ПК ЛАБА 5

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего образования

“Московский технический университет связи и информатики”

(МТУСИ)

Кафедра РТС

Лабораторная работа №3

По дисциплине

Помехоустойчивое кодирование

“Исследование процессов кодирования и декодирования Кодов

Рида-Соломона”

Выполнил:

Епифанов Г. Ю

Проверила:

Минаева О.Н.

Цель работы:

1. Получение практических навыков по формированию поля Галуа для построения кодов Рида-Соломона, изучение алгоритмов формирования кодовых слов.

2. Изучение процессов декодирования кодов Рида-Соломона, алгоритма обнаружения и исправления ошибок в кодовых словах.

Исходные данные:

Исправляемых ошибок в блоке t=2

Степень образующего полинома поля m=3

Полином поля: x³+x+1

Полином кода: g(x)=(x-a₁) (x-a₂) (x-a₃) (x-a₄)

Код (7,3)

a⁰  a⁰= (1,0,0) =1

a¹  a¹= (0,1,0)

переход

а²  a­­­­­­²= (0,0,1)

a³ 1+a= (1,0,0) +(0,1,0) = (1,1,0)

a⁴ a+a²= (0,1,1)

a⁵ a²+a+1= (0,0,1) +(0,1,0) +(1,0,0) = (1,1,1)

a⁶ a⁵+aa²+a+1+aa²+1= (1,0,1)

a⁷ a⁰= (1,0,0)

Таблица сложения Таблица перемножения

a³ =a+1

-a^x=a^x

(a^-x)^-1=a^-x+7

+	1	a	a2	a3	a4	a5	a6
1	0	a3	a6	a	a5	a4	a2
a	a3	0	a4	1	a2	a6	a5
a2	a6	a4	0	a5	a	a3	1
a3	a	1	a5	0	a6	a2	a4
a4	a5	a2	a	a6	0	1	a3
a5	a4	a6	a3	a2	1	0	a
a6	a2	a5	1	a4	a3	a	0

*	1	a	a2	a3	a4	a5	a6
1	1	a	a2	a3	a4	a5	a6
a	a	a2	a3	a4	a5	a6	1
a2	a2	a3	a4	a5	a6	1	a
a3	a3	a4	a5	a6	1	a	a2
a4	a4	a5	a6	1	a	a2	a3
a5	a5	a6	1	a	a2	a3	a4
a6	a6	1	a	a2	a3	a4	a5

Порождающий полином кода PC

если r = 4 => deg [g(x)] = r = 4

xⁿ-1=(x-1) (x-a) (x-a²) …(x-a^n-1)

n=p^q-1

g(x)=(x-a) (x-a²) (x-a³) (x-a⁴)

Степени a растут на 1 =>

Требование кода Рида-Соломона

Раскроем множитель, воспользовались таблицами сложения и умножения получим:

g (x)= a³+ax+x²+a³x³+x⁴

g (x)=> g= (a³, a,1, a³,1,0,0)

3x3 7x3

(…) (…) (…). (…) (…) (…) (…) (…) (…) (…)

кодер

h (x)= = =(x-1) (x-a⁵) (x-a⁶) = a⁴+a²x+a³x²+x³

h = (a⁴, a², a³, 1, 0,0,0) h(x) q (x)0

h_reverse= (0, 0, 0, 1, a³, a², a⁴)

g h_reverse=1a³+a⁷1=0

Кодирование

s= (A(1), A(a), A(a²), A(a³), A(a⁴), A(a⁵), A(a⁶)) - разрешенное кодовое слово

Фактически, g(x) не требуется, если для s поставить в соответствия

s(x), то s(x)/g(x) без остатка

b­₀ A₁ A₂

A=(1, 1, 1)- информационный вектор

• xⁱ = 1+x+x²

A(1) = 1+1+1=1

A(1) = 1+a+ a² = a⁵

A(a²) = 1+ a² + a⁴ = a³

A(a³) = 1+ a³ + a⁶ = a⁵

A(a⁴) = 1+ a⁴ + a = a⁶

A(a⁵) = a⁶

A(a⁶) = a³

S = (1, a⁵, a³, a⁵, a⁶, a⁶, a³)

Проверим:

s (x) h (x) = 0

s­­₀ s₁ s₂ s₄ s₅ s₆

s= ( 1, a⁵, a³, a⁵, a⁶, a³)

s (x)  h₀: a⁴ a^9-7 a^7-2 a^9-7 a^10-7 a^10-7 a^7-7 = a⁴ a² 1 a² a³ a³ 1

s (x)  h₁x¹ : a⁵ a² 1 a⁵ 1 a a

s (x)  h₂x² : a² a⁶ a³ a a⁶ a a²

s (x)  h₃x³ : a⁶ a⁶ a³ 1 a⁵ a³ a⁵

II II II II II II II

s (x)  h(x) : 0 0 0 0 0 0 0 --> соответствует РС коду

Если s(x) делится на g(x) без остатка, то s(x)-разрешенное кодовое слово

a³ a⁶ a⁶ a⁵ a³ a⁵ 1 1 a³ 1 a a³ a⁶ a⁶ a³ a⁴ a⁶ a³ 0 a⁴

a⁴ 1 a⁴ a⁵ 1

a⁴ a⁷=1a⁴ a⁵ a⁷=1

0=> разрешающий полином

1 0 0 a³ a 1 a³

0 1 0 a⁶ a⁶ 1 a²

0 0 1 a⁵ a⁴ 1 a⁴

g(x)

xg(x)

x²g(x)

G_цикл =  G_сист=

1 1 1 1 1 1 1

1 a a² a³ a⁴ a⁵ a⁶

1 a² (a³)² (a³)³ (a³)⁴ (a³)⁵ (a³)⁶

1 a³ (a³)² (a³)³ (a³)⁴ (a³)⁵ (a³)⁶

H= =

001 001 001 001 001 001 001

001 010 100 011 110 111 101

001 100 110 101 010 011 111

001 011 101 100 111 010 110

H=

Сопровождающие матрицы для g(x)= x⁴+x³a²+x²a⁵+xa⁵+a⁶

1 0 0

0 1 1

1 1 0

1 1 1

1 0 1

0 0 1

1 0 1

0 0 1

0 1 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

E= F⁰= F² = F⁵= F⁶ =

SE = [a₀, a₁, a₂]; SF² = [(a₀+ a₂), (a₁+ a₂), a₁]

SF⁵ = [(a₀+ a₁), a₀, (a₀+ a₁+a₂)]; SF⁶ = [a₀, a₂, (a₀+ a₁)]

Вычисление синдромов

S_i = r(^I), где i = b… b+2+-1, b=0 или b=1

^I – корни порождающего полинома g(x)

r(x) = r(x)+ (x) = x² + ⁵x⁴

S(0) = r(1) = (1)² + ⁵(1)⁴ = ⁶

S(1) = r() = ()² + ⁵()⁴ = ⁵

S(2) = r(²) = (²)² + ⁵(²)⁴ = 

S(3) = r(³) = (³)² + ⁵(³)⁴ = 

Схема

Результаты работы схемы

Текст на вх код. уст-ва: Текст на вых код. уст-ва:

Текст на выходе декодера:

Зависимости вероятности ошибки с исправлением и без исправления ошибок, от отношения сигнал/шум

Москва 2024