1.3.Работа и энергия

1.81. Тело массой т=5 кг поднимают с ускорением а=2 м/с². Определите работу силы в течение первых пяти секунд. [1,48 кДж]

1.82. Автомобиль массой т=1,8 т движется в гору, уклон которой составляет 3 м на каждые 100 м пути. Определите: 1) работу, совершаемую двигателем автомобиля на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1; 2) развиваемую двигателем мощность, если известно, что этот путь был преодолен за 5 мин. [1) 11,5 МДж; 2) 38,3 кВт]

1.83. Определите работу, совершаемую при подъеме груза массой т=50 кг по наклонной плоскости с углом наклона α=30° к горизонту на расстояние s=4 м, если время подъема t=2 с, а коэффициент трения f=0,06. [1,48 кДж]

1.84. Тело скользит с наклонной плоскости высотой h и углом наклона α к горизонту и движется далее по горизонтальному участку. Принимая коэффициент трения на всем пути постоянным и равным f, определите расстояние s, пройденное телом на горизонтальном участке, до полной остановки. [s=(1-fctgα)h/f]

1.85. Насос мощностью N используют для откачки нефти с глубины h. Определите массу жидкости, поднятой за время t, если к.п.д. насоса равен η. [ ]

1.86. Поезд массой т=600 т движется под гору с уклоном α=0,3° и за время t=1 мин развивает скорость v=18 км/ч. Коэффициент трения f=0,01. Определите среднюю мощность локомотива. [ =195 кВт]

1.87. Автомобиль массой m=1,8 т спускается при выключенном двигателе с постоянной скоростью v=54 км/ч по уклону дороги (угол к горизонту α=3°). Определите, какова должна быть мощность двигателя автомобиля, чтобы он смог подниматься на такой же подъем с той же скоростью. [27,7 кВт]

1.88. Материальная точка массой т=1 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению s=A–Bt+Ct²–Dt³ (В=3 м/с, С=5 м/с², D=1 м/с³). Определите мощность N, затрачиваемую на движение точки в момент времени t=1 с. [ =16 Вт]

1.89. Ветер действует на парус площадью S с силой F=Asρ(v₀–v)²/2, где А – некоторая постоянная; ρ – плотность воздуха; v₀ – скорость ветра; v – скорость лодки. Определите, при какой скорости лодки мгновенная мощность ветра максимальна. [v=v₀/3]

1.90. Тело массой т поднимается без начальной скорости с поверхности земли под действием силы F, меняющейся с высотой подъема у по закону F=–2mg(1–Ay) (где А – некоторая положительная постоянная), и силы тяжести mg. Определите: 1) высоту подъема; 2) работу силы F на первой трети пути. Поле силы тяжести считать однородным. [l) H=1/A; 2) A_F=5mg/9A]

1.91. Тело массой т начинает двигаться под действием силы F=2ti+3t²j, где i и j – соответственно единичные векторы координатных осей х и у. Определите мощность N(t), развиваемую силой в момент времени t. [N(t)=(2t³+5t⁵)/т]

1.92. Тело массой т=5 кг падает с высоты h=20 м. Определите сумму потенциальной и кинетической энергий тела в точке, находящейся от поверхности земли на высоте h₁=5 м. Трением тела о воздух пренебречь. Сравните эту энергию с первоначальной энергией тела. [981 Дж]

1.93. Тело, падая с некоторой высоты, в момент соприкосновения с землей обладает импульсом р=100 кг·м/с и кинетической энергией Т=500 Дж. Определите: 1) с какой высоты тело падало; 2) массу тела. [1) 5,1 м; 2) 10 кг]

1.94. С башни высотой H=20 м горизонтально со скоростью v₀=10 м/с брошен камень массой m=400 г. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите для момента времени t=1 с после начала движения: 1) кинетическую энергию камня; 2) его потенциальную энергию. [1) 39,2 Дж; 2) 59,2 Дж]

1.95. Автомашина массой m=2000 кг останавливается за t=6 с, пройдя расстояние s=30 м. Определите: 1) начальную скорость автомашины; 2) силу торможения. [1) 10 м/с; 2) 3,33 кН]

1.96. Материальная точка массой m=20 г движется по окружности радиусом R=10 см с постоянным тангенциальным ускорением. К концу пятого оборота после начала движения кинетическая энергия материальной точки оказалась равной 6,3 мДж. Определите тангенциальное ускорение точки. [0,1 м/с²]

1.97. Ядро массой m=5 кг бросают под углом α=60° к горизонту, затрачивая при этом работу 500 Дж. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите: 1) через какое время ядро упадет на землю; 2) какое расстояние по горизонтали оно пролетит. [1) 2,5 с; 2) 17,6 м]

1.98. Тело массой m=0,5 кг бросают со скоростью v₀=10 м/с под углом α=30° к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите кинетическую Т. потенциальную П и полную Е энергии тела: 1) через t=0,4 с после начала движения; 2) в высшей точке траектории. [1) Т=19 Дж, П=5,9 Дж, Е=24,9 Дж; 2) Т=18,7 Дж, П=6,2 Дж, Е=24,9 Дж]

1 .99. Тележка проходит расстояние s=300 м под гору с уклоном α=5° и продолжает двигаться в гору с тем же уклоном (см. рис.). Принимая коэффициент трения f постоянным и равным 0,05, определите расстояние х, на которое поднимается тележка. [81,8 м]

1.100. К нижнему концу пружины жесткостью k₁ присоединена другая пружина жесткостью k₂, к концу которой прикреплена гиря. Пренебрегая массой пружин, определите отношение потенциальных энергий пружин. [П₁/П₂=k₂/k₁]

1.101. Тело массой т=0,4 кг скользит с наклонной плоскости высотой h=10 см и длиной l=1 м. Коэффициент трения тела на всем пути f=0,04. Определите: 1) кинетическую энергию тела у основания плоскости; 2) путь, пройденный телом на горизонтальном участке до остановки. [1) 0,24 Дж; 2) 1,53 м]

1.102. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v₀=20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, на какой высоте h кинетическая энергия тела будет равна его потенциальной энергии. [10,2 м]

1.103. Тело массой т=70 кг движется под действием постоянной силы F=63 Н. Определите, на каком пути s скорость этого тела возрастет в n=3 раза по сравнению с моментом времени, когда скорость тела была равна v₀=1,5 м/с. [s=10 м]

1.104. Подвешенный на нити шарик массой т=200 г отклоняют на угол α=45°. Определите силу натяжения нити в момент прохождения шариком положения равновесия. [3,11 Н]

1.105. При абсолютно упругом ударе костяных шаров одинаковой массы всегда отскакивает столько шаров, сколько налетает. Докажите этот результат.

1.106. Тело брошено под углом α=45° к горизонту со скоростью v₀=15 м/с. Используя закон сохранения энергии, определите скорость v тела в высшей точке его траектории, [v=v₀ cos α =10,6 м/с]

1.107. Шайба массой т скользит без трения с высоты h по желобу, переходящему в петлю радиусом R. Определите: 1) силу давления F шайбы на опору в точке, определяемой углом α (смотрите рисунок); 2) угол α, при котором произойдет отрыв шайбы. [l) ; 2) α=arcsin2/3(h/R-1)]

1.108. Пренебрегая трением, определите наименьшую высоту h, с которой должна скатываться тележка с человеком по желобу, переходящему в петлю радиусом R=6 м, и не оторваться от него в верхней точке петли. [15 м]

1.109. Спортсмен с высоты h=12 м падает на упругую сетку. Пренебрегая массой сетки, определите, во сколько раз наибольшая сила давления спортсмена на сетку больше его силы тяжести, если прогиб сетки под действием силы тяжести спортсмена х₀=15 см. [В 13,7 раза]

1.110. С вершины идеально гладкой сферы радиусом R=1,2 м соскальзывает небольшое тело. Определите высоту h (от вершины сферы), с которой тело со сферы сорвется. [h=40 см]

1 .111. Два цилиндра массами т₁=150 г и т₂=300 г, соединенные сжатой пружиной, разошлись при внезапном освобождении пружины в разные стороны (смотрите рисунок). Пренебрегая силами сопротивления и учитывая, что кинетическая энергия T упругой деформации пружины составляет 1,8 Дж, определите: 1) скорость v₁ движения первого цилиндра; 2) скорость v₂ движения второго цилиндра. [1) 4 м/с; 2) 2 м/с]

1.112. Гиря массой т=10 кг падает с высоты h=0,5 м на подставку, скрепленную с пружиной жесткостью k=30 Н/см (смотрите рисунок). Определите при этом смещение х пружины. [21,6 см]

1 .113. Пуля массой т=15 г, летящая с горизонтальной скоростью v=0,5 км/с, попадает в баллистический маятник массой М=6 кг (смотрите рисунок) и застревает в нем. Определите высоту h, на которую поднимется маятник, откачнувшись после удара. [7,9 см]

1.114. Пуля массой т=15 г, летящая горизонтально, попадает в баллистический маятник длиной l=1 м и массой М=1,5 кг и застревает в нем (смотрите рисунок). Маятник в результате этого отклонился на угол φ=30°. Определите скорость пули. [164 м/с]

1.115. Пуля массой т=15 г, летящая горизонтально со скоростью v=200 м/с, попадает в баллистический маятник длиной I=1 м и массой М=1,5 кг и застревает в нем. Определите угол отклонения φ маятника. [36,9°]

1.116. Пуля массой т=12 г, летящая с горизонтальной скоростью v=0,6 км/с, попадает в мешок с песком массой М=10 кг, висящий на длинной нити, и застревает в нем. Определите: 1) высоту, на которую поднимется мешок, отклонившись после удара; 2) долю кинетической энергии, израсходованной на пробивание песка. [1)2,64 см; 2) 99,9%]

1.117. Зависимость потенциальной энергии П тела в центральном силовом поле от расстояния г до центра поля задается функцией П(r)=A/r²–B/r (А=6 мкДж·м², В=0,3 мДж·м). Определите, при каких значениях r максимальное значение принимают: 1) потенциальная энергия тела; 2) сила, действующая на тело. [1) r=2A/B=4 см; 2) r=3A/B=6 см]

1 .118. На рис. 23 представлена качественная зависимость потенциальной энергии П взаимодействия двух частиц от расстояния r между ними. Объясните: 1) каким расстояниям между частицами соответствует равновесие; 2) при каком расстоянии оно является устойчивым и при каком – неустойчивым.

1.119. Сила, действующая на тело в некотором поле консервативных сил, описывается законом F=A(yi+xj), где А – некоторая постоянная; i и j – соответственно единичные векторы координатных осей х и у. Определите потенциальную энергию П(х; у) тела в этом поле. [П(х; у)=–Аху+С, где С – аддитивная постоянная]

1.120. Металлический шарик падает вертикально на мраморный пол с высоты h₁=80 см и отскакивает от него на высоту h₂=72 см. Определите коэффициент восстановления материала шарика. [0,95]

1.121. Шарик из некоторого материала, падая вертикально с высоты h=0,9 м, несколько раз отскакивает от пола. Определите коэффициент восстановления материала шарика при ударе о пол, если с момента падения до второго удара прошло время t=1 с. [0,67]

1.122. При центральном упругом ударе движущееся тело массой т₁ ударяется в покоящееся тело массой т₂, в результате чего скорость первого тела уменьшается в 2 раза. Определите: 1) во сколько раз масса первого тела больше массы второго тела; 2) кинетическую энергию второго тела Т₁’ непосредственно после удара, если первоначальная кинетическая энергия Т₁ первого тела равна 800 Дж. [1) В 3 раза; 2) 600 Дж]

1.123. Определите, во сколько раз уменьшится скорость шара, движущегося со скоростью v₁ при его соударении с покоящимся шаром, масса которого в п раз больше массы налетающего шара. Удар считать центральным абсолютно упругим. [В раза]

1.124. Тело массой т₁=3 кг движется со скоростью v₁=2 м/с и ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определите количество теплоты, выделившееся при ударе. [3 Дж]

1.125. Два шара массами т₁=9 кг и т₂=12 кг подвешены на нитях длиной l=1,5 м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший шар отклонили на угол α=30° и отпустили. Считая удар неупругим, определите высоту h, на которую поднимутся оба шара после удара. [ =3,7 см]

1.126. Два шара массами т₁=3 кг и т₂=2 кг подвешены на нитях длиной l=1 м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем больший шар отклонили от положения равновесия на угол α=60° и отпустили. Считая удар упругим, определите скорость v₂ второго шара после удара. [3,76 м/с]

1.127. Два шара массами т₁=200 г и т₂=400 г подвешены на нитях длиной l=67,5 см. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем первый шар отклонили от положения равновесия на угол α=60° и отпустили. Считая удар упругим, определите, на какую высоту h поднимется второй шар после удара. [ =15 см]

1.128. Шар сталкивается с другим покоящимся шаром такой же массы. Докажите, что в случае упругого, но не центрального удара угол между направлениями скоростей после удара составляет π/2.