Ежов - ТеорВер

7.2. Центральнi граничнi теореми

71

абсолютно iнтегрованою на

R1

густина pn(x) випадкової величини (7.26) при n

→ ∞

1, то

x2

збiгається до густини p0(x)=

√

exp −

рiвномiрно по x.

2

2π

n

1

k

− µk |3 −→ 0

при

B3

M |ξk

n → ∞ ,

n

=1

n

n

, то послiдовнiсть випадкових величин

де Bn = k=1 Dξk =

k=1 σk2

1

n

(ξk − µk)

ηn =

Bn

=1

k

збiгається за розподiлом до N (0, 1) рiвномiрно на R1.

Покладемо χnk =

ξk − µk

. Тодi

Bn

n

1

ηn = k=1 χnk ,

M χnk =

M (ξk − χk ) = 0 ,

Bn

1

σk2

3

1

3

Dχnk =

Dξk

=

, M |χnk |

=

M |ξk − µk|

.

Bn2

Bn2

Bn3

Внаслiдок незалежностi для х.ф. маємо спiввiдношення

n

fηn (t) = ϕχnk (t) ,

(7.28)

=1

k;

8.1. Розподiл ортогональних проекцiй

75

Нехай L - лiнiйний пiдпростiр Rn i L - ортогональне доповнення L в Rn, тобто

L = {x Rn, (x, y) = 0, y L} .

(8.3)

Покажемо, що розклад

x = x1 + x2, x1 L, x2 L

(8.4)

є единим. Дiйсно, iз рiвностi

x = x

+ x

, x

L, x

L

i лiнiйностi пiдпросторiв

L

та

L

1

2

1

2

(x1 − x1), (x2 − x2)

, то x1 −x1 2 + x2 −x2 2 =

випливає (x1 −x1

) + (x2

−x2) = 0. Оскiльки

1

1

2

2. Таким чином, кожному вектору

n розклад (8.4) ставить у

0 = x

= x , x = x

x

R

вiдповiднiсть вектор x1 L, або

x1 = Πx ,

(8.5)

де Π - оператор проектування на L, (ортогональний проектор).

Властивостi оператора проектування Π:

1) Π - лiнiйний оператор. Дiйсно, нехай

x = x1 + x2, y = y1 + y2, x1, y1 L, x2, y2, L .

Тодi

αx + βy = (αx1 + βy1) + (αx2 + βy2), αx1, βy1 L, αx2, βy2, L .

Як наслiдок

Π(αx + βy) = αx1 + βy1 = αΠx + βΠy .

(8.6)

2) Π - самоспряжений оператор, тобто для будь-яких x, y Rn

(Πx, y) = (x, Πy) .

(8.7)

Дiйсно

(Πx, y) = (x1, y) = (x1, y1) = (x, y1) = (x, Πy) .

3) Π2 = Π .

(8.8)

Дiйсно, для довiльного x Rn має мiсце

Визначимо вiдстань вiд вектора x до L

ρ(x, L) = inf {x − y , y L} .

(8.9)

8.1. Розподiл ортогональних проекцiй

77

простiр R1, що натягнутий на одиничний вектор e, тобто Π1ξ = (e, ξ)e. Якщо випадковий

задовольняє умовам теореми, то випадкова величина

вектор ξ

τn−1 =

(e, ξ)

(8.14)

" (I − Π1)ξ 2/(n − 1)#1/2

Нагадаємо, що розподiл Ст’юдента з k степенями свободи має випадкова величина τk =

η

, якщо η

2

2

2

) та τk =

η

.

N (0, 1), χk

χрозподiл, або якщо

η

N (0, σ

χk2 1/2

σ2χk2 1/2

k

2

2

k

Згiдно з теоремою (8.12) величина

(e, ξ) N (0, σ

) i не залежить вiд (I −Π1)ξ

. Одначасно

2

2

2

. .

1

n

(I − Π1)ξ

= σ

χn−1

Розглянемо окремий випадок, коли e =

√

i=1 ei. Тодi координати вектора Π1ξ дорiв-

n

нюють

Π1ξ

= "(e, ξ)e#j

n

1

=

i=1 ξi,

j = 1, . . . , n ,

j

n

тобто всi координати вектора Π1ξ однаковi. Далi, вектор

(I − Π1)ξ має координати

(I − Π1)ξ

= ξ − Π1ξ

n

1

= ξj −

i=1 ξi,

j = 1, . . . , n .

j

j

n

Тодi у цьому випадку величина (8.14) набуває вигляду

1

n

ξi

√

n

(e, ξ)

=1

τn−1=

=

i

.

(8.15)

" −

−

#

1/2

0n−1 j=1

ξj − n i=1 ξi

2

1

1/2

2

(I Π1)ξ

/(n 1)

1

1

У випадку, коли ξi, i = 1, . . . , n незалежнi у сукупностi i нормальнi N (µ, σ2), то у формулi

(8.15) замiсть ξ треба пiдставити вектор ξ −nm, де m = µ

i ei. Тодi випадкова величина

1

(ξi

−

µ)

−

m)

√

e, (ξ

n

=1

τn−1=

=

0n−1 j=1

i

(8.16)

−

#

1/2

ξj − n i=1 ξi

2

1/2

" −

1

2

(I Π1)ξ

/(n 1)

1

1

78

Роздiл 8. Математична статистика

вання

µ

– невiдомо. Нехай {

ξi

}

незалежнi у сукупностi. Послiдовнiсть ξ1, . . . , ξn називається

2

) об’ємом n.

випадковою виборкою iз нормального розподiлу N (µ, σ

Оскiльки випадкова величина 1

n

нормальна N (µ,

σ2

), то випадкова величина

ξi

n

=1

n

1

n

√

i

n

η = .

=1 (ξi − µ)/