Контрольные / Пулькин КР / Cp_15__kopia
.pdfВариант 1
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
01
|
@ |
1 |
2 |
2 |
A |
|
AE = |
2 |
3 |
2 |
: |
||
|
2 |
2 |
1 |
|
а) Найти собственные числа и собственные векторы оператора A.
б) Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå
f1 = e1 + e2 + e3; f2 = e1 + e2; f3 = e1 e3:
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = x1x2 + x1x3 + 4x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = x21 + x22 + x23 2x1x2 2x1x3 2x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = 2x21 + 2x22 + 3x23 + 2x1x2 + 4x1x3;
g(x) = 4x21 + x22 + 3x23 + 4x1x2 + 8x1x3 + 6x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x). ЛА СР 15 2013
Вариант 2
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
AE = |
0 7 |
5 |
1 1: |
||
|
@ |
9 |
7 |
1 |
A |
|
7 |
7 |
1 |
||
а) Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. б) Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå
f1 = e1 + e2 + e3; f2 = e1 + e2; f3 = e1 + 7e3:
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = x21 + x22 + x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 3x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 2x21 + 2x22 x23 4x1x2 2x1x3 2x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = 2x21 2x22 + 3x23 6x1x3 + 2x2x3;
g(x) = 3x21 + 2x22 + 2x23 4x1x3 2x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x). ЛА СР 15 2013
Вариант 3
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
AE = |
0 4 |
9 |
1 1: |
||
|
@ |
3 |
2 |
1 |
A |
|
4 |
2 |
8 |
||
а) Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. б) Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå
f1 = e1 + e2 e3; f2 = e1 + 3e2 + 2e3; f3 = e1 + 4e2 + 4e3:
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма f(x) = x1x2 4x1x3 x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 5x21 + 5x22 + 5x23 + 4x1x2 4x1x3 + 4x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = x21 + x22 2x23 8x1x2 + 2x1x3 2x2x3;
g(x) = 2x21 + 2x22 + 3x23 2x1x2 + 4x1x3 4x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2013
Вариант 4
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
01
|
@ |
1 |
2 |
2 |
A |
|
AE = |
6 |
7 |
6 |
: |
||
|
2 |
2 |
1 |
|
а) Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. б) Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå
f1 = e1 + e2 + 2e3; f2 = e1 + e3; f3 = e1 3e2 e3:
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 4x21 + x22 + 4x23 + 4x1x2 + 8x1x3 + 5x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 5x21 + 2x22 3x23 8x1x2 + 2x1x3 + 8x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = 4x21 + x22 x23 4x1x3 2x2x3;
g(x) = 2x21 + 3x22 + 2x23 2x1x3 + 4x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2008
Вариант 5
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
AE = |
0 4 |
1 |
2 1: |
||
|
@ |
1 |
1 |
1 |
A |
|
6 |
3 |
6 |
||
а) Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. б) Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå
f1 = e1 + 2e2 3e3; f2 = e1 + 6e2 8e3; f3 = e1 + 7e2 9e3:
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 4x21 + x22 + 4x23 + 4x1x2 8x1x3 8x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 6x21 + 3x22 + 3x23 4x1x2 4x1x3 8x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = 2x21 3x22 2x23 2x1x2 6x2x3;
g(x) = 2x21 + 2x22 + 3x23 2x1x2 + 4x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2013
Вариант 6
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
AE = |
0 4 |
1 |
2 1: |
|
|
8 |
5 |
2 |
A |
|
@ 4 |
5 |
6 |
|
а) Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. б) Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, где
f1 = e1 + 2e3; f2 = e1 2e2 3e3; f3 = e1 e2 e3:
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 4x21 + 4x22 + x23 8x1x2 + 4x1x3 5x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 4x21 5x22 5x23 4x1x2 4x1x3 + 4x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = 2x21 3x22 4x23 + 2x1x3 8x2x3;
g(x) = 2x21 + 3x22 + 2x23 + 2x1x3 + 4x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2013
Вариант 7
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
AE = |
0 |
2 |
8 |
2 1: |
|
|
|
1 |
5 |
2 |
A |
|
@ 2 |
5 |
1 |
||
а) Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. б) Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, где
f1 = e1 + 2e2 6e3; f2 = e1 e3; f3 = e1 e2 + e3:
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 4x21 + x22 + x23 4x1x2 + 4x1x3 3x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 5x21 + 2x22 + 2x23 4x1x2 4x1x3 8x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = 3x21 + 2x22 + 2x23 + 4x1x2 2x2x3;
g(x) = x21 2x22 + 2x23 4x1x2 + 8x1x3 + 2x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2013
Вариант 8
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
AE = |
0 |
1 |
7 |
1 1: |
|
|
|
3 |
3 |
1 |
A |
|
@ 3 |
9 |
1 |
||
à) |
Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. |
á) |
Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå |
|
f1 = e1 e2 + 3e3; f2 = e1 e2 + 2e3; f3 = 4e1 3e2 + 5e3: |
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = x1x2 x1x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 5x21 8x22 8x23 + 4x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = 2x21 + 3x22 + 2x23 2x1x3 4x2x3; g(x) = 3x22 + 4x23 + 4x1x2 2x1x3 8x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2013
Вариант 9
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
AE = |
0 4 |
2 |
8 1: |
||
|
@ |
1 |
1 |
2 |
A |
|
2 |
2 |
6 |
||
à) |
Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. |
á) |
Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå |
|
f1 = e1 4e2 2e3; f2 = e1 7e2 4e3; f3 = 2e2 + e3: |
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 4x1x2 + 9x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 2x21 + 3x22 4x23 8x1x2 + 8x1x3 4x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = 4x21 + 3x22 2x23 8x1x2 2x1x3;
g(x) = 2x21 + 3x22 + 2x23 4x1x2 + 2x1x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2013
Вариант 10
1. Линейный оператор A в базисе E = fe1; e2; e3g имеет матрицу
01
|
@ |
4 |
1 |
1 |
A |
|
AE = |
2 |
5 |
1 |
: |
||
|
4 |
2 |
8 |
|
а) Найти собственные числа и собственные векторы оператора A. б) Найти матрицу AF оператора A в базисе F = ff1; f2; f3g, ãäå
f1 = e1 + e2 + 2e3; f2 = e1 + 4e2 + 6e3; f3 = e1 + 5e2 + 7e3:
2. В тр¼хмерном пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 4x21 + x22 + x23 + 4x1x2 + 4x1x3 + x2x3:
а) Выписать матрицу формы f(x) в исходном базисе.
б) Привести форму f(x) к нормальному виду методом Лагранжа.
в) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к нормальному виду.
г) Выяснить определ¼нность формы f(x).
3. В тр¼хмерном евклидовом пространстве задана квадратичная форма
f(x) = 7x21 7x22 4x23 + 2x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3:
а) Привести форму f(x) к каноническому виду ортогональным преобразованием.
б) Выписать ортогональное преобразование координат (прямое и обратное), приводящее форму f(x) к каноническому виду.
в) Выяснить определ¼нность формы f(x).
4. В тр¼хмерном пространстве заданы две квадратичные формы
f(x) = 3x21 + 2x22 + 3x23 6x1x2 + 8x1x3 6x2x3;
g(x) = 2x21 + 3x22 + 2x23 4x1x2 + 2x1x3 4x2x3:
а) Привести формы f(x) и g(x) к простейшему виду одним преобразованием.
б) Выписать преобразование координат (прямое и обратное), приводящее формы f(x) и g(x) к простейшему виду.
в) Выяснить определ¼нность форм f(x) и g(x).
ËÀ ÑÐ 15 2013