16.Волновая оптика

§ 16. Волновая оптика

По принципу Доплера, частота – света, воспринимаемая регистрирующим прибором, связана с частотой , посылаемой источником света, соотношением

,

где v – скорость регистрирующего прибора относительно источника, с – скорость распространения света. Положительное значение v соответствует удалению источника света. При v<<с предыдущую формулу приближенно можно представить в виде

.

Расстояние между интерференционными полосами на экране, расположенном параллельно двум когерентным источникам света, равно

,

где – длина волны света, L – расстояние от экрана до источников света, отстоящих друг от друга на расстоянии d; (при этом L>>d).

Результат интерференции света в плоскопараллельных пластинках (в проходящем свете) определяется формулами:

усиление света

,

ослабление света

,

где h – толщина пластинки, n – показатель преломления, r – угол преломления, – длина волны света. В отраженном свете условия усиления и ослабления света обратны условиям в проходящем свете.

Радиусы светлых колец Ньютона (в проходящем свете) определяются формулой

,

радиусы темных колец

где R – радиус кривизны линзы. В отраженном свете расположение светлых и темных колец обратно их расположению в проходящем свете.

Положение минимумов освещенности при дифракции от щели, на которую нормально падает пучок параллельных лучей, определяется условием

,

где – ширина щели, – угол дифракции и – длина волны падающего света.

В дифракционной решетке максимумы света наблюдаются в направлениях, составляющих с нормалью к решетке угол , удовлетворяющий следующему соотношению (при условии, что свет падает на решетку нормально):

,

где d – постоянная решетка, – угол дифракции, – длина волны и k – порядок спектра. Постоянная или период, решетки , где – число щелей решетки, приходящееся на единицу длины решетки.

Разрешающая способность дифракционной решетки определяется формулой

,

где – общее число щелей решетки, k – порядок спектра, и – длины волн двух близких спектральных линий, еще разрешаемых решеткой.

Угловой дисперсией дифракционной решетки называется величина

.

Линейной дисперсией дифракционной решетки называется величина, численно равная

,

где F – фокусное расстояние линзы, проектирующей спектр на экран.

При отражении естественного света от диэлектрического зеркала имеют место формулы Френеля:

, ,

где – интенсивность световых колебаний в отраженном луче, совершающихся в направлении, перпендикулярном к плоскости падения света; – интенсивность световых колебаний в отраженном луче, совершающихся в направлении, параллельном плоскости падения света; – интенсивность падающего естественного света, – угол падения и r – угол преломления.

Если , то =0. В этом случае угол падения и показатель преломления n диэлектрического зеркала связаны соотношением

(закон Брюстера).

Интенсивность света, прошедшего через поляризатор и анализатор

, (закон Малюса)

где – угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора, – интенсивность света, прошедшего через поляризатор.

16.1. При фотографировании спектра Солнца было найдено, что желтая спектральная линия (λ=589 нм) в спектрах, полученных от левого и правого краев Солнца, была смещена на Δλ=0,008 нм. Найти скорость v вращения солнечного диска. []

16.2. Какая разность потенциалов U была приложена между электродами гелиевой разрядной трубки, если при наблюдении вдоль пучка α-частиц максимальное доплеровское смещение линии гелия (λ=492,2 нм) получилось равным Δλ=0,8 нм? []

16.3. При фотографировании спектра звезды ε Андромеды было найдено, что линия титана (λ=495,4 нм) смещена к фиолетовому концу спектра на Δλ=0,17 нм. Как движется звезда относительно Земли? []

16.4.* Найти число полос интерференции, получающихся с помощью бипризмы, если показатель преломления ее п, преломляющий угол α, длина волны источника λ. Расстояние от источника света до бипризмы равно а, а расстояние от бипризмы до экрана b. []

16.5. В опыте Юнга отверстия освещались монохроматическим светом (λ=600 нм). Расстояние между отверстиями d=1 мм, расстояние от отверстий до экрана L=3 м. Найти положение трех первых светлых полос. []

16.6. В опыте с зеркалами Френеля расстояние между мнимыми изображениями источника света d=0,5 мм, расстояние до экрана L=5 м. В зеленом свете получились интерференционные полосы, расположенные на расстоянии l=5 мм друг от друга. Найти длину волны λ зеленого света. []

16.7. В опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей помещалась тонкая стеклянная пластинка, вследствие чего центральная светлая полоса смещалась в положение, первоначально занятое пятой светлой полосой (не считая центральной). Луч падает перпендикулярно к поверхности пластинки. Показатель преломления пластинки п=1,5. Длина волны λ=600 нм. Какова толщина h пластинки? []

16.8. В опыте Юнга стеклянная пластинка толщиной h=12 см помещается на пути одного из интерферирующих лучей перпендикулярно к лучу. На сколько могут отличаться друг от друга показатели преломления в различных местах пластинки, чтобы изменение разности хода от этой неоднородности не превышало Δ=1 мкм? []

16.9. На мыльную пленку падает белый свет под углом i=45° к поверхности пленки. При какой неизменной толщине h пленки отраженные лучи будут окрашены в желтый цвет (λ=600 нм)? Показатель преломления мыльной воды п=1,33. []

16.10. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует клин вследствие стекания жидкости. При наблюдении интерференции полос в отраженном свете ртутной дуги (λ=546,1 нм) оказалось, что расстояние между пятью полосами l=2 см. Найти угол γ клина. Свет падает перпендикулярно к поверхности пленки. Показатель преломления мыльной воды п=1,33. []

16.11. Мыльная пленка, расположенная вертикально, образует клин вследствие стекания жидкости. Интерференция наблюдается в отраженном свете через красное стекло (λ₁=631 нм). Расстояние между соседними красными полосами при этом l₁=3 мм. Затем эта же пленка наблюдается через синее стекло (λ₂=400 нм). Найти расстояние l₂ между соседними синими полосами. Считать, что за время измерений форма пленки не изменяется и свет падает перпендикулярно к поверхности пленки. []

16.12. Пучок света (λ=582 нм) падает перпендикулярно к поверхности стеклянного клина. Угол клина γ=20". Какое число k₀ темных интерференционных полос приходится на единицу длины клина? Показатель преломления стекла п=1,5. []

16.13.* Тонкая пленка с показателем преломления 1,5 освещается светом с длиной волны λ=600 нм. При какой минимальной толщине пленки исчезнут интерференционные полосы? []

16.14. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R=8,6 м. Наблюдение ведется в отраженном свете. Измерениями установлено, что радиус четвертого темного кольца (считая центральное темное пятно за нулевое) r₄=4,5 мм. Найти длину волны λ падающего света. []

16.15. Установка для получения колец Ньютона освещается белым светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R=5 м. Наблюдение ведется в проходящем свете. Найти радиусы r_с и r_кр четвертого синего кольца (λ_с=400 нм) и третьего красного кольца (λ_кр=630 нм). []

16.16. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R=15 м. Наблюдение ведется в отраженном свете. Расстояние между пятым и двадцать пятым светлыми кольцами Ньютона l=9 мм. Найти длину волны λ монохроматического света. []

16.17. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. Наблюдение ведется в отраженном свете. Расстояние между вторым и двадцатым темными кольцами l₁=4,8 мм. Найти расстояние l₂ между третьим и шестнадцатым темными кольцами Ньютона. []

16.18. Установка для получения колец Ньютона освещается светом от ртутной дуги, падающим по нормали к поверхности пластинки. Наблюдение ведется в проходящем свете. Какое по порядку светлое кольцо, соответствующее линии λ₁=579,1 нм, совпадает со следующим светлым кольцом, соответствующим линии λ₂=577 нм? []

16.19. Установка для получения колец Ньютона освещается светом с длиной волны λ=589 нм, падающим по нормали к поверхности пластинки. Радиус кривизны линзы R=10 м. Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью. Найти показатель преломления п жидкости, если радиус третьего светлого кольца в проходящем свете r₃=3,65 мм. []

16.20. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны λ=600 нм, падающим по нормали к поверхности пластинки. Найти толщину h воздушного слоя между линзой и стеклянной пластинкой в том месте, где наблюдается четвертое темное кольцо в отраженном свете. []

16.21.* Найти радиус r центрального темного пятна колец Ньютона, если между линзой и пластинкой налит бензол (п=1,5). Радиус кривизны линзы R=1 м. Показатели преломления линзы и пластинки одинаковы. Наблюдение ведется в отраженном свете с длиной волны λ=5890 Å. []

16.22. Установка для получения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим по нормали к поверхности пластинки. После того как пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнили жидкостью, радиусы темных колец в отраженном свете уменьшились в 1,25 раза. Найти показатель преломления п жидкости. []

16.23. В опыте с интерферометром Майкельсона для смещения ^: интерференционной картины на k=500 полос потребовалось переместить зеркало на расстояние L=0,161 мм. Найти длину волны λ падающего света. []

16.24. Для измерения показателя преломления аммиака в одно из плечей интерферометра Майкельсона поместили откачанную трубку длиной l=14 см. Концы трубки закрыли плоскопараллельными стеклами. При заполнении трубки аммиаком интерференционная картина для длины волны λ=590 нм сместилась на k=180 полос. Найти показатель преломления п аммиака. []

16.25. На пути одного из лучей интерферометра Жамена (рис. 128) поместили трубку длиной l=10 см. При заполнении трубки хлором интерференционная картина для длины волны λ=590 нм сместилась на k=131 полосу. Найти показатель преломления п хлора. []

16.26. Пучок белого света падает по нормали к поверхности стеклянной пластинки толщиной d=0,4 мкм. Показатель преломления стекла п=1,5. Какие длины волн λ, лежащие в пределах видимого спектра (от 400 до 700 нм), усиливаются в отраженном свете? []

16.27. На поверхность стеклянного объектива (n₁=1,5) нанесена тонкая пленка, показатель преломления которой n₂=1,2 («просветляющая» пленка). При какой наименьшей толщине d этой пленки произойдет максимальное ослабление отраженного света в средней части видимого спектра? []

16.28.* Однослойное оптическое покрытие снижает до нуля отражение света с λ=550 нм. Во сколько раз снижает отражение то же покрытие при λ=450 нм и λ=700 нм по сравнению со случаем, когда покрытие отсутствует? []

16.29. Найти радиусы первых пяти зон Френеля, если расстояние от источника света до волновой поверхности a=1 м, расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения b=1 м. Длина волны света λ=500 нм. []

16.30. Найти радиусы r_k первых пяти зон Френеля для плоской волны, если расстояние от волновой поверхности до источника наблюдения b=1 м. Длина волны света λ=500 нм. []

16.31. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии от точечного источника монохроматического света (λ=600 нм). На расстоянии а=0,5 от источника помещена круглая непрозрачная преграда диаметром D=1 см. Найти расстояние l, если преграда закрывает только центральную зону Френеля. []

16.32. Дифракционная картина наблюдается на расстоянии l=4 м от точечного источника монохроматического света (λ=500 нм). Посередине между экраном и источником света помещена диафрагма с круглым отверстием. При каком радиусе R отверстия центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, будет наиболее темным? []

16.33. На диафрагму с диаметром отверстия D=1,96 мм падает нормально параллельный пучок монохроматического света (λ=600 нм). При каком наибольшем расстоянии lI между диафрагмой и экраном в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно? []

16.34.* Диск из стекла с показателем преломления п (для длины волны λ) закрывает полторы зоны Френеля для точки наблюдения А. При какой толщине диска b освещенность в А будет наибольшей? []

16.35.* Какова интенсивность I в фокусе зонной пластинки, если закрыты все зоны, кроме первой? Интенсивность света без пластинки I₀. []

16.36. На щель шириной а=6λ падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны λ. Под каким углом φ будет наблюдаться третий дифракционный минимум света? []

16.37.* На узкую щель нормально падает параллельный пучок монохроматического света. Определить относительную интенсивность вторичных максимумов. []

16.38. Какое число N₀штрихов на единицу длины имеет дифракционная решетка, если зеленая линия ртути (λ=546,1 нм) в спектре первого порядка наблюдается под углом φ=19°8'? []

16.39. На дифракционную решетку нормально падает пучок света. Натриевая линия (λ₁=589 нм) дает в спектре первого порядка угол дифракции φ₁=17°8'. Некоторая линия дает в спектре второго порядка угол дифракции φ₂=24°12'. Найти длину волны λ₂ этой линии и число штрихов N₀ на единицу длины решетки. []

16.40. На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки. Какова должна быть постоянная d дифракционной решетки, чтобы в направлении φ=41° совпадали максимумы линий λ₁=656,3 нм и λ₂=410,2 нм? []

16.41. На дифракционную решетку нормально падает пучок света. При повороте трубы гониометра на угол φ в поле зрения видна линия λ₁=440 нм в спектре третьего порядка. Будут ли видны под этим же углом φ другие спектральные линии λ₂, соответствующие длинам волн в пределах видимого спектра (от 400 до 700 нм)? []

16.42. На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки, наполненной гелием. На какую линию λ₂ в спектре третьего порядка накладывается красная линия гелия (λ₁=670 нм) спектра второго порядка? []

16.43. На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки, наполненной гелием. Сначала зрительная труба устанавливается на фиолетовые линии (λ_ф=389 нм) по обе стороны от центральной полосы в спектре первого порядка. Отсчеты по лимбу вправо от нулевого деления дали φ_ф1=27°33' и φ_ф2=36°27'. После этого зрительная труба устанавливается на красные линии по обе стороны от центральной полосы в спектре первого порядка. Отсчеты по лимбу вправо от нулевого деления дали соответственно φ_кр1=23°54' и φ_кр2=40°6'. Найти длину волны λ_кр красной линии спектра гелия. []

16.44. Найти наибольший порядок k спектра для желтой линии натрия (λ=589 нм), если постоянная дифракционной решетки d=2 мкм. []

16.45. На дифракционную решетку нормально падает пучок монохроматического света. Максимум третьего порядка наблюдается под углом φ=36°48' к нормали. Найти постоянную d решетки, выраженную в длинах волн падающего света. []

16.46.* Монохроматический свет падает на прозрачную дифракционную решетку под углом θ к нормали. Постоянная решетки d. Определить соотношение для дифракционных максимумов. []

16.47.* Дифракционная решетка с 5500 штрих/см имеет ширину 3,6 см. На решетку падает свет с длиной волны 624 нм. На сколько могут различаться две длины волны, если их надо разрешить в любом порядке? В каком порядке достигается наилучшее разрешение? []

16.48. Какова должна быть постоянная d дифракционной решетки, чтобы в первом порядке были разрешены линии спектра калия λ₁=404,4 нм и λ₂=404,7 нм? Ширина решетки а=3 см. []

16.49. Какова должна быть постоянная d дифракционной решетки, чтобы в первом порядке был разрешен дублет натрия λ₁=589 нм и λ₂=589,6 нм? Ширина решетки а=2,5 см. []

16.50. Постоянная дифракционной решетки 2 мкм. Какую разность длин волн Δλ может разрешить эта решетка в области желтых лучей (λ=600 нм) в спектре второго порядка? Ширина решетки а=2,5 см. []

16.51. Постоянная дифракционной решетки d=2,5 мкм. Найти угловую дисперсию dφ/dλ решетки для λ=589 нм в спектре первого порядка. []

16.52. Угловая дисперсия дифракционной решетки для λ=668 нм в спектре первого порядка dφ/dλ=2,02^.10⁵ рад/м. Найти период d дифракционной решетки. []

16.53. Найти линейную дисперсию D дифракционной решетки в условиях предыдущей задачи, если фокусное расстояние линзы, проектирующей спектр на экран, равно F=40 см. []

16.54. На каком расстоянии l друг от друга будут находиться на экране две линии ртутной дуги (λ₁=577 нм и λ₂=579,1 нм) в спектре первого порядка, полученном при помощи дифракционной решетки? Фокусное расстояние линзы, проектирующей спектр на экран, F=0,6m. Постоянная решетки d=2 мкм. []

16.55. На дифракционную решетку нормально падает пучок света. Красная линия (λ₁=630 нм) видна в спектре третьего порядка под углом φ=60°. Какая спектральная линия λ₂ видна под этим же углом в спектре четвертого порядка? Какое число штрихов N₀ на единицу длины имеет дифракционная решетка? Найти угловую дисперсию dφ/dλ этой решетки для длины волны λ₁=630 нм в спектре третьего порядка. []

16.56.* Найти условие равенства нулю интенсивности т-го максимума для дифракционной решетки с периодом d и шириной щели b. []

16.57. Какое фокусное расстояние F должна иметь линза, проектирующая на экран спектр, полученный при помощи дифракционной решетки, чтобы расстояние между двумя линиями калия λ₁=404,4 нм и λ₂=404,7 нм в спектре первого порядка было равно l=0,1 мм? Постоянная решетки d=2 мкм. []

16.58. Найти угол i_Б полной поляризации при отражении света от стекла, показатель преломления которого п=1,57. []

16.59. Предельный угол полного внутреннего отражения для некоторого вещества i=45°. Найти для этого вещества угол i_Б полной поляризации. []

16.60. Под каким углом i_Б к горизонту должно находиться Солнце, чтобы его лучи, отраженные от поверхности озера, были наиболее полно поляризованы? []

16.61. Найти показатель преломления п стекла, если при отражении от него света отраженный луч будет полностью поляризован при угле преломления β=30°. []

16.62. Луч света проходит через жидкость, налитую в стеклянный (п=1,5) сосуд, и отражается от дна. Отраженный луч полностью поляризован при падении его на дно сосуда под углом i_Б=42°37'. Найти показатель преломления п жидкости. Под каким углом i должен падать на дно сосуда луч света, идущий в этой жидкости, чтобы наступило полное внутреннее отражение? []

16.63. Пучок плоскополяризованного света (λ=589 нм) падает на пластинку исландского шпата перпендикулярно к его оптической оси. Найти длины волн λ_o и λ_е обыкновенного и необыкновенного лучей в кристалле, если показатели преломления исландского шпата для обыкновенного и для необыкновенного лучей равны п_o=1,66 и п_е=1,49. []

16.64. Найти угол φ между главными плоскостями поляризатора и анализатора, если интенсивность естественного света, проходящего через поляризатор и анализатор, уменьшается в 4 раза. []

16.65. Естественный свет проходит через поляризатор и анализатор, поставленные так, что угол между их главными плоскостями равен φ. Как поляризатор, так и анализатор поглощают и отражают 8 % падающего на них света. Оказалось, что интенсивность луча, вышедшего из анализатора, равна 9 % интенсивности естественного света, падающего на поляризатор. Найти угол φ. []

16.66. Найти коэффициент отражения р естественного света, падающего на стекло (п=1,54) под углом i_Б полной поляризациям Найти степень поляризации Р лучей, прошедших в стекло. []

16.67.* Стопа Столетова состоит из десяти тонких плоскопараллельных стеклянных пластинок, на которые луч падает под углом полной поляризации. Вычислить степень поляризации преломленного луча в зависимости от числа N пройденных им пластинок (п=1,5). Падающий свет естественный. []

16.68. Найти коэффициент отражения р и степень поляризации P₁ отраженных лучей при падении естественного света на стекло (п=1,5) под углом i=45°. Какова степень поляризации P₂ преломленных лучей? []