8.Твердые тела

8.1. Изменение энтропии при плавлении количества =1 кмоль льда =22,2 кДж/К. На сколько изменяется температура плавления льда при увеличении внешнего давления на =100 кПа? []

8.2. При давлении =100 кПа температура плавления олова =231,9 °С, а при давлении р₂=10 МПа она равна =232,2 °С. Плотность жидкого олова =7,0∙10³ кг/м³. Найти изменение энтропии при плавлении количества =1 кмоль олова. []

8.3. Температура плавления железа изменяется на =0,012 К при изменении давления на =98 кПа. На сколько меняется при плавлении объем количества =1 кмоль железа? []

8.4. Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти удельную теплоемкость с: а) меди; б) железа; в) алюминия. []

8.5. Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти, из какого материала сделан металлический шарик массой т=0,025 кг, если известно, что для его нагревания от =10 °С до =30 °С потребовалось затратить количество теплоты Q=117 Дж. []

8.6. Пользуясь законом Дюлонга и Пти, найти, во сколько раз удельная теплоемкость алюминия больше удельной теплоемкости платины. []

8.7. Свинцовая пуля, летящая со скоростью v=400 м/с, ударяется о стенку и входит в нее. Считая, что 10% кинетической энергии пули идет на ее нагревание, найти, на сколько нагрелась пуля. Удельную теплоемкость свинца найти по закону Дюлонга и Пти. []

8.8. Пластинки из меди (толщиной =9 мм) и железа (толщиной d₂=3 мм) сложены вместе. Внешняя поверхность медной пластинки поддерживается при температуре =50 °С, внешняя поверхность железной – при температуре =0 °С. Найти температуру поверхности их соприкосновения. Площадь пластинок велика по сравнению с толщиной. []

8.9. Наружная поверхность стены имеет температуру =–20 °С, внутренняя – температуру =20 °С. Толщина стены =40 см. Найти теплопроводность материала стены, если через единицу ее поверхности за время =1 ч проходит количество теплоты Q=460,5 кДж/м². []

8.10. Какое количество теплоты Q теряет за время =1 мин комната с площадью пола =20 м² и высотой h=3 м через четыре кирпичные стены? Температура в комнате =15 °С, температура наружного воздуха =–20 °С. Теплопроводность кирпича =0,84 Вт/(м∙К). Толщины стен d=50 см. Потерями тепла через пол и потолок пренебречь. []

8.11. Один конец железного стержня поддерживается при температуре =100 °С, другой упирается в лед. Длина стержня =14 см, площадь поперечного сечения =2 см². Найти количество теплоты Qτ, протекающее в единицу времени вдоль стержня. Какая масса льда растает за время =40 мин? Потерями тепла через стенки пренебречь. []

8.12. Площадь поперечного сечения медного стержня =10 см², длина стержня =50 см. Разность температур на концах стержня =15 К. Какое количество теплоты Qτ проходит в единицу времени через стержень? Потерями тепла пренебречь. []

8.13. На плите стоит алюминиевая кастрюля диаметром D=15 см, наполненная водой. Вода кипит, и при этом за время =1 мин образуется масса =300 г водяного пара. Найти температуру внешней поверхности дна кастрюли, если толщина его =2 мм. Потерями тепла пренебречь. []

8.14. Металлический цилиндрический сосуд радиусом =9 см наполнен льдом при температуре =0 °С. Сосуд теплоизолирован слоем пробки толщиной =1 см. Через какое время т весь лед, находящийся в сосуде, растает, если температура наружного воздуха =25° С? Считать, что обмен тепла происходит только через боковую поверхность сосуда средним радиусом =9,5 см. []

8.15. Какую силу F надо приложить к концам стального стержня с площадью поперечного сечения S=10 см², чтобы не дать ему расшириться при нагревании от =0 °С до =30 °С? []

8.16. К стальной проволоке радиусом r=1 мм подвешен груз. Под действием этого груза проволока получила такое же удлинение, как при нагревании на =20 °С. Найти массу груза. []

8.17. Медная проволока натянута горячей при температуре =150 °С между двумя прочными неподвижными стенками. При какой температуре , остывая, разорвется проволока? Считать, что закон Гука справедлив вплоть до разрыва проволоки. []

8.18. При нагревании некоторого металла от =0 °С до =500 °С его плотность уменьшается в 1,027 раза. Найти для этого металла коэффициент линейного расширения а, считая его постоянным в данном интервале температур. []

8.19. Какую длину должны иметь при температуре =0 °С стальной и медный стержни, чтобы при любой температуре стальной стержень был длиннее медного на =5 см? []

8.20. На нагревание медной болванки массой =1 кг, находящейся при температуре =0 °С, затрачено количество теплоты Q=138,2 кДж. Во сколько раз при этом увеличился ее объем? Удельную теплоемкость меди найти по закону Дюлонга и Пти. []

8.21. При растяжении медной проволоки, поперечное сечение которой S=1,5 мм², начало остаточной деформации наблюдалось при нагрузке F=44,1 Н. Каков предел упругости материала проволоки? []

8.22. Каким должен быть предельный диаметр стального троса, чтобы он выдержал нагрузку F=9,8 кН? []

8.23. Найти длину медной проволоки, которая, будучи подвешена вертикально, начинает рваться под действием собственной силы тяжести. []

8.24. Решить предыдущую задачу для свинцовой проволоки. []

8.25. Для измерения глубины моря с парохода спустили гирю на стальном тросе. Какую наибольшую глубину можно измерить таким способом? Плотность морской воды кг/м³. Массой гири по сравнению с массой троса пренебречь. []

8.26. С крыши дома свешивается стальная проволока длиной =40 м и диаметром =2 мм. Какую нагрузку F может выдержать эта проволока? На сколько удлинится эта проволока, если на ней повиснет человек массой =70 кг? Будет ли наблюдаться остаточная деформация, когда человек отпустит проволоку? Предел упругости стали =294 МПа. []

8.27. К стальной проволоке радиусом =1 мм подвешен груз массой =100 кг. На какой наибольший угол можно отклонить проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась при прохождении этим грузом положения равновесия? []

8.28. К железной проволоке длиной =50 см и диаметром =1 мм привязана гиря массой =1 кг. С какой частотой можно равномерно вращать в вертикальной плоскости такую проволоку с грузом, чтобы она не разорвалась? []

8.29. Однородный медный стержень длиной =1 м равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. При какой частоте вращения стержень разорвется? []

8.30. Однородный стержень равномерно вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его середину. Стержень разрывается, когда скорость конца стержня достигает v=380 м/с. Найти предел прочности р материала стержня. Плотность материала стержня =7,9∙10³ кг/м³. []

8.31. К стальной проволоке длиной =1 м и радиусом r=1 мм подвесили груз массой =100 кг. Найти работу А растяжения проволоки. []

8.32. Из резинового шнура длиной =42 см и радиусом =3 мм сделана рогатка. Мальчик, стреляя из рогатки, растянул резиновый шнур на =20 см. Найти модуль Юнга для этой резины, если известно, что камень массой =0,02 кг, пущенный из рогатки, полетел со скоростью v=20 м/с. Изменением сечения шнура при растяжении пренебречь. []

8.33. Имеется резиновый шланг длиной =50 см и внутренним диаметром =1 см. Шланг натянули так, что его длина стала на =10 см больше. Найти внутренний диаметр натянутого шланга, если коэффициент Пуассона для резины =0,51 []

8.34. На рис. 54 АВ – железная проволока, CD – медная проволока такой же длины и с таким же поперечным сечением, BD – стержень длиной =80 см. На стержень подвесили груз массой =2 кг. На каком расстоянии х от точки В надо его подвесить, чтобы стержень остался горизонтальным? []

8.35. Найти момент пары сил М, необходимый для закручивания проволоки длиной =10 см и радиусом =0,1 мм на угол =10'. Модуль сдвига материала проволоки N=4,9∙10¹⁰ Па. []

8.36. Зеркальце гальванометра подвешено на проволоке длиной =10 см и диаметром =0,01 мм. Найти закручивающий момент М, соответствующий отклонению зайчика на величину а=1 мм по шкале, удаленной на расстояние L=1 м от зеркальца. Модуль сдвига материала проволоки N=4∙10¹⁰ Па. []

8.37. Найти потенциальную энергию W проволоки длиной =5 см и диаметром =0,04 мм, закрученной на угол =10'. Модуль сдвига материала проволоки N=5,9∙10¹⁰ Па. []

8.38. При протекании электрического тока через обмотку гальванометра на его рамку с укрепленным на ней зеркальцем действует закручивающий момент Н∙м. Рамка при этом поворачивается на малый угол . На это закручивание идет работа А=8,7∙10^-16 Дж. На какое расстояние а переместится зайчик от зеркальца по шкале, удаленной на расстояние L=1 м от гальванометра? []

8.39. Найти коэффициент Пуассона , при котором объем проволоки при растяжении не меняется. []

8.40. Найти относительное изменение плотности цилиндрического медного стержня при сжатии его давлением =9,8∙10⁷ Па. Коэффициент Пуассона для меди =0,34. []

8.41. Железная проволока длиной =5 м висит вертикально. Как изменится объем проволоки, если к ней привязать гирю массой =10 кг? Коэффициент Пуассона для железа =0,3. []

8.42.* Определить число узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной решетке. []

8.43.* Определить постоянную а и расстояние d между соседними атомами кристалла Са (решетка гранецентрированная кубической сингонии). Плотность кристалла Са =1,55' 10³ кг/м³. []

8.44.* Определить число элементарных ячеек в единице объема кристалла: а) хлористого цезия (решетка объемноцентрированная кубической сингонии); б) меди (решетка гранецентрированная кубической сингонии); в) кобальта, имеющего гексагональную структуру с плотной упаковкой. []

8.45.* Найти плотность кристалла неона (при =20 К), если известно, что его решетка гранецентрированная кубической сингонии. Постоянная решетки при той же температуре а=4,52 Å. []

8.46.* Определить относительную атомную массу кристалла, если известно, что расстояние между ближайшими соседними атомами d=3,04 А. Решетка гранецентрированная кубической сингонии. Плотность кристалла =0,534∙10³ кг/м³. []

8.47.* Используя метод упаковки шаров, найти отношение параметров с и а в гексагональной решетке с плотнейшей упаковкой. Указать причины отклонения этой величины в реальном кристалле от вычисленного. []

8.48.* Определить постоянные а и с решетки кристалла магния, который представляет собой гексагональную решетку с плотной упаковкой. Плотность кристалла магния кг/м³. []

8.49.* Вычислить постоянную а решетки бериллия, который представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой. Параметр решетки с=3,59 Å. Плотность кристалла бериллия =1,82∙10³ кг/м³. []

8.50.* Найти плотность кристалла Не (при Т=2 К), который представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой. Постоянная решетки а=3,57 Å. []

8.51.* Определить теплоту, необходимую для нагревания кристалла NaCl массой т=20 г на =2 К. Рассмотреть два случая:

а) нагревание происходит от температуры К; []

б) нагревание происходит от температуры К. []

8.52.* Исходя из классической теории вычислить удельные теплоемкости кристаллов: 1) ; 2) ; 3) и 4) []

8.53.* Вычислить изменение внутренней энергии кристалла Ni при нагревании его от =0°С до =200 °С. Масса кристалла 20 г. []

8.54.* Получить формулу для среднего значения энергии линейного гармонического осциллятора при тепловом равновесии. Вычислить значение при Т=300 К. []

8.55.* Определить теплоемкость и энергию системы, состоящей из N=10²⁶ трехмерных классических гармонических осцилляторов. Температура системы Т=300 К. []

8.56.* Характеристическая температура атомов Ag равна =165 К. Определить частоту колебаний атомов Ag по теории теплоемкости Эйнштейна. []

8.57.* Во сколько раз изменится средняя энергия квантового осциллятора, приходящаяся на одну степень свободы при повышении температуры до ? []

8.58.* Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить изменение внутренней энергии одного килограмм-атома кристалла при нагревании его на =2 К от температуры . []

8.59.* Вычислить по теории Эйнштейна нулевую энергию, которой обладает один килограмм-атом кристалла цинка. Характеристическая температура для цинка равна 230 К. []

8.60.* В теории Дебая твердое тело рассматривается как система из продольных и поперечных стоячих волн. Определить функцию распределения частот для кристалла с трехмерной решеткой. Принять, что число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N, N – число атомов в рассматриваемом объеме. []

8.61.* Используя формулу для энергии трехмерного кристалла

вывести выражение килограмм-атомной теплоемкости. []

8.62.* Килограмм-атомная теплоемкость трехмерного кристалла выражается формулой

Найти предельное выражение при низких температурах . []

8.63.* Для кристалла вычислить максимальную частоту собственных колебаний по теории Дебая. =180 К. []

8.64.* Кристалл нагревают от нуля до . Найти отношение изменения его внутренней энергии к величине нулевой энергии . Принять . []

8.65.* Вычислить изменение внутренней энергии одного килограмм-атома кристалла при его нагревании на =2 К от температуры . Использовать квантовую теорию Дебая. []

8.66.* Определить характеристическую температуру Дебая серебра, если для нагревания 10 г от =10 К до =20 К было затрачено =0,71 Дж теплоты. Принять . []

8.67.* Найти отношение характеристических температур Эйнштейна и Дебая. []

Указание. Использовать выражение для нулевых энергий, вычисленных по обеим теориям.

8.68.* Для кристалла с двухмерной решеткой получить функцию распределения частот . Кристалл состоит из невзаимодействующих слоев, число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N – число атомов кристалла). Рассматривать твердое тело как систему продольных и поперечных стоячих волн. []

8.69.* Зная функцию распределения частот (см. задачу 8.68) для кристалла с двухмерной решеткой, получить формулу для энергии кристалла, содержащего N (равное N_a) атомов. []

8.70.* Используя ответ задачи 8.69, получить выражение для теплоемкости килограмм-атома кристалла с двухмерной решеткой. []

8.71.* Вычислить нулевую энергию одного килограмм-атома двухмерного кристалла, если характеристическая температура Дебая =350 К. []

8.72.* Для кристалла с одномерной решеткой получить функцию распределения частот . Кристалл состоит из линейных цепей, не взаимодействующих между собой, число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N – число атомов кристалла). []

8.73.* Решить № 8.69 для кристалла с одномерной решеткой. []

8.74.* Решить № 8.70 для кристалла с одномерной решеткой. []

8.75.* Вычислить нулевую энергию одного килограмм-атома одномерного кристалла, если характеристическая температура Дебая =300 К. []

8.76.* Найти энергию фонона, соответствующего граничной частоте, если характеристическая температура =250 К. []

8.77.* Определить квазиимпульс фонона частотой . Среднее значение скорости звука в кристалле v=1380 м/с, =100 К. Дисперсией звуковых волн пренебречь. []

8.78.* Вычислить усредненное значение скорости звука в кристалле серебра. Модули упругости Е и G, а также плотность серебра считать известными. []

8.79.* Определить длину волны фононов в кристалле вольфрама, соответствующих частоте ; если =310 К. Дисперсией звуковых волн пренебречь. []

8.80.* Определить скорость звука в кристалле, характеристическая температура которого =300 К, а межатомное расстояние а=2,5 Å. []

8.81.* Вычислить среднюю длину свободного пробега фононов в кварце при некоторой температуре, если при той же температуре Вт/(м∙град) теплоемкость кДж/(м∙град), усредненное значение скорости звука м/с. Плотность кварца =2,65∙10³ кг/м³. []

8.82.* Вычислить давление фононного газа в свинце при абсолютном нуле. =85 К. []

8.83.* Определить фононное давление в меди при К. []

8.84.* Найти коэффициент объемного расширения для анизотропного кристалла, коэффициенты расширения которого по трем взаимно перпендикулярным направлениям составляют град^-1, град^-1, град^-1. []

8.85.* Известно, что температура тела в течение 20 мин. падает от 100 °С до 60 °С. Температура воздуха при этом равна 20 °С. Через сколько времени (от момента начала охлаждения) температура тела понизится до 25 °С? Считать, что скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурами тела и воздуха. []

8.86.* Стена (коэффициент теплопроводности =0,0015) имеет 30 см толщины. Найти, как зависит температура от расстояния от внешней поверхности стены, если температура равна 20 °С на внутренней и 0 °С на внешней поверхности. []

8.87.* Концы однородного стержня постоянного сечения поддерживаются при температурах и ( > ). Температурный коэффициент линейного расширения материала стержня равен . Чему равна длина стержня, если при 0 °С она была ? []

8.88.* Трубопровод тепловой магистрали (диаметр 20 см) защищен изоляцией толщиной 10 см; величина коэффициента теплопроводности =0,00017. Температура трубы 160 °С; температура внешнего покрова 30 °С. Найти распределение температуры внутри изоляции, а также количество тепла, отдаваемое 1 погонным метром трубы. []

8.89.* Стальной трос удерживает кабину лифта, максимальная масса которого не более 2500 кг. Если максимальное ускорение лифта равно 1,5 м/с², то каким должен быть диаметр стального троса при запасе прочности 5,0? []

8.90.* Определите относительное удлинение алюминиевой проволоки, если при ее растяжении была затрачена работа А=14 Дж. Длина проволоки =1 м, сечение S=2 мм². []

8.91.* Существует максимальная высота однородной вертикальной колонны из любого материала, не зависящая от площади поперечного сечения, при превышении которой колонна разрушится. Вычислите эту высоту для колонны из стали. Предел прочности стали на сжатие 5∙10⁸ Н/м², плотность 7,8∙10³ кг/м³. []

8.92.* Толщина биметаллической пластинки, составленной из одинаковых полосок стали и цинка, равна d=0,1 мм. Определить радиус кривизны пластинки при повышении температуры на =10 К от температуры, при которой пластинка была ровной. []

8.93.* Найти распределение температуры в пространстве между двумя концентрическими сферами с радиусами и , заполненном проводящим тепло однородным веществом, если температуры обеих сфер постоянны и равны и . []

8.94.* По однородному цилиндрическому проводу радиусом R без изоляции течет ток силой . Определить стационарное распределение температуры в проводе, если температура его поверхности ( ) поддерживается постоянной. Удельное сопротивление проводника . []

8.95.* Какова работа выхода из металла, если повышение температуры нити накала, сделанной из этого металла, от 2000 К до 2001 К увеличивает ток насыщения в электронной лампе на 1 %? []

8.96.* Определить ток насыщения в электронной лампе с вольфрамовым катодом при следующих условиях: Длина и диаметр нити 3 см и 0,1 мм; температура накала 2700 К; постоянная В для вольфрама равна 60,2 А/(см²∙К²). []

8.97.* Германий имеет при некоторой температуре удельное сопротивление =0,48 Ом∙м. Определить концентрацию носителей тока , если подвижности электронов =0,36 м²/(В∙с), а дырок =0,16 м²/(В∙с). []

8.98.* Определить подвижность и концентрацию дырок в полупроводнике р-типа, если его удельная проводимость =112 Ом^-1 м^-1, а постоянная Холла м³/Кл. []

8.99.* Определить уровень Ферми в полупроводнике, если энергия активации эВ. За нулевой уровень отсчета кинетической энергии электронов принять низший уровень зоны проводимости. []