Актуарная математика

Правила продажи облигации относительно рыночной нормы прибыли (средняя доходность альтернативных инвестиций в ценные бумаги того же класса):

-если рыночная норма прибыли превосходит фиксированную купонную ставку, облигация продается со скидкой (дисконтом), по цене ниже номинала;

-если рыночная норма прибыли меньше фиксированной купонной ставки, облигация продается с премией, т.е. по цене выше номинала (разница между рыночной ценой и номиналом носит название

«ажио»);

-если рыночная норма прибыли совпадает с фиксированной купонной ставкой, облигация продается по своей нарицательной стоимости;

-рыночная норма прибыли и текущая цена облигации с фиксированной купонной ставкой находятся в обратно пропорциональной зависимости — с ростом (убыванием) рыночной нормы прибыли текущая цена такой облигации убывает (возрастает).

Отзывная облигация отличается от безотзывной наличием двух дополнительных характеристик: выкупной цены и срока защиты от досрочного погашения. Оценка подобных облигаций осуществляется теми же формулами, в которых нарицательная стоимость М заменена

выкупной ценой Pc .

Определение курсовой цены (стоимости) государственных краткосрочных облигаций (ГКО). Это облигации с нулевым купоном, которые выпускаются на сроки 3, 6 и 12 месяцев. Для ГКО используют формулу математического дисконтирования по простой процентной ставке, записанную в виде

где М - номинал ГКО, r — доходность до погашения, t — количество дней от момента сделки до погашения ГКО.

Текущая внутренняя стоимость облигации определяется в ситуациях, когда необходимо принять решение о целесообразности приобретения облигаций. Другими важными критериями, применяемыми с той же целью, являются показатели доходности.

Два вида доходности — фактической и ожидаемой. Первая рассчитывается post factum и имеет значение для ретроспективного анализа. Ожидаемая доходность рассчитывается на основе прогнозных данных в рамках имитационного перспективного анализа и используется для принятия решения о целесообразности приобретения тех или иных финансовых активов. Если предположить, что рынок ценных

73

бумаг — эффективен и находится в состоянии равновесия, то в отношении конкретного финансового актива в любой момент времени известны его текущая цена и доходы, которые, как ожидается, этот актив будет генерировать в будущем. Зная эти оценки, можно разре-

значение которого и можно трактовать как общую доходность данного актива.

Приблизительная оценка показателя r называется общей доходностью данной облигации, которая является доходностью к погашению. Приблизительная оценка доходности купонной облигации без права досрочного погашения:

2

где А - купонный доход, k — число лет, оставшихся до погашения облигации.

Иногда для оценки эффективности инвестирования в облигации ориентируются на показатель текущей, или дивидендной, доходности (rd), под которым понимается отношение дохода, получаемого ежегодно по купонной ставке (g), к фактическим затратам на приобретение облигации:

d Pm

Однако показатель текущей доходности не может использоваться в качестве обобщенной характеристики и критерия при анализе целесообразности инвестирования в данные облигации. Он дает искаженную оценку реальной (т.е. общем) доходности облигации, поскольку в этом случае не учтен доход держателя, полученный от приобретения облигации с дисконтом. Поэтому более правильным является ориентация на показатель YTM.

При расчете цены облигаций мы исходили из предположения, что инвестированный в облигации капитал будет прирастать до срока погашения облигации с постоянным темпом, соответствующим текущей процентной ставке на момент оценки. Для этого необходимо, чтобы отсутствовала неопределенность в рыночных процентных ставках. Однако в действительности неопределенность процентных ставок имеет место и существует реинвестиционный риск, связанный с возможным повышением текущей процентной ставки в будущем, что приведет к снижению цены облигации. Очевидно, чем больше срок облигации, тем выше риск. Но непосредственное сравнение сро-

74

Из формулы расчета дюрации следует, что этот показатель учитывает особенности потока платежей – отдаленные платежи имеют меньший вес, чем более близкие к моменту оценки.

Модифицированный средний срок дисконтированных платежей. Дюрация используется как мера чувствительности цены облигации к незначительной динамике уровня процентной ставки на рынке. Однако для таких расчетов необходим переход от дюрации к пока-

зателю модифицированной дюрации:

где i - полная доходность облигации (YTM), p - количество выплат купонов в год.

Модифицированная дюрация представляет собой показатель эластичности цены облигации по рыночной процентной ставке.

MD 1 Pm , (7.17)

Pm im

где Pm - изменение в рыночной цене анализируемой облигации, im -

изменение в рыночной процентной ставке.

Для определения новой цены облигации с учетом изменений в рыночной процентной ставке используют формулу:

Pm MD Pm im . (7.18)

Общие выводы, которые из можно сделать на основе экономического смысла дюрации. Во-первых, поскольку дюрация — величина положительная, то рост текущей процентной ставки приводит к понижению текущей цены облигации, и, наоборот, если процентная ставка падает, то стоимость облигации возрастает. Во-вторых, чем больше дюрация, тем сильнее «чувствительность» цены облигации к изменению процентной ставки.

Последнее обстоятельство объясняет поведение инвесторов в ситуации, когда на рынке ожидается изменение процентной ставки. Если ожидается понижение процентной ставки, то наибольшее увеличение стоимости будет у облигаций с большой дюрацией, т. е. у долгосрочных. В этой ситуации инвесторы стараются их приобрести, чтобы «зафиксировать» высокое текущее значение процентной ставки. Наоборот, если ожидается повышение процентной ставки, то наименьшее снижение цены будет у краткосрочных облигаций; поэтому инвесторы стараются избавиться от долгосрочных облигаций и инвестируют средства на короткие сроки, ожидая максимального подъема процентной ставки, когда можно будет купить долгосрочные облигации по минимальной цене.

76

Взаимоотношение между доходностью долговых контрактов и сроком погашения находит свое количественное отражение в кривой доходности или временной структуры процентных ставок, по-

казывающей зависимость доходности погашения от срока погашения облигаций. Эта кривая строится по текущим рыночным ценам на государственные долговые обязательства (которые считаются безрисковыми) различных сроков погашения. Для стабильного финансового рынка характерна кривая доходности, соответствующая увеличению доходности по мере роста срока погашения, что часто связывают с соответствующим увеличением риска ликвидности. Если же кривая доходности имеет отрицательный наклон, т. е. доходность уменьшается по мере увеличения срока облигации, то это свидетельствует о нестабильности финансового рынка.

7.4 Решение типовых заданий

Задача 1.

Облигации с нулевым купоном нарицательной стоимостью 1000 руб. и сроком погашения через пять лет продаются за 560,353 руб. Проанализировать целесообразность приобретения этих облигаций, если имеется возможность альтернативного инвестирования с нормой прибыли 14%.

Решение.

Анализ можно выполнять несколькими способами. Во-первых, можно рассчитать теоретическую стоимость облигации и сравнить ее с текущей ценой. Из формулы

Расчет показывает, что приобретение облигаций является невыгодным вложением капитала, поскольку стоимость каждой облигации с позиции инвестора (519,4 руб.) меньше, чем цена, по которой продается облигация (560,35 руб.).

Во-вторых, можно найти доходность данной облигации в виде эффективной годовой процентной ставки.

Fn P(1 ref )n ref 5 560,351000 1 0,1228 12,28%

Приходим опять к выводу о нецелесообразности приобретения облигаций, так как доходность данной облигации (12,28%) меньше альтернативной (14%).

77

Задача 2.

Определить теоретическую стоимость бессрочной облигации, если выплачиваемый по ней годовой доход составляет 1 тыс. руб., а рыночная (приемлемая) норма прибыли — 16%.

Решение.

Таким образом, в условиях равновесного рынка в данный момент времени облигации такого типа будут продаваться по цене равной 6,25 тыс. руб. По мере изменения рыночной нормы прибыли цена облигации будет меняться.

Задача 3.

Номинал облигации, до погашения которой остается пять лет равен 1000 руб., купон 20% выплачивается один раз в год. Определить цену облигации, чтобы она обеспечила покупателю доходность до погашения в размере 25% годовых.

Решение.

Доходность до погашения (доходность к погашению) — эта доходность в расчете на год, которую обеспечит себе инвестор, если, купив облигацию, продержит ее до погашения. Так как в конце каждого года инвестор будет получать 200 руб. (1000*20%), то курсовая цена облигации составит

Полученный результат можно интерпретировать следующим образом: начисление сложных процентов по ставке 25% годовых, на цену облигации (865,56 руб.) полностью обеспечит выплаты купонного дохода (ежегодно по 200 руб.) и сумму (1000 руб.) для погашения облигации в конце срока.

Задача 4.

Рассчитать рыночную цену облигации нарицательной стоимостью 1000 руб., купонной ставкой 16% годовых и сроком погашения через шесть лет, если рыночная норма прибыли по финансовым инструментам такого класса равна 12%. Процент по облигации выплачивается дважды в год.

Решение.

В условиях равновесного рынка текущая рыночная цена облигации совпадаем с ее текущей теоретической стоимостью, т.е. Рт = Vt и может быть найдена по формуле (7.7). Денежный поток в данном случае можно представить следующим образом: имеется двенадцать пе-

78

риодов (рп = 2 • 6); в каждый из первых одиннадцати периодов де-

нежные поступления составляют 80 руб. ( Mg 1000 0,16 ); в последнем

p 2

периоде помимо 80 руб. инвестору причитается еще нарицательная стоимость облигации. Поскольку рыночная норма прибыли составляет 12%, ставка дисконтирования в расчете на полугодовой период составит 6%.

Именно по такой цене данные облигации стали бы продаваться на рынке ценных бумаг. Легко заметить, что текущая стоимость облигации в значительной степени зависит от рыночной нормы прибыли (т.е. средней доходности альтернативных инвестиций в ценные бумаги такого же класса). Так, если в нашем примере рыночная норма прибыли составляла бы 20%, то текущая рыночная цена облигации составила бы:

Задача 5.

Отзывная облигация номиналом 1000 долл., с купонной ставкой 12% и ежегодной выплатой процентов будет погашена через десять лет. На момент анализа облигация имеет защиту от досрочного погашения в течение пяти лет. В случае досрочного отзыва выкупная цена в первый год, когда отзыв становится возможным, будет равна номиналу плюс сумма процентов за год; в дальнейшем сумма премии уменьшается пропорционально числу истекших лет. Стоит ли приобрести эту облигацию, если ее текущая рыночная цена составляет 920 долл., а приемлема норма прибыли равна 14%?

Решение.

Решение зависит от позиции аналитика в отношении возможности досрочного погашения, поэтому рассмотрим две ситуации:

а) Оценка с позиции инвестора, который полагает, что вероятность досрочного погашения очень мала. В этом случае денежный поток можно представить следующим образом: ежегодно инвестор будет получать проценты в сумме 120 долл., а по истечении десяти лет он получит номинал облигации.

С позиции данного инвестора текущая цена облигации завышена, поэтому ее покупка нецелесообразна (Рт > Vt ).

79

б) Оценка с позиции инвестора, который полагает, что вероятность досрочного погашения достаточно велика. В этом случае инвестор должен использовать в расчетах цену отзыва (Рс = 1000 + 120 = 1120 долл.) и пятилетний горизонт прогноза будущих поступлений.

С позиции данного инвестора текущая цена облигации занижена, поэтому ее покупка целесообразна (Рт <Vt ). Заметим, что в случае

отзыва облигации и даже за два года до срока погашения, ее покупка с позиции инвестора все еще имеет смысл, так как

Задача 6.

Рассчитать доходность облигации нарицательной стоимостью 1000 руб., с годовой купонной ставкой 12%, имеющей текущую рыночную цену 860 руб.; облигация будет приниматься к погашению через шесть лет.

Решение.

Купив облигацию за 860 руб., в последующие шесть лет держатель облигации будет получать в конце очередного года купонный доход в сумме 120 руб., кроме того, при погашении облигации он получит 1000 руб. Поэтому для определения полной доходности облигации необходимо решить уравнение вида:

Таким образом, доходность данной облигации составляет приблизительно 15,41%.

Задача 7.

В условиях предыдущего примера найти текущую доходность облигации.

Решение.

Mg 1000 12%

rd 13,95% Pm 860

80

Задача 8.

В условиях задачи 6 определить средний арифметический срок, дюрацию и модифицированную дюрацию. Как изменится рыночная цена облигации, если рыночная доходность альтернативных инвестиций этого же класса: а) увеличится до 16%; б) уменьшится до 14%.

Решение.

Средний арифметический срок:

Для расчета значения дюрации воспользуемся таблицей, в качестве ставки дисконтирования используется полная доходность, которая была определена в задаче 6 (YTM 15,41% ).

Таблица 7.1 – Расчет дюрации

1 p

На основе модифицированной дюрации можно определить новую цену облигации.

а) Pm MD Pm im 3,899341 860 (0,16 0,1541) 19,78525 , следова-

тельно новая цена облигации составит Pm Pm 860 19,785 840,215 руб.

б) Pm MD Pm im 3,899341 860 (0,14 0,1541) 47,2834 , Pm Pm 860 47,283 907,283 руб.

81

7.5Задания для самостоятельного решения

1.Есть возможность приобрести одну из трех облигаций:

1)номинал 2000 рублей, купон 8%,срок погашения через четыре года, продается за 1500 рублей;

2)номинал 1000 рублей, купон 5%, выплата купонов каждые полгода, срок погашения через пять лет, продается за 800 рублей;

3)номинал 1500 рублей, купон 10%, срок погашения через семь лет, продается за 1200 рублей.

Определить наиболее привлекательную облигацию на основе показателя дюрации, если банковский процент равен 12% годовых.

2. Рассчитать внутреннюю текущую цену облигации нарицательной стоимостью 2500 руб., купонной ставкой 14% годовых и сроком погашения через восемь лет, если рыночная норма прибыли по альтернативным ценным бумагам такого класса равна: а) 12%; б) 14%; в) 15%. Процент по облигации выплачивается каждый месяц.

3. Рассчитать общую и текущую доходность облигации нарицательной стоимостью 1500 руб., с годовой купонной ставкой 11%, имеющей текущую рыночную цену а) 1290 руб.; б) 1620 руб. Облигация будет приниматься к погашению через три года.

4. Отзывная облигация номиналом 1200 рублей, с купонной ставкой 14% и ежеквартальной выплатой процентов будет погашена через шесть лет. На момент анализа облигация имеет защиту от досрочного погашения в течение двух лет. Стоит ли приобрести эту облигацию, если ее текущая рыночная цена составляет 1100 рублей, а приемлемая норма прибыли равна 16%?

5. Для облигации нарицательной стоимостью 1500 руб., с годовой купонной ставкой 11%, имеющей текущую рыночную цену 620 руб и сроком погашения через пять лет найти значение среднего арифметического срока и среднего срока дисконтированных платежей (дюрация). На базе модифицированной дюрации рассмотреть изменение в цене (или курсе) облигации, если рыночная процентная ставка а) повысится на 0,3%; б) понизится на 0,2%.

82