1.4.Механика твердого тела

1.129. Выведите формулу для момента инерции тонкого кольца радиусом R и массой т относительно оси симметрии. [J=mR²]

1.130. Выведите формулу для момента инерции тонкого стержня массой т и длиной l относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его длине. [J=1/12 ml²]

1.131. Выведите формулу для момента инерции сплошного шара радиусом R и массой т относительно оси, проходящей через центр шара. [J=2/5 mR²]

1.132. Выведите формулу для момента инерции полого шара относительно оси, проходящей через его центр. Масса шара равна m, внутренний радиус r, внешний R. [ ]

1.133. Выведите формулу для момента инерции цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с ее осью симметрии. Масса муфты равна m, внутренний радиус г, внешний R. [ ]

1.134. Определите момент инерции сплошного однородного диска радиусом R=40 см и массой m =1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. [0,12 кг·м²]

1.135. Определите момент инерции тонкого однородного стержня длиной l=50 см и массой m=360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: 1) конец стержня; 2) точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины. [1) 3·10^-2 кг·м²; 2) 1,75·10^-2 кг·м²]

1.136. Шар и сплошной цилиндр одинаковой массы, изготовленные из одного и того же материала, катятся без скольжения с одинаковой скоростью. Определите, во сколько раз кинетическая энергия шара меньше кинетической энергии сплошного цилиндра. [В 1,07 раза]

1.137. Полная кинетическая энергия Т диска, катящегося по горизонтальной поверхности, равна 24 Дж. Определите кинетическую энергию Т₁ поступательного и Т₂ вращательного движения диска. [Т₁=16 Дж, Т₂=8 Дж]

1.138. Полый тонкостенный цилиндр массой m=0,5 кг, катящийся без скольжения, ударяется о стену и откатывается от нее. Скорость цилиндра до удара о стену v₁=1,4 м/с, после удара v₁’=1 м/с. Определите выделившееся при ударе количество теплоты Q. [Q=m(v₁²–v₁’²)=0,48 Дж]

1.139. К ободу однородного сплошного диска массой m=10 кг, насаженного на ось, приложена постоянная касательная сила F=30 Н. Определите кинетическую энергию диска через время t=4 с после начала действия силы. [1,44 кДж]

1.140. Шар радиусом R=10 см и массой m=5 кг вращается вокруг оси симметрии согласно уравнению φ=А+Bt²+Ct³ (В=2 рад/с², С=–0,5 рад/с³). Определите момент сил М для t=3 с. [М=–0,1 Н·м]

1.141. Вентилятор вращается с частотой n=600 об/мин. После выключения он начал вращаться равнозамедленно и, сделав N=50 оборотов, остановился. Работа А сил торможения равна 31,4 Дж. Определите: 1) момент М сил торможения; 2) момент инерции J вентилятора. [1) 0,1 Н·м; 2) 15,9 кг·м²]

1.142. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J=150 кг·м², вращается с частотой n=240 об/мин. Через время t=1 мин, как на маховик стал действовать момент сил торможения, он остановился. Определите: 1) момент М сил торможения; 2) число оборотов маховика от начала торможения до полной остановки. [1) 62,8 Н·м; 2) 120]

1.143. Сплошной однородный диск скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. Определите линейное ускорение а центра диска. [а=2/3 gsinα]

1.144. К ободу однородного сплошного диска радиусом R=0,5 м приложена постоянная касательная сила F=100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения М_тр=2 Н·м. Определите массу m диска, если известно, что его угловое ускорение ε постоянно и равно 16 рад/с². [24 кг]

1.145. Частота вращения n₀ маховика, момент инерции J которого равен 120 кг·м², составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время t=π мин. Считая трение в подшипниках постоянным, определите момент М сил трения. [16 Н·м]

1.146. Маховик в виде сплошного диска, момент инерции которого J=1,5 кг·м², вращаясь при торможении равнозамедленно, за время t=1 мин уменьшил частоту своего вращения с n₀=240 об/мин до п₁=120 об/мин. Определите: 1) угловое ускорение ε маховика; 2) момент М силы торможения; 3) работу торможения А. [1) 0,21 рад/с², 2) 0,315 Н·м; 3) 355 Дж]

1.147. Колесо радиусом R=30 см и массой т=3 кг скатывается без трения по наклонной плоскости длиной l=5 м и углом наклона α=25°. Определите момент инерции колеса, если его скорость и в конце движения составляла 4,6 м/с. [0,259 кг·м²]

1.148. С наклонной плоскости, составляющей угол α=30° к горизонту, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определите время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на 30 см. [0,585 с]

1.149. Полый тонкостенный цилиндр катится вдоль горизонтального участка дороги со скоростью v=1,5 м/с. Определите путь, который он пройдет в гору за счет кинетической энергии, если уклон горы равен 5 м на каждые 100 м пути. [4,59 м]

1 .150. На однородный сплошной цилиндрический вал (смотрите рисунок) радиусом R=50 см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой т=6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением а=2 м/с². Определите: 1) момент инерции J вала; 2) массу М вала. [1) 6,25 кг·м²; 2) 50 кг]

1.151. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R=5 см и массой М=10 кг намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой т=1 кг (смотрите рисунок). Определите: 1) зависимость s(t), согласно которой движется груз; 2) силу натяжения нити Т; 3) зависимость φ(t), согласно которой вращается вал; 4) угловую скорость ω вала через t=1 с после начала движения; 5) тангенциальное (а_τ) и нормальное (а_п) ускорения точек, находящихся на поверхности вала. [1) s=0,82t²; 2) Т=8,2 Н; 3) φ=16,4t²; 4) ω=32,8 рад/с; 5) а_τ=1,64 м/с², а_п=53,8 м/с²]

1.152. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R=20 см, момент инерции которого J=0,15 кг·м², намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m=0,5 кг. До начала вращения барабана высота h груза над полом составляла 2,3 м. Определите: 1) время опускания груза до пола; 2) силу натяжения нити; 3) кинетическую энергию груза в момент удара о пол. [1) 2 с; 2) 4,31 Н; 3) 1,32 Дж]

1.153. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой m=0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами т₁=0,35 кг и т₂=0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение грузов; 2) отношение Т₂/Т₁ сил натяжения нити. [1) 1,96 м/с²; 2) 1,05]

1 .154. Тело массой т₁=0,25 кг (смотрите рисунок), соединенное невесомой нитью посредством блока (в виде полого тонкостенного цилиндра) с телом массой т₂=0,2 кг, скользит по поверхности горизонтального стола. Масса блока т=0,15 кг. Коэффициент трения f тела о поверхность равен 0,2. Пренебрегая трением в подшипниках, определите: 1) ускорение а, с которым будут двигаться эти тела; 2) силы натяжения Т₁ и Т₂ нити по обе стороны блока. [1) а=2,45 м/с²; 2) Т₁=1,1 Н, Т₂=1,47 Н]

1.155. Для демонстрации законов сохранения применяется маятник Максвелла, представляющий собой массивный диск радиусом R и массой т, туго насаженный на ось радиусом r, которая подвешивается на двух предварительно намотанных на нее нитях (смотрите рисунок). Когда маятник отпускают, то он совершает возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном движении диска вокруг оси. Не учитывая сил сопротивления и момента инерции оси, определите: 1) ускорение поступательного движения маятника; 2) силу натяжения нити. [1) ; 2) ]

1.156. Однородный шар радиусом r=20 см скатывается без скольжения с вершины сферы радиусом R=50 см. Определите угловую скорость ω шара после отрыва от поверхности сферы. [ =10 рад/с]

1.157. Маховик начинает вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением ε=0,4 рад/с². Определите кинетическую энергию маховика через время t₂=25 с после начала движения, если через t₁=10 с после начала движения момент импульса L₁ маховика составлял 60 кг·м²/с. [Т= =750 Дж ]

1.158. Горизонтальная платформа массой т=25 кг и радиусом R=0,8 м вращается с частотой п₁=18 мин^–1. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определите частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J₁=3,5 кг·м² до J₂=1 кг·м². [23 мин^-1]

1.159. Человек, стоящий на скамье Жуковского, держит в руках стержень длиной l=2,5 м и массой m=8 кг, расположенный вертикально вдоль оси вращения скамейки. Эта система (скамья и человек) обладает моментом инерции J=10 кг·м² и вращается с частотой п₁=12 мин^-1. Определите частоту n₂ вращения системы, если стержень повернуть в горизонтальное положение. [8,5 мин^-1]

1.160. Человек массой m=60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой М=120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n₁=10 мин^-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите, с какой частотой п₂ будет тогда вращаться платформа. [20 мин^-1]

1.161. Платформа, имеющая форму сплошного однородного диска, может вращаться по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси. На краю платформы стоит человек, масса которого в 3 раза меньше массы платформы. Определите, как и во сколько раз изменится угловая скорость вращения платформы, если человек перейдет ближе к центру на расстояние, равное половине радиуса платформы. [Возрастет в 1,43 раза]

1.162. Человек массой m=60 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы радиусом R=1 м и массой М=120 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой n₁=10 мин^-1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека – точечной массой, определите работу, совершаемую человеком при переходе от края платформы к ее центру. [65,8 Дж]

1.163. Дайте определение гироскопического эффекта и объясните его.

1.164. К проволоке из углеродистой стали длиной l=1,5 м и диаметром d=2,1 мм подвешен груз массой m=110 кг. Принимая для стали модуль Юнга Е=216 ГПа и предел пропорциональности σ_п=330 МПа, определите: 1) какую долю первоначальной длины составляет удлинение проволоки при этом грузе; 2) превышает приложенное напряжение или нет предел пропорциональности. [1) 0,14 %; 2) нет]

1.165. Медная проволока сечением S=8 мм² под действием растягивающей силы удлинилась на столько, на сколько она удлиняется при нагревании на 30 К. Принимая для меди модуль Юнга Е=118 ГПа и коэффициент линейного расширения α=1,7·10^-5 К^-1, определите числовое значение этой силы. [481 Н]

1.166. Резиновый шнур длиной 40 см и внутренним диаметром 8 мм натянут так, что удлинился на 8 см. Принимая коэффициент Пауссона для резины равным 0,5, определите внутренний диаметр натянутого шнура. [7,2 мм]

1.167. Определите работу, которую необходимо затратить, чтобы сжать пружину на 15 см, если известно, что сила пропорциональна деформации и под действием силы 20 Н пружина сжимается на 1 см. [22,5 Дж]

1.168. Определите относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растяжении затрачена работа А=6,9 Дж. Длина стержня l=1 м, площадь поперечного сечения S=1 мм², модуль Юнга для алюминия Е=69 ГПа. [ =0,014]

1.169. Определите объемную плотность потенциальной энергии упругорастянутого медного стержня, если относительное изменение длины стержня ε=0,01 и для меди модуль Юнга Е=118 ГПа. [5,9 МДж/м³]

1.170. Два вагона массами т=15 т движутся навстречу друг другу со скоростями v=3 м/с и сталкиваются между собой. Определите сжатие буферов вагонов, если известно, что сила пропорциональна деформации и под действием силы F=50 кН пружина сжимается на Δl=1 см. [ =11,6 см]