МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯИНАУКИРОССИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ
Федеральноегосударственноеавтономноеобразовательноеучреждениевысшегообразования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙУНИВЕРСИТЕТ»
Центр цифровыхобразовательныхтехнологий
13.03.02“Электроэнергетикаиэлектротехника”
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №3ИНДИВИДУАЛЬНОЕДОМАШНЕЕЗАДАНИЕ
Шифр–42210
подисциплине:Механика1.3
Исполнитель:студент |
5А21 |
МассёровД. |
22.11.2023 |
Руководитель:преподаватель |
|
ГорбенкоМ.В. |
|
Томск–2023
Растяжение-сжатие
Металлический ступенчатый стержень находится под действием сосредоточенныхсил. Величины нагрузок, продольные и поперечные размеры стержня приведены втабл. 3.1. Физико-механические характеристики материала стержня: Е=2·10^5 МПа;[Δl]=3·10-4 мм; [σ]=160 МПа.Длину а,вовсех вариантахпринятьравной2м
Исходные данные: схема стержня представлена на рисункеСосредоточеннаясила Р1=13 кН;
Сосредоточенная сила Р2=30 кН;СосредоточеннаясилаР3=27кН;
Площадь поперечного сечения стержня А =150 мм2 ;a= 2 м.
Изобразимрасчетнуюсхемустержнясохраняяпропорции.
НаходимреактивнуюсилуRизуравненияравновесия
∑𝐹𝑧= 0;
−𝑅+𝑃3−𝑃1+𝑃2= 0;
𝑅= −𝑃1 +𝑃2 +𝑃3 = −13 + 20 + 27 = 34(кН); Знак «+» означает, что произвольноенаправлениеRвыбрановерно.
Составитьаналитическиевыраженияипостроитьэпюрыпродольныхсил,нормальныхнапряжений,измененияабсолютнойдлины.
Применяемметодсечений,оставляялевуюиотбрасываяправуючастьбруса.Дляопределенияпродольныхсилразделимстержень натриучастка
1-йучасток:
∑𝐹𝑧= 0;
𝑁1−𝑅= 0;
𝑁1=𝑅=34 (кН)
2Йучасток:
∑𝐹𝑧= 0;
𝑁2+𝑃3−𝑅= 0;
𝑁2=𝑅−𝑃3=34 −27=7 (кН)
3Йучасток:
∑𝐹𝑧= 0;
𝑁3−𝑃1−𝑅+𝑃3=0;
𝑁3 =𝑅+𝑃1−𝑃3=34 +13 -27 = 20(кН);
Определение нормальных напряжений Нормальные напряжения, действующие всечениях каждогоучастка,определимизусловия прочности:
𝜎=𝑁1=
1 2𝐴
𝑁2
34∗103
2∗150=113МПа
7∗103
𝜎2=3𝐴=3∗
150=15
МПа
𝜎3=
𝑁3=
𝐴
20∗103
=133МПа
150
По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений. Определениедеформации стержня При растяжении (сжатии) бруса его поперечные сеченияперемещаются в направлении сил. Перемещения являются следствием деформаций.Перемещение произвольного сечения бруса равно изменению длины участка,заключенного междуэтими сечениямиизаделкой.
𝑓∗𝑧
𝜆=∆𝑙=𝐸∗
𝐴=
𝜎∗ 𝑧
𝐸
гдеЕ –модульпродольнойупругостиилимодульупругостиI-города.
Для стали Е = (1,9…2,15)·105МПа.ПримемЕ=2·10^5Мпа 𝜆=∑𝛥𝑙𝑖
Перемещениеравноалгебраическойсуммеперемещенийвсехучастковстержня
𝜆𝐴=0;
113∗4∗103
𝜆𝐵=𝜆𝐴+𝛥𝑙1=0+
𝜆С=𝜆𝐵+𝛥𝑙2=2,3+
2∗ 105 =2.3 мм
15∗8∗103
2∗105 =2.9мм
𝜆𝐷=𝜆𝐶+ 𝛥𝑙3=2.9 +
Проверка условия λ :𝑚𝑎𝑥≤ [∆𝑙][∆𝑙] =3 *10^-4 м=0.3 мм
𝜆𝑚𝑎𝑥=𝜆𝐷=6.9мм
Условие жесткости не выполняется.Производимперерасчетсечения:
133∗6∗103
2∗ 105 =6.9мм
X=0,025м;
∆𝑙1∗𝑥+∆𝑙2∗𝑥+∆𝑙3∗𝑥≤3∗10−4;
[𝛥𝑙1]= ∆𝑙1∗ 𝑋 = 5,75 ∗ 10−5м;[𝛥𝑙2]= ∆𝑙2∗ 𝑋 = 7.25 ∗ 10−5м;[𝛥𝑙3]=∆𝑙3∗𝑋=1.73∗10−4м;
Изформулы:𝑁∗𝑧=[𝛥𝑙]-Найдемоптимальноесечениестержня
𝐴∗𝐸
𝐴1=
𝑖
𝑁1∗ 𝑧
=
34∗103∗ 4
=10000мм2;
𝐴2=
𝐴3=
[𝛥𝑙1]∗𝐸
𝑁2∗𝑧[𝛥𝑙2]∗𝐸
𝑁3∗ 𝑧
[𝛥𝑙3]∗𝐸
5,75∗ 10−5∗2∗1011
7∗103∗8
=7.25∗10−5∗2 ∗1011
20∗103∗6
=1.73∗10−4∗2 ∗1011
=4000мм2;
=3000мм2;
Рекомендуетсяувеличитьсечениястрежня
Задача3.2.Кручение
Металлический ступенчатый вал находится под действием сосредоточенныхскручивающих моментов.
Длязаданнойсхемывала,требуется:
Составитьаналитическиевыраженияипостроитьэпюрукрутящегомомента.
В масштабе изобразить длины вала на каждом силовом участке и построить эпюрыраспределениямаксимальныхкасательныхнапряжений по длине.
Построитьэпюруабсолютныхугловзакручиванияподлиневала.
Обязательно требуется соблюдать пропорции продольных размеров вала, размеровсечений при построении эпюр напряжений, а также, величин на эпюрах. Для сталипринятьвовсех вариантахG=8·104МПа.Длину а,во всех вариантах принятьравной2м.
Исходныеданные:схемастержняпредставленанарисункеРасстояниеа=2м;
Внешний сосредоточенный момент М1 =400 Нм;Внешний сосредоточенный моментов М2 =260 Нм;Внешний сосредоточенный моментов М3 = 130 Нм;Внешний сосредоточенный моментов М4 = 330 Нм;Параметры поперечного сечения d=h=48 мм;Соотношениепараметроввалаd/D=0,5;h/b=1,4;
Изобразимрасчетнуюсхемустержнясохраняяпропорции.
Изуравненияравновесия,находимвеличинуинаправлениереактивногомоментавопореMк.
∑𝑀𝑖=0
𝑖
𝑀𝑘−𝑀2+𝑀4+𝑀3−𝑀1=0
−𝑀2+𝑀4+𝑀3−𝑀1=−𝑀𝑘
𝑀𝑘=200Н∗м
Определимгеометрическиеразмерысечениявала
𝐷=𝑑0,5
𝑏=ℎ1,4
=48=96мм
0,5
=48=34мм
1,4
Построим эпюру внутренних крутящих моментов, для этого разобьем вал на силовыеучастки, где момент в стороне сечений стремящийся повернуть против часовой беремсо знаком “+”
𝑇𝑍1=−𝑀𝐾=−200Н∗м
𝑇𝑍2−1=−𝑀𝐾+𝑀2=60Н∗м
𝑇𝑍2−2=−𝑀𝐾+𝑀2−𝑀4=−270Н∗м
𝑇3=−𝑀1=−400Н∗м
Напряжениякручениянаходятсяпоформуле:
𝑡𝑍
=𝑇𝑍
𝑊ρ
где Wρ – полярный момент сопротивления или момент сопротивления сечениякручению.
Полярныймоментсопротивлениядляпрямоугольногосечения:
𝑊𝜌∎=(𝛽∗𝑏3)
Где𝛽:
𝑦+−𝑦−
𝑦=𝑦+ ∗(𝑥−𝑥)
− 𝑥+−𝑥− −
Такимобразом
𝛽=0.208+
0.346−0.208
1.5−1
∗(1.4− 1)=0.323
𝑊𝜌∎=(𝛽∗𝑏3)=0,0343∗0,323=12,7∗10−6м2;
Полярныймоментсопротивлениядлясплошногокруга:
𝑊𝜌𝐺
π∗𝑑3
= 16
Полярныймоментсопротивлениядлякольцевогосечения:
𝑊𝜌⊚=
𝜋∗𝐷316
𝑑4
∗[1
−(𝐷)];
𝑡1
=𝑇𝑍1
𝑊𝜌∎
200
=−12,7
=−15,7МПа
𝑡2−1=
𝑇𝑍2−1=
𝑊𝜌𝐺
(60 ∗16∗ 1000)
3.14∗
483 =2,8Мпа
𝑡 =𝑇𝑍2−2=−270∗16∗1000=−12,4Мпа
2−2
𝑊𝜌𝐺
3.14∗483
𝑡3
=𝑇𝑍3
𝑊⊚
16
=−400∗
484
=−2,5Мпа
𝜌 3,14∗(96∗10−3)3∗[1−(96)]
Определим повороты сечения для каждой части стержня, где крутящие моменты ижесткостипостоянны подлине:
𝑇𝑍∗𝑙
𝜌
𝜑𝑙=𝐺∗ 𝐽;эта формула действительна только для части стержня постоянного сечения по длине.ГдеG=8·104МПа– модули упругости II–рода;
𝐽𝜌-полярныймоментинерциипоперечногосечениястержня;
Полярныймоментинерциидляпрямоугольногосечения:
𝐽𝜌∎=𝛼∗𝑏4=351456∗10−12(м4);
Где𝛼:
𝑦+−𝑦−
𝑦=𝑦+ ∗(𝑥−𝑥)
− 𝑥+−𝑥− −
𝛼=0.14+
0.294−0.14
1.5−1
∗(1.4− 1)=0.263
Полярныймоментсопротивлениядлясплошногокруга:
𝐽𝜌𝐺
𝜋∗𝐷4
= 32
3.14∗(96∗10−3)4
= 32
=8334213∗10−12(м4);
Полярныймоментсопротивлениядлякольцевогосечения:
𝐽𝜌⊚
𝜋 ∗𝐷4
= 32 −
𝜋∗𝑑4
32 =
3.14∗964∗10−12
32 −
3.14∗484∗10−12
32
=7813320∗10−12(м4);
ПоворотсеченияCотносительноK:
𝜑𝐶/𝐾
=𝑇𝑍1∗4
𝐺∗
𝐽𝜌∎
−200∗4
=8∗
1010∗351456∗10−12
=−0.02;
ПоворотсеченияBотносительноC:
𝜑 =𝑇𝑍2−1∗2= 60∗2
=0.0002;
𝐵/𝐶
𝐺∗𝐽𝜌𝐺
8∗1010∗8334213∗ 10−12
ПоворотсеченияQотносительноB:
𝜑 =𝑇𝑍2−2∗2= −270∗2
=−0,0008;
𝑄/𝐵
𝐺∗𝐽𝜌𝐺
8∗1010∗8334213∗10−12
ПоворотсеченияLотносительноQ:
𝜑 =𝑇𝑍3∗2
−400∗6
=
=−0.004;
𝐿/𝑄
𝐺∗𝐽𝜌⊚
8∗ 1010∗7813320 ∗ 10−12
Повычисленнымзначениямугловопределяютсяповоротывсехсеченийотносительнонеподвижного сеченияK.
𝜑𝐿/𝐾=𝜑𝐶/𝐾+𝜑𝐵/𝐶+𝜑𝑄/𝐵+𝜑𝐿/𝑄=−0.02+0.0002−0,0008−0.004=−0.0246;