Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1266 вузов, 4643 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Криворожский национальный университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

algebra10_нелін_дворівн

.pdf
Скачиваний:
60
Добавлен:
22.03.2015
Размер:
5.24 Mб
Скачать
☆

 

 

§ 13. Обернені тригонометричні функції

 

Приклад

Знайдіть cos(arccos 2 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

Р о з в ’ я з а н н я

 

К о м е н т а р

X Нехай

arccos 2 = ϕ, тоді за озна$

Оскільки записϕ = arccos a (| a | m 1)

 

3

 

 

 

 

 

означає, що ϕ [0; π] і cos ϕ = a, то

ченням арккосинуса одержуємо, що

завжди виконується рівність

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

2

cos (arccos a) = a, | a | m 1 .

cosϕ = 3. Отже, cos (arccos

3 )=

3. Y

Aле цю формулу можна не запа$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

м’ятовувати: досить позначити ви%

 

 

 

 

 

 

 

раз у дужках через ϕ і використати

 

 

 

 

 

 

 

означення арккосинуса.

13.3. ФУНКЦІЯ y = arctg x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц я 28

 

 

 

 

 

 

1. Графік

 

 

 

 

y = tg x

 

 

y = arctg x

На проміжку (− π ; π ) tg x зростає.

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Значення arctg a

 

 

 

 

Орієнтир

 

 

 

 

 

Приклад

arctg a — це таке число з проміжку

 

 

 

 

(− 2π ; 2π ), тангенс якого дорівнює а.

arctg

 

3 = π , оскільки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

π π

π (− π ; π )

і tg π = 3.

 

 

 

(− 2; 2),

3

2

2

3

arctg a = ϕ, якщо ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tgϕ = α

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

151

 

 

 

РОЗДІЛ 2. Тригонометричні рівняння і нерівності

П р о д о в ж. т а б л. 28

3. Непарність функції y = arctg x

arctg (–a) = –arctg a

Пояснення й обґрунтування

1. Графік функції y = arctg x. Функція y = tg x зростає на проміжку (− 2π ; 2π )

і набуває всіх значень від –× до +×. Отже, на цьому проміжку функція y = tg x має обернену функцію, яка позначається y = arctg x, з областю визна$

чення (–×; +×) і множиною значень (− 2π ; 2π ). Функція y = arctg x теж зрос$

тає, і її графік можна одержати з графіка функції y = tg x (на заданому про$ міжку) за допомогою симетричного відображення відносно прямої y = x (рис. 90).

2. Значення arctg a. За означенням оберненої функції (на вибраному про$ міжку), якщо tg ϕ = a, то arctg a = ϕ, причому ϕ (− 2π ; 2π ). Отже, запис arctg a = ϕ означає, що ϕ (− 2π ; 2π ) і tg ϕ = a. Тобто

 

arctg a — це таке число з про

 

міжку (− π

; π ), тангенс якого до

 

 

 

2

2

 

 

 

 

рівнює a.

 

 

 

 

 

Наприклад, arctg

3 = π , оскіль$

 

π (− π ; π )

 

 

3

6

ки

і tg π =

3 .

 

 

6

2

2

 

6

3

 

 

Аналогічно arctg (−1)

= − π ,

 

 

 

 

 

 

 

4

оскільки − π (− π ; π ) і tg (− π )= −1.

Рис. 90

 

 

4

2

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

152

§ 13. Обернені тригонометричні функції

3. Непарність функції y = arctg x. Для знаходження арктангенсів від’ємних чи$ сел можна також користуватися непар$ ністю функції arctg x, тобто формулою arctg (–a) = –arctg a.

( Це випливає з того, що графік функції

 

 

 

 

 

y = arctg x (рис. 90) симетричний

 

 

 

 

 

відносно початку координат, а також

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

з того, що точки a і (–a) на лінії тан$

Рис. 91

генсів є симетричними відносно осі Ox

(рис. 91). Тоді і відповідні точки A і B

 

 

 

 

 

на одиничному колі (у проміжку (−

π

;

 

π

)) теж будуть симетричними відносно

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

осі Ox. Отже, COA = COB. Але arctg a = COA, а

 

 

 

 

 

arctg (–a) = = – COB. Одержуємо

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arctg (–a) = –arctg a

. )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

3

= − π .

 

 

 

 

 

Наприклад, arctg −

= −arctg

 

 

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

Приклад

Знайдіть tg (arctg 4).

 

 

 

 

Р о з в ’ я з а н н я

 

 

К о м е н т а р

 

 

X Нехай arctg 4 = ϕ, тоді за озна$

Оскільки запис ϕ = arctg a означає,

ченням арктангенса одержуємо, що

що ϕ (−

π

; π ) і tg ϕ = a, то завжди

tg ϕ = 4.

 

Отже, tg (arctg 4) = 4. Y

2

2

 

виконується рівність

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tg (arctg a) = a

.

 

 

 

 

 

 

 

Але цю формулу можна не запа$

 

 

м’ятовувати: досить позначити ви%

 

 

раз у дужках через ϕ і використати

 

 

означення арктангенса.

153

РОЗДІЛ 2. Тригонометричні рівняння і нерівності

 

13.4. ФУНКЦІЯ y = arcctg x

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц я 29

 

1. Графік

 

 

 

y = ctg x

 

 

y = arcctg x

 

На проміжку (0; π) ctg x спадає.

 

 

 

 

2. Значення arcctg a

 

 

Орієнтир

 

 

Приклад

 

arcctg a — це таке число з проміжку

 

3 = π , оскільки

(0; π), котангенс якого дорівнює а.

arcctg

 

 

 

6

 

ϕ

(0; π ),

π (0; π) і ctg π =

3.

arcctg a = ϕ, якщо

ϕ = a

6

6

 

ctg

 

 

 

3. Формула для arcctg (–a)

 

 

 

 

arcctg (–a) = π – arcctg a

Пояснення й обґрунтування

 

 

 

1. Графік функції y = arcctg x. Функція y = ctg x спадає на проміжку (0; π) і набуває всіх значень від –× до +×. Отже, на цьому проміжку функція y = ctg x має обернену функцію, яка позначається y = arcctg x, з областю

154

§ 13. Обернені тригонометричні функції

Рис. 92

Рис. 93

визначення (–×; +×) і областю значень (0; π). Функція y = arcctg x теж спа$ дає, і її графік можна одержати з графіка функції y = ctg x (на заданому проміж$ ку) за допомогою симетричного відображення його відносно прямої y = x (рис. 92).

2. Значення arcсtg a. За означенням оберненої функції (на вибраному про$ міжку), якщо ctg ϕ = a, то arcctg a = ϕ, причому ϕ (0; π). Отже, запис arcctg a = ϕ означає, що ϕ (0; π) і ctg ϕ = a. Тобто

arcctg a — це таке число з проміжку (0; π), котангенс якого дорівнює a.

Наприклад, arcctg1 = π , оскільки

π

(0; π) і ctg

π

= 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

4

 

4

 

 

 

 

 

 

3

 

2π

 

 

 

2π

(0; π )

 

2π

 

3

 

Аналогічно arcctg −

=

, оскільки

і ctg

= −

.

 

 

 

 

3

 

3

 

 

 

3

 

 

 

3

 

3

 

3. Формула для arcctg (–a). Для знаходження арккотангенсів від’ємних чи$ сел можна також користуватися формулою arcctg (–a) = π – arcctg a.

(Це випливає з того, що точки a і (–a) на лінії котангенсів (рис. 93) є симет$

ричними відносно осі Оy. Тоді і відповідні точки A і B на одиничному колі (у проміжку (0; π)) теж будуть симетричними відносно осі Оy. Отже,COA = DOB, значить, COB = π – DOB = π – COA. Але

arcctg a = COA, а arcctg (–a) = COB = π – COA. Одержуємо

arcctg (–a) = π – arcctg a . )

Наприклад, arcctg (−1) = π − arcctg1 = π − π = 3π .

4 4

Зазначимо, що рівність arcctg (–a) = π – arcctg a означає, що функція y = arcctg x не є ні парною, ні непарною.

155

РОЗДІЛ 2. Тригонометричні рівняння і нерівності

Приклад 1 Знайдіть ctg (arcctg 7).

Р о з в ’ я з а н н я

X Нехай arcctg 7 = ϕ, тоді за озна$ ченням арккотангенса одержуємо, що ctg ϕ = 7.

Отже, ctg (arcctg 7) = 7. Y

К о м е н т а р

Оскільки запис ϕ = arcctg a озна$ чає, що ϕ (0; π) і ctg ϕ = a, то завжди виконується рівність

ctg (arcctg a) = a .

Але цю формулу можна не запа$ м’ятовувати: досить позначити ви% раз у дужках через ϕ і використати означення арккотангенса.

Приклад 2* Доведіть, що arctg a +arcctg a = 2π .

Р о з в ’ я з а н н я

X Нехай ϕ = π − arcctg a.

2

1)Оскільки arcctg a (0; π), то

ϕ(− 2π ; 2π ).

2)Якщо arcctg a = β,

то ctg β = a і ϕ = π − β. Тоді

2

tgϕ = tg(2π − β)= ctgβ = a.

За означенням арктангенса одержує$ мо arctg a = ϕ.

Отже, arctg a = π − arcctg a, а це і озна$

2

чає, що

arctg a + arcctg a = π . Y

2

К о м е н т а р

Запишемо задану рівність у вигляді

arctg a = π − arcctg a . Якщо позна$

2

чити ϕ = π − arcctg a , то для доведен$

2

ня рівності arctg a = ϕ за означенням арктангенса досить довести, що:

1) ϕ (− π ; π ) і 2) tg ϕ = a.

2

2

При доведенні слід також враху$ вати означення арккотангенса: якщо

arcctg a = β, то

β (0; π) і ctg β = a.

Запитання для контролю

1.Поясніть, яке число позначають вирази: а) arcsin a; б) arccos a; в) arctg a; г) arcctg a. При яких значеннях a існують ці вирази? Проілюструйте ваше пояснення прикладами.

2.Поясніть, як можна одержати графіки обернених тригонометричних функцій.

156

§ 13. Обернені тригонометричні функції

3*. Зобразіть графіки обернених тригонометричних функцій, вкажіть і обґрун$

 

туйте їх найпростіші властивості (область визначення, множина значень,

 

зростання чи спадання, парність, непарність):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y = arcsin x;

б) y = arccos x;

в) y = arctg x;

 

 

 

 

г) y = arcctg x.

4.

Обґрунтуйте формули:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) arcsin (–a) = –arcsin a;

б) arctg (–a) = –arctg a;

 

 

 

 

 

 

 

в) arccos (–a) = π – arccos a;

г) arcctg (–a) = π – arcctg a.

 

 

 

 

 

 

 

Вправи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Обчисліть (1–9).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1°.

1) arcsin 0;

2) arcsin 1;

3)

arcsin

 

 

2

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

arcsin

;

 

 

 

 

5) arcsin (–1);

6)

arcsin −

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) arctg(−

3).

 

 

 

2°.

1) arctg 0;

2) arctg 1;

3)

arctg 3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3°.

1) arccos 0;

2) arccos 1;

3)

arccos

 

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

arccos

 

;

 

 

 

 

 

 

 

5) arccos (–1);

6)

arccos −

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4°.

1) arcctg 0;

2) arcctg

3

;

 

 

 

 

 

 

3)

arcctg

3;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4) arcctg(−

3 ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

1)

sin(arcsin

2

);

 

2*)

cos(arcsin

1

);

3*)

tg(arcsin

1

);

 

 

4*)

ctg(arcsin

4

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

6.

1) tg (arctg 7);

*

ctg(arctg

1

);

3

*

) sin (arctg 3);

*

(

)

 

 

2 )

3

 

 

 

 

 

4 )

cos arctg 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

1)

cos(arccos

2

);

2*)

sin(arccos

1

);

3*)

tg(arccos

3

);

 

 

4*)

ctg(arccos

1

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

8.

1)

ctg(arcctg 7 );

2*) tg(arcctg

2

);

3*) sin (arcctg 5);

4*) cos(arcctg

3

).

3

4

9*.

1)

arcsin(sin

15π

);

2) arcsin (sin 7);

3)

arccos(cos

 

21π

);

4) arccos (cos 8);

7

5

 

5)

arctg(tg

6π

);

6) arctg (tg 4);

7)

arcctg(ctg

10π

);

8) arcctg (ctg 10).

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10*. Доведіть, що arcsin a + arccos a =

π

при | a | m 1.

 

2

 

157

§14

РОЗВ’ЯЗУВАННЯ НАЙПРОСТІШИХ

ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ

 

До найпростіших тригонометричних рівнянь належать рівняння cos x = a,

sin x = a, tg x = a, ctg x = a.

 

 

Щоб міркування по знаходженню коренів цих рівнянь були більш наочни$

ми, скористаємося графіками відповідних функцій.

14. 1. РІВНЯННЯ cos x = a

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц я 30

 

1. Графічна ілюстрація і розв’язки рівняння cos x = a

 

 

Графічна ілюстрація

 

 

Розв’язки

 

Приклади

 

cos x = a

 

1. X cosx = 1 ,

 

 

 

 

2

| a | > 1

| a | m1

x = ± arccos 1 + 2πn, n Z,

 

 

 

 

2

Коренів немає

 

x = ± π + 2πn, n Z. Y

 

3

 

х = ä arccos a + 2πn, n Z

2. X cosx =

3.

Коренів немає, оскільки 3 > 1. Y

 

 

 

 

2. Окремі випадки розв’язування рівняння cos x = a

 

 

 

cos x = 0

x = π + πk, k Z

 

 

 

 

2

 

 

 

cos x = 1 x = 2πk, k Z

 

 

 

cos x = –1 x = π + 2πk, k Z

 

 

 

158

 

§ 14. Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь

Пояснення й обґрунтування

1. Розв’язки рівняння cos x = a. При | a | > 1 рівняння не має коренів, оскільки | cos x | m 1 для будь$якого x (пряма y = a на рисунку з пункту 1 таблиці 30 при a > 1 або при a < –1 не перетинає графік функції y = cos x).

Нехай | a | m 1. Тоді пряма у = а перетинає графік функції у = cos х. На проміжку [0; π] функція y = cos x спадає від 1 до –1, тому рівняння cos x = a має

тільки один корінь x 1 = arccos a на цьому проміжку (рис. з пункту 1 табл. 30).

Косинус — парна функція, тому на проміжку [–π; 0] рівняння cos x = a теж має тільки один корінь — число, протилежне до x1, тобто x2 = –arccos a.

Отже, на проміжку [–π; π] (довжиною 2π) рівняння cos x = a при | a | m 1 має тільки корені x = ä arccos a.

Враховуючи, що функція y = cos x періодична з періодом 2π, всі інші корені відрізняються від знайдених на 2πn (n Z), тобто одержуємо таку формулу

коренів рівняння cos x = a при | a | m 1:

 

x = ä arccos a + 2πn, n Z .

(1)

2. Окремі випадки розв’язування рівняння cos x = a.

(Корисно пам’ятати спеціальні записи розв’язків рівняння cos x = a при a = 0, a = –1, a = 1, які можна легко одержати, використовуючи як орієн$ тир одиничне коло.

Враховуючи, що косинус дорівнює абсцисі відповідної точки одиничного кола, одержуємо, що cos x = 0, якщо відповідною точкою одиничного кола є точка A або точка B (рис. з пункту 2 табл. 30). Тоді

x = 2π + πk, k Z.

Аналогічно cos x = 1 тоді і тільки тоді, коли відповідною точкою одинично$ го кола є точка C, отже, x = 2πk, k Z.

Також cos x = –1 тоді і тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка D, отже, x = π + 2πk, k Z. )

Приклади розв’язання завдань

Приклад 1 Розв’яжіть рівняння cosx = − 1 .

2

Р о з в ’ я з а н н я

Xx = ± arccos(− 12 )+ 2πn, n Z, x = ± (π − 3π )+ 2πn,

К о м е н т а р

Оскільки

−

1

 

<1, то задане рів$

 

 

2

 

 

няння виду cos x = a має корені, які можна знайти за формулою (1).

159

РОЗДІЛ 2. Тригонометричні рівняння і нерівності

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

)мож$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = ±

 

 

 

+ 2πn.

 

Для обчислення arccos(−

 

3

2

Відповідь: ±

2π

+ 2πn, n Z. Y

 

на скористатися формулою:

 

 

arccos (–a) = π – arccos a.

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arccos(−

1

)= π − arccos(

1

)= π −

π

=

2π

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

3

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’яжіть рівняння cosx = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р о з в ’ я з а н н я

 

 

 

 

 

К о м е н т а р

 

 

 

 

 

 

 

 

> 1, то коренів

 

 

 

 

 

 

 

 

>1, то задане рів$

X Оскільки

2

 

Оскільки

2

немає.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

няння не має коренів (тобто форму$

Відповідь: коренів немає. Y

 

лу (1) не можна використовувати).

 

 

Розв’яжіть рівняння cos 4x =

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р о з в ’ я з а н н я

К о м е н т а р

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X 4x = ± arccos

1

 

+ 2πn, n Z,

 

Оскільки

 

1

 

<1, то можна скорис$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = ±

1

arccos

1

+

πn

, n Z.

 

татися формулою

(1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

3

 

2

 

 

 

 

Враховуючи, що arccos

не є таб$

 

 

 

 

 

 

Відповідь:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

личним значенням, для одержання

± 1 arccos 1 +

π n

, n Z. Y

 

відповіді досить після знаходження

 

 

4

3

2

 

 

4х за формулою (1) обидві частини ос$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

таннього рівняння розділити на 4.

З а у в а ж е н н я. Якщо за умовою завдання потрібно знайти наближене зна$ чення коренів даного рівняння в якомусь проміжку, то за допомогою кальку$

лятора знаходимо

1

arccos

1

≈ 0,31,

π

≈ 1,57,

записуємо наближене значення

4

 

2

 

3

 

 

 

коренів у вигляді x ≈ ä 0,31 + 1,57п, n Z, знаходимо наближене значення коренів при п = 0, ä1, ä2... і обираємо корені, що входять до заданого проміжку.

 

Розв’яжіть рівняння cos (2x −

π

)=

2

.

 

 

 

Приклад 4

3

2

 

Р о з в ’ я з а н н я

 

 

 

К о м е н т а р

 

 

 

X 2x − π = ± arccos

2

+ 2πn, n Z,

Оскільки

 

2

 

<1, то можна скори$

 

 

 

2

3

2

 

 

 

 

 

 

 

 

статися формулою (1) для знахо$

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

160

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности