Дипломная работа

3.Анализ нормальной формы.

3.1.Преобразование нормальной формы.

Для анализа получившейся нормальной формы (системы (2.10)) выполним несколько замен:

zj( ) = kWj( ); j = 1; 2; 3;

где r = ds ; k R+; т.е. k > 0; > 0:

Подставив данные равенства в систему (2.10), получим новую систему дифференциальных уравнений:

>

>

>

:

где

W 0 = dW d

После элементарных преобразований последняя система приобретёт следующий вид:

Для удобства положим:

d = 1;

12 aR2d = 1;

10

d = 1 ; R2 = ad2 ;

R2 = 2a ; d2 = :

Окончательно получаем систему дифференциальных уравнений:

Положим,

Wj = jei'j ; j = 1; 2; 3; j > 0; 'j(t) R;

т.е. запишем все искомые функции в тригонометрической форме. Выполним некоторые преобразования для системы (3.1):

:

После раздела действительной и мнимой частей в новых переменных система (3.1) запишется в следующем виде:

11

>

>

:

Положим,

'1 '2 = ; '3 '2 = :

С учётом этих обозначений систему (3.2) можно переписать как замкнутую систему для определения неизвестных функций 1; 2; 3; ; :

Далее будем рассматривать систему дифференциальных уравнений:

:

12

3.2.Однородное состояние равновесия.

Усистемы (3.3) существует однородное состояние равновесия S1, т.е. состояние равновесия, координаты которого определены равенствами:

1 = 2 = 3 = 1; = = 0:

Это состояние равновесия существует при всех значениях коэффициентов.

Исследуем это состояние равновесия на устойчивость. Для этого составим матрицу Якоби. В общем виде эта матрица будет выглядеть следующим образом:

Вычислим определитель матрицы Якоби, если выбрано однородное состояние равновесия S1, т.е. в данном определении следует положить:

13

1 = 2 = 0 = 1; = = 0:

В результате получаем следующий определитель:

Нас интересует равенство = 0. После вычислений характеристическое уравнение= 0 удалось записать в следующей форме:

(2 )3 2 6 2( 2 )2 + ( 2 )9 4 = 0:

В свою очередь, последнее уравнение можно переписать в ином виде:

( + 2)(( + 2)2 2 + 6 2 ( + 2) + 9 4) = 0:

Положим, y = ( + 2).

Врезультате получаем следующие равенства:

+ 2 = 0; 1 = 2;

y2 + 6 2y + 9 4 = 0; т.е. y1;2 = 3 2:

Наконец, получаем ещё одно уравнение для :

2 + 2 + 3 2 = 0;

p

2;3 = 1 1 3 2:

Поэтому Re 2;3 < 0.

Окончательно имеем, что Re j < 0; j = 1; 2; 3:

Уместно подчеркнуть, что корни 2; 3 имеют кратность, равную двум.

Итак, доказано утверждение:

14

Теорема 2.

Однородное состояние равновесия S1 существует всегда. Данное состояние равновесия S1 асимптотически устойчиво при любом выборе параметров задачи.

Теорема 3.

Существует такое "0 > 0, что при всех " (0; "0) состоянию равновесия S1 нормальной формы (3.3) соответствует устойчивый цикл C1 системы дифференциальных уравнений (2.1). При этом для соответствующих решений справедливы формулы:

j = 1; 2; 3:

Отметим, что наряду с данным решением существует семейство решений Uj(t; "): Последнюю асимптотическую формулу можно записать в виде:

1 1

U(t; ") = 2"2 cost + o("2 ):

15

3.3. Асимметричные циклы.

3.3.1. Первый случай.

Рассмотрим вопрос о существовании у нормальной формы (3.3) состояний равновесия, отличных от S1. Такие состояния равновесия порождают периодические решения, которые принято называть асимметричными.

Первое из наших состояний равновесия обозначим S2 :

S2 : 1 = 3 = 0; 2 6= 0; = :

Подставим координаты S2 в уравнение для их определения. В данном случае приходим к системе:

Положим, 2 = 0:

Тогда третье уравнение системы (3.5) приобретёт вид:

Преобразуем два первых уравнений системы (3.5). Считая, что 0 6= 0, имеем следующую систему уравнений:

Разделив второе уравнение системы (3.7) на первое, получим ещё одно равенство, которое связывает и :

16

Из основного тригонометрического тождества вытекает:

Последнее уравнение можно заменить на уравнение:

10( ) = 0;

где

10( ) = ( 2 2 4 + 6)( 2 2)2 + 2(2 + 4)2 2 2(2 + 4)(2 2)2:

Если теперь заменить 2 на ; получим уже уравнение пятой степени:

Нахождение корней в аналитическом виде довольно затруднительно. Используем численные методы для нахождения корней, что поможет найти координаты состояний равновесия. При этом корни уравнения (3.9) следует искать среди положительных чисел ( > 0).

Приведём алгоритм восстановления координат состояния равновесия S2. Данный вопрос был исследован с использованием написанной программы на языке C]:

Итак:

1)Задаётся параметр ;

2)Численно было решено уравнение (3.9), где были найдены корни данного уравнения j >

0;

p

3) Откуда j = j;

4)sinj = j j3 ;

(2 + j4

5)Если j j3 > 0; то j = arccos2 j j2 ; если j j3 < 0; то j = arccos2 j j2 ;

6) 20j = 1 + jsinj; 1 = 3 = 0; 2j = j 0j:

17

В результате численного анализа с применением компьютера оказалось, что 10( ) = 0 были выявлены случаи в зависимости от , когда есть одно, два или три состояния равновесия, отличных от S1.

Детализацию можно найти в Приложении 1. Там же можно найти ответы на вопрос об устойчивости состояния равновесия второго типа.

Предположим, что исследование устойчивости проводилось традиционным способом. Координаты состояний равновесия подставлялись в матрицу Якоби (3.4). Затем выписывался характеристический полином для полученной матрицы. Вопрос о расположении корней можно решать, как известно, на базе применения критерия Гурвица. Этот анализ был проведён также численно. Подробные результаты о существованиии и и устойчивости найденного состояния равновесия можно найти в Приложении 1.

3.3.2. Второй случай.

Следующее состояние равновесия мы обозначим S3 :

S3 : 1 = 3 = 0; 2 6= 0; + = :

Подставим координаты S3 в правые части уравнения (3.3) в систему для их определения:

Положим, 2 = 0 ;

Тогда второе уравнение системы (3.10) приобретёт вид:

18

В результате преобразований имеем следующую систему уравнений:

Разделим второе уравнение системы (3.12) на первое и получим ещё одно равенство, которое связывает и :

Из основного тригонометрического тождества вытекает:

1( 3)2

2 + (2 + 4)2 2 = 1:

Последнее уравнение можно заменить на уравнение следующего вида:

10( ) = 0;

где

10( ) = 4(1 2)2 + 2(2 + 4)2 = 2 2(2 + 4)2:

Теперь заменим 2 на ; получим уравнение:

По аналогии с предыдущим случаем приведём алгоритм восстановления координат состояния равновесия S3.

Итак:

1)Задаётся параметр ;

2)Численно было решено уравнение (3.14), где были найдены корни данного уравнения j >

0;

3)Откуда j = p j;

19