1.2.Динамика материальной точки и поступательного движения твердого тела

1.43. Тело массой т=2 кг движется прямолинейно по закону s=А–Bt+Ct²–Dt³ (С=2 м/с², D=0,4 м/с³). Определите силу, действующую на тело в конце первой секунды движения. [3,2 Н]

1.44. Тело массой т движется так, что зависимость пройденного пути от времени описывается уравнением s=A cos ωt, где А и ω – постоянные. Запишите закон изменения силы от времени. [F=–mАω² cos ωt]

1.45. К нити подвешен груз массой т=500 г. Определите силу натяжения нити, если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением 2 м/с²; 2) опускать с ускорением 2 м/с². [1) 5,9 Н; 2) 3,9 Н]

1 .46. Два груза (т₁=500 г и т₂=700 г) связаны невесомой нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности (см. рис.). К грузу т₁ приложена горизонтально направленная сила F=6 Н. Пренебрегая трением, определите: 1) ускорение грузов; 2) силу натяжения нити [1) 5 м/с²; 2) 3,5 Н]

1 .47. Простейшая машина Атвуда, применяемая для изучения законов равноускоренного движения, представляет собой два груза с неравными массами m₁ и т₂ (например, т₁>т₂), которые подвешены на легкой нити, перекинутой через неподвижный блок. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение а грузов; 2) силу натяжения нити Т; 3) силу F, действующую на ось блока. [1) ; 2) ; 3) ]

1.48. На рисунке изображена система блоков, к которым подвешены грузы массами т₁=200 г и т₂=500 г. Считая, что груз т₁ поднимается, а подвижный блок с грузом т₂ опускается, нить и блоки невесомы, силы трения отсутствуют, определите: 1) силу натяжения нити T; 2) ускорения, с которыми движутся грузы. [1) Т=2,26 Н; 2) а₁=1,5 м/с², а₂=0,75 м/с²]

1 .49. В установке на рисунке угол α наклонной плоскости с горизонтом равен 20°, массы тел т₁=200 г и т₂=150 г. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определите ускорение, с которым будут двигаться эти тела, если тело т₂ опускается. [2,29 м/с²]

1 .50. Тело А массой М=2 кг находится на горизонтальном столе и соединено нитями посредством блоков с телами В (т₁=0,5 кг) и С (т₂=0,3 кг). Считая нити и блоки невесомыми и пренебрегая силами трения, определите: 1) ускорение, с которым будут двигаться эти тела; 2) разность сил натяжения нитей. [1) 0,7 м/с²; 2) 1,4 Н]

1 .51. В установке (смотрите рисунок) углы α и β с горизонтом соответственно равны 30° и 45°, массы тел т₁=0,45 кг и т₂=0,5 кг. Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая силами трения, определите: 1) ускорение, с которым движутся тела; 2) силу натяжения нити. [1) 1,33 м/с²; 2) 2,8 Н]

1.52. Тело массой т движется в плоскости ху по закону х=A cos ωt, у=В sin ωt, где А, B и ω – некоторые постоянные. Определите модуль силы, действующей на это тело. [ ]

1 .53. Частица массой т движется под действием силы , где F₀ и ω – некоторые постоянные. Определите положение частицы, т. е. выразите ее радиус-вектор как функцию времени, если в начальный момент t=0, , . [ ]

1.54. На тело (смотрите рисунок) массой т=10 кг, лежащее на наклонной плоскости (угол α=20°), действует горизонтально направленная сила F=8 H. Пренебрегая трением, определите: 1) ускорение тела; 2) силу, с которой тело давит на плоскость. [1) 4,11 м/с²; 2) 89,4 Н]

1.55. Тело массой т=2 кг падает вертикально с ускорением а=5 м/с². Определите силу сопротивления при движении этого тела. [9,62 Н]

1.56. С вершины клина, длина которого l=2 м и высота h=1 м, начинает скользить небольшое тело. Коэффициент трения между телом и клином f=0,15. Определите: 1) ускорение, с которым движется тело; 2) время прохождения тела вдоль клина; 3) скорость тела у основания клина. [1) 3,63 м/с²; 2) 1,05 с; 3) 3,81 м/с]

1 .57. По наклонной плоскости с углом α наклона к горизонту, равным 30°, скользит тело. Определите скорость тела в конце второй секунды от начала скольжения, если коэффициент трения f=0,15. [7,26 м/с]

1 .58. Вагон массой т=1 т спускается по канатной железной дороге с уклоном α=15° к горизонту (смотрите рисунок). Принимая коэффициент трения f=0,05, определите силу натяжения каната при торможении вагона в конце спуска, если скорость вагона перед торможением v₀=2,5 м/с, а время торможения t=6 с. [2,48 кН]

1.59. Грузы одинаковой массой (т₁=т₂=0,5 кг) соединены нитью и перекинуты через невесомый блок, укрепленный на конце стола (смотрите рисунок). Коэффициент трения груза т₂ о стол f=0,15. Пренебрегая трением в блоке, определите: 1) ускорение, с которым движутся грузы; 2) силу натяжения нити. [1) 4,17 м/с²; 2 ) 2,82 Н].

1 .60. Система грузов (смотрите рисунок) массами т₁=0,5 кг и т₂=0,6 кг находится в лифте, движущемся вверх с ускорением а=4,9 м/с². Определите силу натяжения нити Т, если коэффициент трения между грузом массы т₁ и опорой f=0,1. [ =4,41 Н]

1.61. На горизонтальной поверхности находится доска массой т₂, на которой лежит брусок массой т₁. Коэффициент трения бруска о поверхность доски равен f, К доске приложена горизонтальная сила F, зависящая от времени по закону F=At, где А – некоторая постоянная. Определите: 1) момент времени t₀, когда доска начнет выскальзывать из-под бруска; 2) ускорения бруска а₁ и доски а₂. [1) ; 2) при , при const, ]

1.62. В установке (смотрите рисунок) угол α наклона плоскости с горизонтом равен 30°, массы тел одинаковы (т=1 кг). Считая нить и блок невесомыми и пренебрегая трением в о си блока, определите силу давления F на ось, если коэффициент трения между наклонной плоскостью и лежащим на ней телом f=0,1. [ =13,5 Н]

1.63. На наклонную плоскость с углом наклона к горизонту α=35° положена доска массой т₂=2 кг, а на доску – брусок массой т₁=1 кг. Коэффициент трения между бруском и доской f₁=0,1, а между доской и плоскостью f₂=0,2. Определите: 1) ускорение а₁ бруска; 2) ускорение а₂ доски; 3) коэффициент трения f₂, при котором доска не будет двигаться. [1) =4,82 м/с²; 2) =3,62 м/с²; 3) ]

И.1.64. Снаряд массой т=5 кг, вылетевший из орудия, в верхней точке траектории имеет скорость v=300 м/с. В этой точке он разорвался на два осколка, причем больший осколок массой т₁=3 кг полетел в обратном направлении со скоростью v₁=100 м/с. Определите скорость v₂ второго, меньшего, осколка. [900 м/с]

1.65. Лодка массой М=150 кг и длиной l=2,8 м неподвижна в стоячей воде. Рыбак массой т=90 кг в лодке переходит с носа на корму. Пренебрегая сопротивлением воды, определите, на какое расстояние s при этом сдвинется лодка. [1,05 м]

1.66. Снаряд, вылетевший из орудия со скоростью v₀, разрывается на два одинаковых осколка в верхней точке траектории на расстоянии l (по горизонтали). Один из осколков полетел в обратном направлении со скоростью движения снаряда до разрыва. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, на каком расстоянии s (по горизонтали) от орудия упадет второй осколок, [s=4l]

1.67. Платформа с песком общей массой М=2 т стоит на рельсах на горизонтальном участке пути. В песок попадает снаряд массой т=8 кг и застревает в нем. Пренебрегая трением, определите, с какой скоростью будет двигаться платформа, если в момент попадания скорость снаряда v=450 м/с, а его направление – сверху вниз под углом α=30° к горизонту. [1,55 м/с]

1.68. На железнодорожной платформе, движущейся по инерции со скоростью v₀=3 км/ч, укреплено орудие. Масса платформы с орудием М=10 т. Ствол орудия направлен в сторону движения платформы. Снаряд массой т=10 кг вылетает из ствола под углом α=60° к горизонту. Определите скорость v снаряда (относительно земли), если после выстрела скорость платформы уменьшилась в п=2 раза. [835 м/с]

1.69. Две легкие тележки (массы соответственно т₁ и т₂=2т₁) соединены между собой сжатой, связанной нитью пружиной. Пережигая нить, пружина распрямляется и тележки разъезжаются в разные стороны. Считая коэффициент трения для обеих тележек одинаковым, определите: 1) v₁/v₂ – отношение скоростей движения тележек; 2) t₁/t₂ – отношение времен, в течение которых тележки движутся; 3) s₁/s₂ – отношение путей, пройденных тележками. [1) 2; 2) 2; 3) 4]

1.70. Две одинаковые тележки массой М каждая движутся по инерции (без трения) друг за другом с оди­наковой скоростью . В какой-то момент времени человек массой т, находящийся на задней тележке, прыгнул в переднюю со скоростью относительно своей тележки. Определите скорость передней тележки. [ ]

1.71. Определите положение центра масс системы, состоящей из четырех шаров, массы которых равны соответственно т, 2т, Зт и 4т, в следующих случаях (смотрите рисунок): а) шары расположены на одной прямой; б) шары расположены по вершинам к вадрата; в) шары расположены по четырем смежным вершинам куба. Во всех случаях расстояние между соседними шарами равно 15 см. Направления координатных осей показаны на рисунке, [а) х_с=30 см; б) х_с=7,5 см, у_с=4,5 см; в) х_с=4,5 см, у_с=1,5 см, z_с=3 см]

1.72. Определите положение центра масс половины круглого диска радиусом R, считая его однородным. [На расстоянии от центра]

1 .73. Определите координаты центра масс системы, состоящей из четырех шаров массами 2т, Зт, 4т и т, которые расположены в вершинах и в центре равностороннего треугольника со стороной а=20 см (смотрите рисунок). Направления координатных осей указаны на рисунке. [х_с=12 см, у_с=5,77 см]

1.74. Нагруженная песком железнодорожная платформа с начальной массой т₀ начинает движение из состояния покоя под действием постоянной силы тяги F. Через отверстие в дне платформы высыпается песок с постоянной скоростью μ (кг/с). Определите , т. е. зависимость скорости платформы от времени. [ ]

1.75. На катере массой т=4,5 т находится водомет, выбрасывающий со скоростью и=6 м/с относительно катера назад μ=25 кг/с воды. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определите: 1) скорость катера через t=3 мин после начала движения; 2) предельно возможную скорость катера. [1) 3,8 м/с; 2) 6 м/с]

1.76. Ракета, масса которой в начальный момент времени М=2 кг, запущена вертикально вверх. Относительная скорость выхода продуктов сгорания и=150 м/с, расход горючего μ=0,2 кг/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите ускорение а ракеты через t=3 с после начала ее движения. Поле силы тяжести считать однородным. [11,6 м/с²]

1.77. Ракета, масса которой в начальный момент М=300 г, начинает выбрасывать продукты сгорания с относительной скоростью и=200 м/с. Расход горючего μ=100 г/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха и внешним силовым полем, определите: 1) промежуток времени, за который скорость ракеты станет равной v₁=50 м/с; 2) скорость v₂, которой достигнет ракета, если масса «заряда» т₀=0,2 кг. [1) 0,66 с; 2) 220 м/с]

1.78. Ракета с начальной массой m₀, начиная движение из состояния покоя, к некоторому моменту времени t, израсходовав топливо массой т, развивает скорость v. Пренебрегая сопротивлением воздуха и внешним силовым полем, определите зависимость v от m, если скорость истечения топлива относительно ракеты равна и. [ ]

1.79. Ракета поднимается с нулевой начальной скоростью вертикально вверх. Начальная масса ракеты m₀, скорость истечения газа относительно ракеты постоянна и равна и. Пренебрегая сопротивлением воздуха, выразите скорость ракеты v в зависимости от т и t (m – масса ракеты; t – время ее подъема). Поле силы тяжести считать однородным. [ ]

1.80. Ракета с начальной массой т₀=1,5 кг, начиная движение из состояния покоя вертикально вверх, выбрасывает непрерывную струю газов с постоянной относительно нее скоростью и=600 м/с. Расход газа μ=0,3 кг/с. 1. Определите, какую скорость приобретает ракета через время t=1 с после начала движения, если она движется: 1) при отсутствии внешних сил; 2) в однородном поле силы тяжести. 2. Оцените относительную погрешность, сделанную для данных условий задачи при пренебрежении внешним силовым полем. [1. 1) =134 м/с; 2) =124 м/c. 2. 7,3%]