Добавил:

AD Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Тверской Государственный Университет

Предмет:

Теоретическая механика

Файл:

Пособие по решению задач (1)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.03.2024

Размер:

2.26 Mб

Скачать

☆

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Тверской государственный университет» (ТвГУ)

Д.А. МАЙФАТ, П. В. КОМАРОВ

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Кинематика и динамика материальной точки

Учебное пособие

ТВЕРЬ 2023

УДК 531/534

ББК B21 M 14

Рецензенты:

К.М. Зингерман, д.ф.-м.н., профессор, зав. кафедрой математического моделирования и вычислительной математики ТвГУ

Н.Ю. Сдобняков к.ф.-м.н., доцент каф. общей физики ТвГУ

Майфат Д.А., Комаров П.В.

M 14 Примеры решения задач по теоретической механике: Кинематика и динамика материальной точки: учебное пособие. Тверь: Тверской государственный университет, 2023. 82 с.

ISBN 978-5-7609-1819-2

Учебное пособие содержит подробное изложение решений задач на темы кинематика и динамика курса теоретической механики. С помощью разобранных примеров читатель может проследить весь ход рассуждений от формулировки условия задачи до получения ответа.

Предназначено для самостоятельной работы студентов ТвГУ направлений подготовки 03.03.02 Физика (профиль Физика конденсированного состояния вещества) и 03.03.03 Радиофизика (профиль Физика и технология материалов и устройств радиоэлектроники). Пособие также может быть полезно для студентов и преподавателей физических и физико-технологических факультетов вузов, а также для всех желающих познакомится с методами решений задач теоретической механики.

УДК 531/534

ББК B21

ISBN 978-5-7609-1819-2

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.	ПРЕДИСЛОВИЕ	4
2.	КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ	6
3.	СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ	28
4.	ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ	38
5.	СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ	70
6.	ДИНАМИКА СИСТЕМ ПЕРЕМЕННОГО СОСТАВА	74
7.	ПОСЛЕСЛОВИЕ	79
8.	СПИСОК РЕКОМЕНДОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ	80

ПРЕДИСЛОВИЕ

Основная идея данного пособия – научить студентов физико-

математических факультетов самостоятельно решать основные типы задач курса «Теоретическая механика» по теме кинематика и динамика материальной точки.

Пособие включает разбор решения 42 задач из некоторых разделов

“Сборника задач по аналитической механике” разработанного коллективом авторов Е.С. Пятницким, Н.М. Труханом, Ю.И.

Ханукаевым и Г.Н. Яковенко [1]. Выбранные примеры представляют собой часть материала, наработанного в ходе ведения семинаров по курсу, теоретическая механика на физико-техническом факультете Тверского госуниверситета.

Для усвоения и полного понимания материала пособия читателям необходимо владеть методами математического анализа, аналитической геометрии и обыкновенных дифференциальных уравнений в объеме университетского курса физических специальностей. При этом изложение решения каждой из задач сопровождаются подробным пошаговым разъяснением так, чтобы можно было его изучить, не используя дополнительных материалов. Такой характер изложения позоляет понять методику проведения аналитических выкладок,

использующихся в теоретической физике. Кроме это делает пособие учебным материалом промежуточного характера между учебником,

излагающим теорию и задачником. Самостоятельная проработка материала пособия полезна для развития у обучающихся следующих компетенций: анализ задачи; выдение ее базовых составляющих;

определение информации, требуемой для решения поставленной задачи;

рассматрение возможных вариантов решения.

Авторы выражают благодарность студентам физико-технического факультета ТвГУ Митиневу Е.С. и Галузину И.Р., принимавших участие в работе над некоторыми примерами, вошедшими в данное пособие.

КИНЕМАТИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

№ 1. Электрон в постоянном магнитном поле движется по винтовой линии в соответствии с уравнениями

x a cos t ,

y asin t ,

Найти тангенциальное и нормальное ускорения электрона и радиус кривизны его траектории.

Решение:

Найдем вектор скорости движущегося электрона которого равен

v t

радиус – вектор

r t a cos t e	x	a sin t e	y	bte	,
	x		y	z

следовательно, вектор скрости:

v t r t a sin t e		a cos t e		be		v v	a		b	.
							2	2	2
	x		y		z

Найдем тангенциальную и нормальную компоненты ускорения w электрона.

Т.к. модуль скорости величина постоянная, то

0 .

Тогда ускорение имеет вид

w v wn

n , следовательно

кр

w t v t a

cos t e

sin t e

w w

a2 2 b2

a2 2

a 2

кр

Ответ: w 0, wn	2	,
	a

№ 2 Колечко движется Найти ускорение колечка

		b	2
R	a	b			.
R	a			2	.
кр		a		2
		a

по параболе	y ax	2	с постоянной скоростью
		2

в зависимости от его положения.

Решение:

Скорость в декартово прямоугольной системе координат имеет вид:

v xe	x	ye	y	,
	x		y

тогда, модуль скорости равен соотвественно

v v	x	2	y	2	.
		2		2

Ускорение колечка имеет вид

w w e	x	w e	y	xe	x	ye	,
x	x	y	y		x	y

Модуль ускорения

w w	x		y	.
		2	2

dv2

Найдем производную

x2 y2

0 2xx

xx yy 0.

Исходя из условия задачи найдем

2axx

v2 x2 y2 x2 4a2 x2 x2 x2

4a2 x2

2yy

y	4a		x	x
2		2	2	2
x2			v2				,
x2				2	x	2	,
	1	4a			x

Найдем производную

y 2ax

1 4a

2axx y 2a x

xx 2a

xx .

1 4a

Перепишем равенство, полученное ранее – xx yy 0

в другом виде:

					v	2											v		2								v		2
						2													2										2
		1			4a		2	x	2	x 2ax					1 4a						2		x	2	2a	1 4a					2	x		2	xx					0,
							2		2												2			2							2			2

	x 4a2 x										v2				4a2 x2 x 0 x																			4a2 v2 x								,
	x 4a2 x							1 4a				2	x	2	4a2 x2 x 0 x																						2		2		2	,

																																1				4a		x



теперь подставим x						в выражение
	v	2														v	2									2	2	x		2												v	2
y 2a	v					xx					2a					v									4a		v	x								2a						v			.
y 2a			2		2	xx					2a							2				2											2			2a								2	.
	1 4a			x											1	4a				x
																									1 4a2 x2																1 4a2 x2
																									1 4a2 x2																1 4a2 x2

Осталось подставить найденные вторые производные по времени от

координат в выражение для

w x

2av

16a

x2 y2

1 4a2 x2 2

1 4a2 x2

4a2 v4 4a2 x2 1

16a4 v4 x2 4a2v4

2av2

4a2 x2

1 4a2 x2

Ответ: w x	2av2			.

	1	4a2 x2	3
			3

№ 3 При движении точки её скорость

и ускорение

связаны

соотношением	w a
точки.

Пусть a aez

. Найдем

v ,

где

v :

– постоянный вектор. Найти траекторию

Решение:

	e	x	e	y	e	z

w	0		0		a
	x		y		z

aye	x	axe	y
	x		y

x ay, y ax, z 0.

Решение третьего уравнения в системе тривиальное

z 0 z z	z z	t z	.
0	0	0

Первое и второе уравнения замкнуты, тогда

x ay

y ax

x x
	0

a y y ax

y	0
	0

x ay ay x			x ay ay x
	0	0		y a		0	0
	y ax			y a	2	y C
					2

a ay	x	.
0	0

Найдем решение уравнения

2	y C,
y a

cos at

sin at y0

cos at

sin at ,

поиск x тривиальный:

x ay ay

x cos at y sin at ,

0
x x		cos		at

Задача решена.

	Ответ: x x0		y
	Ответ: x x0		0
			0
			a

dt y

sin

dt x

sin at

cos

at .

x	sin at	y	cos at ,
0		0
a		a
a		a

	x	x	cos at	y	sin at ,
y y	0	0	cos at	0	sin at ,
0	a	a		a
	a	a		a

z z	t z	.
0	0

№ 4. Сохраняя условия предыдущей задачи, показать, что при таком

движении

Так как,

и w

ay, y

остаются неизменными.

Решение:

ax, z 0,

то

w	ay	2		ax	2	.

Допустим, что

w const

a2 y2 a2 x2 const y2 x2 const,

дифференцируем по времени данное соотношение 2yy 2xx 0 yy xx 0 y ax x ay 0, 0 0, cледовательно w const. Так как w a v , где a – постоянный вектор, то

1 / 91 2 3 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретическая механика

#
26.01.2024367.54 Кб1TM_Lectures_part_I_17.pdf
#
26.01.2024832.66 Кб1TM_Lectures_part_I_18.pdf
#
26.01.2024867.63 Кб1TM_Lectures_part_I_19.pdf
#
26.01.2024541.6 Кб1TM_Lectures_part_I_20.pdf
#
26.01.2024433.56 Кб2TM_Lectures_part_I_21.pdf
#
23.03.20242.26 Mб2Пособие по решению задач (1).pdf