razdel2UMK

лены на расстояние, равное

C, где

c2 = a2 + b2 , тогда c2 = 64 +36 =100

c =10. Итак, F1(−15;1),

F2 (5;1).

Эксцентриситет ε = c a . Тогда ε = 5 4 .

виде: y − y0 = ± b (x − x0 ).

Следовательно,

6

a

y −1 = ±

(x +5) 4y −4 = ±3(x +5).

Уравнение

директрис

найдем по

формуле

8

x − x0 = ±a ε

при

a > b.

Следовательно,

x +5 = ±

8

x +5 = ±

32

. Отсюда x =

7

и x = −

57

.

5 4

5

5

5

ПРИМЕР 2.9. Дана парабола y = 4x2 −8x +7. Найти координаты ее вер-

шины A, фокуса F и величину параметра p .

Решение.

Дополняя

до

полного

квадрата,

получим

y = 4 (x2 −2x +1−1)+7 ,

y = 4(x −1)2 +3 y −3 = 4(x −1)2 .

Следова-

тельно, согласно формуле (2.20), ее вершина находится в т. A(1;3). Так как

2p = 4,

то параметр p = 2 . Фокус F параболы удален от ее вершины на рас-

стояние

p

=1.

Данная парабола симметрична относительно прямой,

парал-

2

лельной оси OY . Ее фокус расположен в т. F(1;4).

ПРИМЕР

2.10.

Определить,

какая

линия

дана

уравнением

3ρ(1−cos ϕ)

=1 в полярных координатах.

Решение. Так как ρ = x2 + y2 ,

cos ϕ =

x

, то данное уравнение

x2 + y2

записывается в виде 3

x2 + y2

x

x2 + y2

=1+3x

1−

2

=1 3

x

2

+ y

9(x

)= 9x

2

2

2

2

2

2

1

+ y

+6x

+1 9y

= 6x

+1 y

=

x +

.

Срав-

3

3

−

1

1

.

лой с осью симметрии OX , с вершиной в т.

3

;0 , параметр которой p =

3

XYZ и некоторая поверхность.

Уравнение F(x, y, z)= 0 называется уравнением поверхности в выбран-

ной системе координат, если этому уравнению удовлетворяют координаты

(x, y, z) любой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координа-

ты всех точек пространства, не лежащих на ней.

Уравнение F(x, y, z)= 0 называется алгебраическим,

если выражение

F(x, y, z)= 0 есть сумма конечного числа слагаемых вида

Axm yn zp , где

уравнение может быть задано системой уравнений

F1

(x; y; z)= 0,

F

(x; y;z)= 0.

(2.21)

2

x = x(t), y = y(t), z = z(t),

(2.22)

A(x − x0 )+ B(y − y0 )+C(z −z0 )= 0 .

(2.23)

2) Если известны три точки

M1

(x1; y1;z1 ), M2 (x2 ; y2 ;z2 ), M3 (x3; y3;z3 ) плоскости

α, не лежа-

N

N

=

A A

+ B B

+C C

.

(2.25)

cos ϕ = r 1

r2

1

2

1

2

1 2

N1

N2

A2

+ B2

+C2

A2

+ B2

+C2

1

1

1

2

2

2

Если α1

α2 , то

A1 =

B1

=

C1 .

(2.26)

A2

B2

C2

Если α1 α2 , то

A1A2 + B1B2 +C1C2 = 0.

(2.27)

5) Уравнение

x cos α + y cosβ+ z cos γ −p = 0,

(2.28)

d =

A x0

+ B y0 +C z0

+ D

.

(2.29)

A2

+ B2 +C2

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M0 (3;−2;−7) параллельно плоскости 5x −3y + 2z −3 = 0.

Решение. Уравнения всех плоскостей, проходящих через точку M0 , име-

ют

вид A(x −3)+ B(y + 2)+C(z +7)= 0

(см.

формулу 2.23).

Вектор

r

={5;−3;2}, ввиду параллельности плоскостей, является нормальным векто-

N

ром и для искомой плоскости. Тогда A = 5, B = −3, C = 2 (см. формулу 2.26).

Следовательно,

уравнение

плоскости

α

примет

вид

5

(x −3)−3 (y + 2)

+ 2 (z +7)= 0

5x −3y + 2z −7 = 0. Ответ: 5x −3y + 2z −7 = 0.

ПРИМЕР 2.12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M0 (3;4;−5) параллельно двум векторам a1 ={3;1;−1}, a2 ={1;−2;1}.

Решение. Так как точка M0 α, то уравнение плоскости α будем искать

в виде A(x −3)+ B(y −4)+C(z +5)= 0 (см. формулу 2.23). Так как вектора

a1, a2 параллельны плоскости α,

а вектор

={A;B;C} перпендикулярен α,

N

i

j

k

={−1;−4;−7}. Следовательно, A = −1,

то

= a1 ×a2 . Тогда

=

3

1

−1

N

N

1

−2

1

B = −4 ,

C = −7 .

Тогда

уравнение плоскости

запишется

в виде

−1 (x −3)

−4 (y −4)

−7 (z +5)= 0 x + 4y +7z +16 = 0.

ПРИМЕР 2.13. Вычислить расстояние d

от точки P(−1;1;−2)

до плос-

кости, проходящей через три точки M1(1;−1;1), M2 (−2;1;3), M3 (4;−5;−2).

Решение. Найдем, по формуле (2.24), уравнение плоскости α, проходя-

щей через данные три точки. Имеем

x −1

y +1

z −1

−3

2

2

= 0 2x −3y +6z −11 = 0.

3

−4

−3

Вычислим расстояние d , воспользовавшись формулой (2.29):

d = 2 (−1)−3 1+6 (−2)−11

=

28 = 4.

22 +32 +62

7

матрицу коэффициентов этих уравнений:

2

3

1

. Используем формулы,

2

−1

1

x =

b

c

t , y =

c

a

t , z =

a

b

t .

(2.30)

b

c

c

a

1

a

1

b

1

1

1

1

Получаем по формуле (2.30): A =

3

1

t = (3 −2) t = t ,

2

1

B =

1 2

t = (−1−2) t = −3t ,

D =

2

3

t = (4 +3) t = 7t .

1 −1

−1

2

Подставляя найденные значения A, B, D в уравнение Ax + By + D = 0,

получим tx −3ty +7t = 0. После сокращения на t

уравнение искомой плоско-

сти приобретает вид x −3y +7 = 0.

Z

1) Если r0 ={x0 ; y0 ;z0} есть радиус – век-

S

l

M0

тор фиксированной точки прямой l,

r ={x; y;z}

есть радиус – вектор произвольной точки пря-

M

r0

мой,

={m;n;p} - направляющий вектор пря-

S

r

мой (рис.2.13), то уравнение

O

Y

r = r0 + S t , где t R

(2.31)

X

Рис.2.13

является векторным уравнением прямой.

2) Уравнения

x − x0

=

y − y0

=

z −z0

,

(2.32)

m

n

p

где M0 (x0 ; y0 ;z0 ) фиксированная точка прямой

={m;n;p} -

направляю-

S

щий вектор прямой называются каноническими уравнениями прямой.

3) Совокупность уравнений

x = x0 + mt y = y0 + nt , z = z0 + pt ,

(2.33)

где t R - параметр, называется параметрическими уравнениями прямой l.

4) Если точки M1(x1; y1;z1 ) и M2 (x2 ; y2 ;z2 ) принадлежит прямой l, то

уравнение прямой записывается в виде

x − x1

= y − y1

= z −z1 .

(2.34)

x2 − x1

y2 − y1

z2 −z1

A x + B y +C z + D = 0,

.

(2.35)

1

1

1

1

A2x + B2 y +C2z + D2 = 0.

6) Если две прямые

l1 ,l2

даны своими каноническими уравнениями

(2.32), то угол ϕ между ними вычисляется по формуле

cos ϕ =

S1 S2 =

m2

m1m2 + n1n2 + p1p2

+ p2

.

(2.36)

S1 S2

+ n2

+ p2

m2

+ n

2

1

1

1

2

2

2

Если l1

l2 , то

m1

n1

=

=

p1

.

(2.37)

m2

n2

p2

Если l1 l2 , то

m1m2 + n1n2 + p1p2 = 0 .

(2.38)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.16.

Найтиуравнения

прямой,

проходящей

через точку

M0 (3;2;−1) перпендикулярно двум прямым:

y +5

z −9

l1 :

x −1

=

y −7

=

z + 4

и l2 :

x +3

=

=

.

2

−3

5

4

1

− 2

x −3

=

y −2

=

z +1

.

1

24

14

ПРИМЕР 2.17. Составить параметрические уравнения прямой, проходя-

щей через точку M1(1;−1;−3)

параллельно вектору a =

{2;−3;4}.

Решение. Уравнения всех прямых, проходящих через точку M1(1;−1;−3),

x =1+ mt,

+ nt, По условию

прямая l

параллельна вектору

имеют вид y = −1

+ pt.

z = −3

={m;n;p} - направляющий вектор

a ={2;−3;4}. Следовательно,

a , где

S

S

жим известной одну из координат, например,

z = 0 . Тогда,

для определения

оставшихся

координат,

получим

систему

x − 2y = 4,

x = 2,

M0 (2;−1;0) l.

= 4.

3x + 2y

y = −1.

2)

Для определения координат вектора

заметим (рис. 2.14), что

S

1 ,

2 , где

1 =

{1;−2;3},

2 ={3;2;−5}. Тогда

S

N

S

N

N

N

2 ={m;4;2}, M1 (− 2;0;1) l1 ,

M2 (3;1;7) l2 . Тогда

={5;1;6}. Век-

M1M2

S

торы компланарны, если

−3

2

4

(

2 )

= 0

m

4

2

= 0 22m −66 = 0 m = 3.

M1M2

S1 ×

S

5

1

6

2.7. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ R3

В

пространстве

R3

даны

своими

уравнениями

плоскость

Ax + By +Cz + D = 0 и прямая

x − x0

=

y − y0

=

z −z0

.

m

n

p

1) Для определения координат точки M1 пересечения прямой l и плос-

кости α (рис. 2.16) достаточно решить систему уравнений

Ax + By +Cz + D = 0,

N

x = x0 + mt, y = y0

+ nt, z = z0 + pt,

S

l

где уравнения прямой l записаны в парамет-

θ

рической форме (2.33).

Подставляя в первое уравнение выраже-

ϕ

ния для

x, y, z , найдем

значение параметра

M1

α

t = t1, определяющее координаты точки M1

пересечения прямой и плоскости.

Рис.2.16

2) Углы, под которыми прямая пересека-

ет плоскость, вычисляются по формулам

sin ϕ = ±

Am + Bn +Cp

.

(2.39)

A2 + B2 +C2

m2 + n2

+ p2

Если l α, то

A

= B =

C .

(2.40)

m

n

p

Если l

α, то

A m + B n +C p = 0.

(2.41)

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2.20.

Найти проекцию

точки

P(5;2;−1)на плоскость 2x − y +3z + 23 = 0.

S

P

N

Решение. Если точка M есть проекция точки

P(5;2;−1) на данную плоскость, то направляющий

вектор

прямой MP коллинеарен нормальному век-

M

S

α

тору

(рис. 2.17) плоскости α. Полагая

=

, по-

N

S

N

лучим

= {2;−1;3}.

Тогда прямая MP

задается

S

Рис. 2.17

уравнениями x = 5 + 2t , y = 2 − t , z = −1+3t . Под-

α, получим

2 (5 + 2t)−(2 − t)+3 (−1+3t)+ 23 = 0 14t + 28 = 0 t = −2.

Подставляя найденное значение параметраt в уравнения прямой, полу-

чим

z = −7 . Значит, точкаM(1;4;−7) есть проекция точки

x =1,

y = 4,

P(5;2;−1)на данную плоскость 2x − y +3z + 23 = 0.

ПРИМЕР 2.21. При каком значении n прямая

x +1

=

y −2

=

z +3

па-

n

раллельна плоскости x −3y +6z +7 = 0?

3

−2

Решение. По условию

={3;n;−2},

={1;−3;6}.

Прямая

l

α, если

S

N

= 0.

Тогда,

по формуле (2.41)

A m + B n +C p = 0,

получим

S

N

M (1;2;−3) параллельно прямым

x −1

=

y +1

=

z −7

,

x +5

=

y −2

=

z +3

.

3

−2

1

2

−3

3

−1

Решение. Точка M1 α α: A(x −1)+ B(y −2)+C(z +3)= 0 . Плос-

кость α

l1 ,

α

l2 . Следовательно,

2 . Тогда,

нормальным век-

N

S1,

N

S