1 , z2 ,..., zk |
функции |
|
~ |
|
|
|
|
принадлежащие |
множеству |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R(z) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
{z C | |
|
z |
|
<1}. |
|
Теперь |
функция |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
множестве |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
R(z)аналитична на замкнутом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
{z C | |
|
z |
|
≤1}= |
|
|
|
|
|
ограниченном |
окружностью |
|
z |
|
=1за |
исключением |
|
точек |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
G |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z1 , z2 ,..., zk ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4) вычисляем I ориентируясь на следующие возможные случаи: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а) |
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
многочлен относительно z . Так как изолированных |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R(z)= P(z) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
особых точек нет, то I = 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
R(z) |
= |
|
|
|
|
|
|
|
+ P(z) ( P(z) - многочлен). Тогда точка z = z0 |
простой |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
− z |
0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
полюс |
функции |
|
|
~ |
|
|
|
и |
|
~ |
(z)= a |
(по |
определению |
вычета), |
поэтому |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R(z) |
Re s R |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
I = 2πi |
|
= 2πa ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
i |
|
|
|
|
ϕ(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z) |
|
|
|
|
причем ψ(z0 )= 0, ϕ(z0 ), |
|
ψ′(z0 )≠ 0 . Тогда по правилу |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
R |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ψ(z) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(z0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ(z0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
~ |
(z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 Re s R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и по формуле (2) I = |
2π |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
ψ′(z0 ) |
|
ψ′(z0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z=z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
P(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
г) |
R(z)= |
|
, где P(z) и Q(z) - многочлены. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Q(z) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Особые точки |
|
z1 ,..., zk |
ищутся среди корней (нулей) многочлена Q(z). Точки |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z1 ,..., zk |
|
|
|
могут быть только |
полюсами |
(простыми или |
порядка |
m ). |
Вычет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
точек z1 , z2 ,..., zk находят по правилу 2 или по правилу 3. Тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции R(z) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
k |
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
I = 2πi∑Re sR(z). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n=1 z=zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Рассмотрим примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 I = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
( 5 + cos t) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Решение. Функция |
f (t) = |
|
|
|
|
|
является рациональной функцией |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
5 + cos t)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cost и непрерывной на [0;2π]. Полагая z = eit |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
dz |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеем cos t = |
|
|
z + |
|
|
, dt = |
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
z |
|
iz |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
|
|
|
|
Теперь |
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zdz |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
I = |
1 |
|
|
|
∫ − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
4 |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
z |
|
= |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
z |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
i |
|
z |
|
= |
(z |
2 |
+2 5z |
+1) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
z 5 |
+ |
|
|
|
z |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 z |
2 5 + z + |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
= |
4 |
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
z |
|
=1 (z −(− 5 +2)) (z −(− |
|
5 − |
2)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Подынтегральная |
|
|
|
|
функция |
|
|
|
g(z) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− (− |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
− (− 5 − |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
5 |
+ |
2) |
|
z |
2) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
имеет особые точки |
z1 = − |
5 − 2, z2 = − 5 + 2 , |
которые являются полюсами |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
второго порядка. Функция g(z) (подынтегральная) аналитична на окружности |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z |
|
=1 и в круге |
|
z |
|
<1 за исключением точки |
|
|
|
|
z2 = − |
|
5 + 2 . Следовательно, по |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
теореме 1 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zdz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
4 |
|
2ni |
Re s g(z) =8πRe s g(z) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
z |
|
=1 |
(z − (− 5 |
+ 2)) |
|
|
(z |
− (− 5 − |
2)) |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
z=z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=z2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Пользуясь формулой правила 3 вычисления вычета имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
(z − z |
2 |
)2 |
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
1(z− z |
|
)2 − 2z(z − z |
) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Re s g(z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z=z2 |
|
|
|
|
|
(2 −1)! z→z2 |
(z −z1 )2 (z − z2 )2 |
|
z→z2 (z − z1 )2 |
|
z→z2 |
|
|
|
|
(z −z1 )4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
z − z1 − 2z |
|
= lim |
|
− z − z1 |
|
|
= |
|
− z2 − z1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 − 2 + |
5 + 2 |
|
|
= 2 |
|
5 = |
5 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(z − z1 )3 |
|
|
(− 5 + 2 + 5 + 2)3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
z→z2 |
|
(z − z1 )3 |
|
|
|
z→z2 |
|
|
|
|
|
|
(z2 − z1 )3 |
|
|
|
|
43 |
32 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Таким образом |
I =8π |
5 = |
π 5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos4 ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 Вычислить I = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 + sin |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулы |
|
|
|
понижения |
|
|
|
|
степени: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2 ϕ = |
1 |
+ cos 2ϕ |
|
|
, sin 2 ϕ = |
1 |
− cos 2ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
π (1 |
+ cos 2ϕ)2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получим, |
что |
|
I = |
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
dϕ. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 − cos 2ϕ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π(1 + cos t)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + cos t)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Сделаем |
|
|
|
замену |
|
|
|
t = |
2ϕ, |
|
|
|
тогда |
|
|
|
I = |
|
|
|
|
|
∫ |
3 − cos t |
|
dt . |
Функция |
|
|
3 − cos t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
является рациональной функцией относительно cost и непрерывной на [0;2π]. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
− (z +1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Теперь после замены z = eit имеем I = |
|
|
|
z |
∫ |
8z 2 (z 2 − 6z +1)dz . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
9
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− (z +1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
Функция |
|
|
|
|
|
|
|
|
R(z) = |
8z 2 |
(z 2 − 6z +1) |
|
|
|
имеет |
|
|
|
|
|
особые |
|
|
|
|
точки |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z1 = 0, z2 = 3 − 2 |
2, |
|
|
z3 = 3 + 2 |
|
|
2 |
, |
|
|
|
|
точки |
|
|
|
z1 = 0, z2 = 3 − 2 |
|
2 |
лежат |
|
внутри |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
окружности |
|
|
z |
|
|
=1. Причем z1 = 0 |
|
- полюс второго порядка, вычет его найдем |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
по правилу 3 |
|
|
|
|
|
+1)4 ′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
−(z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4(z +1)3 (z2 −6z +1) −(z +1) |
4 (2z −6) |
|
|
|
10 |
|
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Res R(z) = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=−lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=− |
|
|
|
|
|
=− |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 −6z +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8(z2 − |
6z +1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z=0 |
|
|
|
|
|
|
z→0 8(z |
|
|
|
|
|
|
z→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точка z2 = 3 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(z) найдем по правилу 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 - простой полюс. Вычет Re s R |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−(z +1)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z=z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
~ |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=− |
|
|
|
|
(4−2 |
|
2)4 |
|
|
|
= |
8 |
2(3 −2 |
2)2 |
|
= |
8 |
|
2 |
= |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Re s R(z)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
2 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
z=z2 |
|
|
|
|
|
|
z→3−2 2 |
8 |
z |
(z |
(3 |
2 |
|
|
2)) |
|
|
|
|
8(3 |
2 |
2) |
|
|
2) |
|
|
|
|
8(3 |
2 |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
По формуле (2) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
I = 2π − |
4 |
|
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
cos nϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
3 Вычислить |
|
|
|
I1 = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ при условии, |
что |
|
−1 < a <1 |
и |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
− 2a cos ϕ + a |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− π1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
n R, n > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
sin nϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
Рассмотрим |
|
|
|
|
|
интеграл |
|
|
|
I 2 = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ. I 2 = 0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − 2a cos ϕ + a 2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
поскольку |
подынтегральная |
|
функция |
|
нечетна, |
|
а |
|
|
|
пределы |
интегрирования |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
cos nϕ + i sin nϕ |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
einϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
симметричны. Тогда I1 = I1 + iI 2 = ∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dϕ = ∫ |
|
|
|
|
dϕ. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
− |
2a cos ϕ + a 2 |
|
1 − 2a cos ϕ + a 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = eiϕ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
После |
замены |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos ϕ = |
|
|
|
z + |
|
|
|
, |
|
dϕ = |
|
|
|
|
|
|
будем |
|
|
|
|
иметь |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
iz |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
I1 = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− z n dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− z n dz |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
i |
|
|
z |
∫ |
|
|
2 − |
|
|
+ |
|
1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
z |
∫=1 a(z − a) z − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
z |
a |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
Подынтегральная функция |
|
|
|
|
аналитична на множестве |
|
z |
|
≤1 |
кроме |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
R(z) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нуля знаменателя z1 = а, который является простым полюсом функции |
|
~ |
(z) . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Особая точка |
z2 |
|
= |
|
1 |
|
|
не принадлежит множеству |
|
|
|
z |
|
≤1. |
По формуле (2) |
и |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
правилу 2 имеем, что I1 |
~ |
= 2π Re s R(z) |
|
|
z=a |
= 2π lim |
− z n |
|
= 2π |
||
|
1 |
|
|||
z→a |
|
||||
|
a z − |
|
|
|
|
|
a |
|
|||
|
|
|
|
− an |
|
= |
|
2πan |
. |
|||
|
1 |
|
1 − a |
2 |
||||
|
|
|||||||
a a − |
|
|
|
|
|
|||
a |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
10