12.Гармонические колебательное движение и волны
.doc12.1. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой А=50 мм, периодом Т=4 с и начальной фазой φ=π/4. Найти смещение х колеблющейся точки от положения равновесия при t=0 и t=1,5 с. Начертить график этого движения. []
12.2. Написать уравнение гармонического колебательного движения с амплитудой А=5 см и периодом Т=8 с, если начальная фаза φ колебаний равна: а) 0; б) π/2; в) π; г) 3π/2; д) 2π. Начертить график этого движения во всех случаях. []
12.3. Начертить на одном графике два гармонических колебания с одинаковыми амплитудами А1=А2=2 см и одинаковыми периодами Т1=Т2=8 с, но имеющими разность фаз φ2 – φ1, равную: а) π/4; б) π/2; в) π; г) 2π []
12.4.* Определить начальную фазу колебаний тела, если через 0,25 с от начала движения смещение было равно половине амплитуды. Период колебаний 6 с. []
12.5. Начальная фаза гармонического колебания φ=0. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости? []
12.6. Амплитуда гармонического колебания А=5 см, период Т=4 с. Найти максимальную скорость υmax колеблющейся точки и ее максимальное ускорение amах. []
12.7.* Колебания материальной точки совершаются по закону х=0,03sinπ(T+0,5). Амплитуда и период колебаний заданы в системе СИ. Определить наибольшие значения скорости и ускорения. Чему равна фаза колебаний спустя 5 с от начала движения? []
12.8. Дано уравнение движения точки х=2sin(πt/2+π/4) см. Найти период колебаний Т, максимальную скорость υmax и максимальное ускорение аmах точки. []
12.9.* Смещение гармонического осциллятора в зависимости от времени дается выражением ;=2,4cos(πt/2+π/6), где х измерена в метрах, а t – в секундах. Найти: а) период и частоту колебаний; б) смещение и скорость в момент времени t=0; в) скорость и ускорение в момент времени t=10 с. []
12.10.* Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, задается уравнением υ(t)=–6sin2πt. Записать зависимость смещения этой точки от времени. []
12.11.* Две частицы А и В совершают гармонические колебания с одинаковой амплитудой (10 см) по одной и той же прямой. Частоты их движений составляют ωA=20 с–1; ωB=21 с–1 соответственно. В момент времени t=0 обе частицы проходят точку х=0 в положительном направлении, а) На каком расстоянии они будут находиться друг от друга в момент t=0,350 с? б) Какова скорость частицы В относительно А в этот момент времени? []
12.12. Точка совершает гармоническое колебание. Период колебаний T=2 с, амплитуда А=50 мм, начальная фаза φ=0. Найти скорость υ точки в момент времени, когда смещение точки от положения равновесия х=25 мм. []
12.13. Написать уравнение гармонического колебательного движения, если максимальное ускорение точки аmах=49,3 см/с2, период колебаний T=2 с и смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени х0=25 мм. []
12.14.* Частица движется с постоянной скоростью 24 м/с по окружности с центром в начале координат. В момент времени t=0 частица находится в точке х=3,0 м; у=4,2 м. Чему равна частота вращения? Чему равна начальная фаза φ0? Каким выражением описывается траектория этой частицы в плоскости х, у? []
12.15. Уравнение колебания материальной точки массой т=16 г имеет вид х=0,1sin(πt/8+π/4) м. Построить график зависимости от времени t (в пределах одного периода) силы F, действующей на точку. Найти максимальную силу Fmax. []
12.16. Уравнение колебаний материальной точки массой т=10 г имеет вид х=5sin(πt/5+π/4) см. Найти максимальную силу Fmax, действующую на точку, и полную энергию W колеблющейся точки. []
12.17. Уравнение колебания материальной точки массой т=16 г имеет вид х=2 sin(πt/4+π/4) см. Построить график зависимости от времени t (в пределах одного периода) кинетической Wк, потенциальной Wп и полной W энергий точки. []
12.18. Найти отношение кинетической энергии Wк точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии Wп для моментов времени: a) t=Т/12; б) t=T/8; в) t=Т/6. Начальная фаза колебаний φ=0. []
12.19. Найти отношение кинетической энергии Wк точки, совершающей гармоническое колебание, к ее потенциальной энергии Wп для моментов, когда смещение точки от положения равновесия составляет: а) х=А/4; б) х=А/2; в) х=А, где А – амплитуда колебаний. []
12.20. Полная энергия тела, совершающего гармоническое колебательное движение, W=30 мкДж; максимальная сила, действующая на тело, Fmax=1,5 мН. Написать уравнение движения этого тела, если период колебаний Т=2 с и начальная фаза φ=π/3. []
12.21. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А=2 см, полная энергия колебания W=0,3 мкДж. При каком смещении х от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F=22,5 мкН? []
12.22. Шарик, подвешенный на нити длиной I=2 м, отклоняют на угол а=4° и наблюдают его колебания. Полагая колебания незатухающими гармоническими, найти скорость шарика при прохождении им положения равновесия. Проверить полученное решение, найдя скорость шарика при прохождении им положения равновесия из уравнений механики. []
12.23. К пружине подвешен груз массой m=10 кг. Зная, что пружина под влиянием силы F=9,8 Н растягивается на l=1,5 см, найти период T вертикальных колебаний груза. []
12.24. К пружине подвешен груз. Максимальная кинетическая энергия колебаний груза Wк max=1 Дж. Амплитуда колебаний A=5 см. Найти жесткость k пружины. []
12.25. Как изменится период вертикальных колебаний груза, висящего на двух одинаковых пружинах, если от последовательного соединения пружин перейти к параллельному их соединению? []
12.26.* Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральной пружине, на 600 г, то период колебаний возрастает в 2 раза. Определить массу первоначально подвешенного груза. []
12.27. К пружине подвешена чашка весов с гирями. При этом период вертикальных колебаний Т1=0,5 с. После того как на чашку весов положили еще добавочные гири, период вертикальных колебаний стал равным T2=0,6 с. На сколько удлинилась пружина от прибавления этого добавочного груза? []
12.28. К резиновому шнуру длиной l=40 см и радиусом r=1 мм подвешена гиря массой m=0,5 кг. Зная, что модуль Юнга резины Е=3 мН/м2, найти период Т вертикальных колебаний гири. Указание. Учесть, что жесткость k резины связана с модулем Юнга Е соотношением k=SE/l, где S – площадь поперечного сечения резины, l – ее длина. []
12.29.* Груз массой m осторожно прикрепляют к концу свободно висящей пружины. Когда груз освобождают, он опускается на 30 см, а затем начинает колебаться. Чему равна частота колебаний? []
12.30. Ареометр массой m=0,2 кг плавает в жидкости. Если погрузить его немного в жидкость и отпустить, то он начнет совершать колебания с периодом Т=3,4 с. Считая колебания незатухающими, найти плотность жидкости ρ, в которой плавает ареометр. Диаметр вертикальной цилиндрической трубки ареометра d=1 см. []
12.31.* Математический маятник отклонили на 90° от вертикали и отпустили. В тот момент, когда маятник проходил положение равновесия, точка его подвеса стала двигаться вверх с ускорением а. На какой максимальный угол отклонится маятник от вертикали? []
12.32.* Горизонтальная подставка совершает в вертикальном направлении гармонические колебания у=a cosωt. На платформе лежит шайба из абсолютно неупругого материала.
а) При каком условии шайба будет отделяться от подставки? []
б) В каком положении находится и в каком направлении движется подставка в момент отрыва от нее шайбы? []
в) На какую высоту h будет подниматься шайба над ее положением, отвечающим среднему положению подставки, в случае, если а=20 см, ω=10 с–1? []
12.33.* Бревно массы М=20 кг висит на двух шнурах длины l=1 м каждый. В торец бревна попадает и застревает в нем пуля массы m=10 г, летящая со скоростью υ=500 м/с. Найти амплитуду φm и период T колебаний бревна. Трением пренебречь. []
12.34.* Через блок массы М=5 кг и радиуса R=10 см, который является сплошным однородным цилиндром, на шнуре подвешен груз массы m=1 кг. Другой конец шнура скреплен через пружину жесткости k=103 Н/м с опорой. Цилиндр может вращаться вокруг оси без трения. Пренебрегая проскальзыванием шнура по блоку, найти: а) частоту ω малых колебаний груза; б) максимальную силу натяжения шнура слева F1m и справа F2m от блока в случае, когда амплитуда колебаний a=5 см. []
12.35.* Два шара с массами m1 и m2 скользят вдоль тонкого горизонтального стержня. Шары скреплены невесомой пружиной, коэффициент жесткости которой равен k. Раздвинув шары, их затем отпускают. Определить:
а) смещение центра масс системы; []
б) частоту w возникших колебаний; []
в) максимальное значение относительной скорости шаров, если начальное относительное смещение шаров равно а. []
12.36.* В условии предыдущей задачи первоначально шары неподвижны. Затем шару массы m1 сообщили импульс р1=m1υ0. Определить: а) скорость υc центра масс системы; б) энергию Епост поступательного и Екол колебательного движения системы; в) частоту ω и амплитуду хт колебаний. []
12.37.* К наклонной стене подвешен маятник длины l. Маятник отклонили от вертикали на малый угол, в два раза превышающий угол наклона стены к вертикали, и отпустили. Найти период колебаний маятника, если удары о стену абсолютно упругие. []
12.38.* Тело массы т, подвешенное на пружине жесткости k, лежит на подставке. Подставку мгновенно убирают. Написать уравнения колебаний тела y(t), если первоначально пружина: а) не деформирована; б) сжата на Δl. []
12.39.* Точка подвеса двойного маятника совершает гармонические колебания в горизонтальном направлении. Длина нижней нити равна l, масса нижнего шарика равна т, верхнего – М. Какова должна быть частота колебаний точки подвеса, чтобы верхняя часть нити оставалась вертикальной? []
12.40.* У двойного маятника точка подвеса неподвижна. Маятник совершает гармонические колебания. Какова их частота? Массы шариков равны т, длина нижней нити l. []
12.41.* Однородный круглый диск радиусом R подвешен за край. Чему равна частота его малых колебаний относительно точки подвеса? []
12.42.* Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 35 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна быть точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной. []
12.43. Написать уравнение движения, получающегося в результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебательных движений с одинаковым периодом Т=8 с и одинаковой амплитудой А=0,02 м. Разность фаз между этими колебаниями φ2–φ1=π/4. Начальная фаза одного из этих колебаний равна нулю. []
12.44. Найти амплитуду А и начальную фазу φ гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, данных уравнениями x1=0,02 sin(5πt+π/2) м и х2=0,03 sin(5πt+π/4) м. []
12.45. В результате сложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и одинаковыми периодами получается результирующее колебание с тем же периодом и той же амплитудой. Найти разность фаз φ2–φ1 складываемых колебаний. []
12.46. Найти амплитуду А и начальную фазу φ гармонического колебания, полученного от сложения одинаково направленных колебаний, данных уравнениями х1=4sinπt см и х2=3sin(πt+π/2) см. Написать уравнение результирующего колебания. Дать векторную диаграмму сложения амплитуд. []
12.47. Уравнение колебаний имеет вид х=A sin2πv1t, где амплитуда А изменяется со временем по закону А=А0 (1+cos2πv2t). Из каких гармонических колебаний состоит колебание? Построить график слагаемых и результирующего колебаний для А0=4 см, v1=2 Гц, v2=1 Гц. Начертить спектр результирующего колебания. []
12.48. Написать уравнение результирующего колебания, получающегося в результате сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковой частотой v1=v2=5 Гц и с одинаковой начальной фазой φ1=φ2=π/3. Амплитуды колебаний равны А1=0,10 м и А2=0,05 м. []
12.49. Точка участвует в двух колебаниях одинакового периода с одинаковыми начальными фазами. Амплитуды колебаний равны А1=3 см и А2=4 см. Найти амплитуду А результирующего колебания, если колебания совершаются: а) в одном направлении; б) в двух взаимно перпендикулярных направлениях. []
12.50. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях х=2sinωt м и у=2cosωt м. Найти траекторию результирующего движения точки. []
12.51. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях х=cosπt и у=cosπt/2. Найти траекторию результирующего движения точки. []
12.52. Точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях х=sinπt и у=2sin(πt+π/2). Найти траекторию результирующего движения точки и начертить ее с нанесением масштаба. []
12.53.* Точка подвеса математического маятника, период собственных колебаний которого равен T=1 с, совершает синусоидальные колебания с амплитудой Ап=1 см и периодом Tп=1,1 с. Какова амплитуда А установившихся колебаний маятника? []
12.54. Период затухающих колебаний Т=4 с; логарифмический декремент затухания χ=1,6; начальная фаза φ=0. При t=T/4 смещение точки х=4,5 см. Написать уравнение движения этого колебания. Построить график этого колебания в пределах двух периодов. []
12.55. Построить график затухающего колебания, данного уравнением х=е–0,1t sinπt/4 м. []
12.56. Уравнение затухающих колебаний дано в виде х=е–0,25t sinπt/2 м. Найти скорость υ колеблющейся точки в моменты времени t, равные: 0, Т, 2Т, 3T и 4Т. []
12.57. Логарифмический декремент затухания математического маятника χ=0,2. Во сколько раз уменьшится амплитуда колебаний за одно полное колебание маятника? []
12.58.* При наблюдении затухающих колебаний оказалось, что для двух последовательных колебаний амплитуда второго меньше амплитуды первого на 60 %. Период колебаний Т=0,5 с. Определить коэффициент затухания и собственную частоту незатухающих колебаний. []
12.59. Математический маятник длиной l=24,7 см совершает затухающие колебания. Через какое время t энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить при значении логарифмического декремента затухания: а) х=0,01; б) х=1. []
12.60. Математический маятник совершает затухающие колебания с логарифмическим декрементом затухания х=0,2. Во сколько раз уменьшится полное ускорение маятника в его крайнем положении за одно колебание? []
12.61. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за время t=1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз уменьшится амплитуда за время t=3 мин? []
12.62.* Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника А0=3 см. Через t1=10 с амплитуда стала A0=1 см. Через какое время амплитуда станет равной А2=0,3 см? []
12.63. К вертикально висящей пружине подвешивают груз. При этом пружина удлиняется на Δl=9,8 см. Оттягивая этот груз вниз и отпуская его, заставляют груз совершать колебания. Каким должен быть коэффициент затухания δ, чтобы: а) колебания прекратились через время t=10 с (считать условно, что колебания прекратились, если их амплитуда упала до 1 % от начальной); б) груз возвращался в положение равновесия апериодически; в) логарифмический декремент затухания колебаний был равным χ=6? []
12.64. Тело массой m=10 г совершает затухающие колебания с максимальной амплитудой Amах=7 см, начальной фазой φ=0 и коэффициентом затухания δ=1,6 с–1. На это тело начала действовать внешняя периодическая сила F, под действием которой установились вынужденные колебания. Уравнение вынужденных колебаний имеет вид х=5sin(10πt–3π/4)см. Найти (с числовыми коэффициентами) уравнение собственных колебаний и уравнение внешней периодической силы. []
12.65. Гиря массой т=0,2 кг, висящая на вертикальной пружине, совершает затухающие колебания с коэффициентом затухания δ=0,75 с–1. Жесткость пружины к=0,5 кН/м. Начертить зависимость амплитуды А вынужденных колебаний гирьки от частоты ω внешней периодической силы, если известно, что максимальное значение внешней силы F0=0,98 Н. Для построения графика найти значение А для частот: ω=0, ω=0,5ω0, ω=0,75ω0, ω=ω0, ω=1,5ω0 и ω=2 ω0, где ω0 – частота собственных колебаний подвешенной гири. []
12.66. По грунтовой дороге прошел трактор, оставив следы в виде ряда углублений, находящихся на расстоянии l=30 см друг от друга. По этой дороге покатили детскую коляску, имеющую две одинаковые рессоры, каждая из которых прогибается на х0=2 см под действием груза массой m0=1 кг. С какой скоростью υ катили коляску, если от толчков на углублениях она, попав в резонанс, начала сильно раскачиваться? Масса коляски М=10 кг. []
12.67. Найти длину волны λ колебания, период которого Т=10–14 с. Скорость распространения колебаний с=3·108 м/с. []
12.68. Звуковые колебания, имеющие частоту v=500 Гц и амплитуду А=0,25 мм, распространяются в воздухе. Длина волны λ=70 см. Найти скорость с распространения колебаний и максимальную скорость υmax частиц воздуха. []
12.69. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид х=sinπt/2 см. Найти уравнение волны, если скорость распространения колебаний с=300 м/с. Написать и изобразить графически уравнение колебания для точки, отстоящей на расстоянии l=600 м от источника колебаний. Написать и изобразить графически уравнение колебания для точек волны в момент времени t=4 с после начала колебаний. []
12.70. Уравнение незатухающих колебаний имеет вид х=sin2,5πt см. Найти смещение х от положения равновесия, скорость υ и ускорение а точки, находящейся на расстоянии l=20 м от источника колебаний, для момента времени t=1 с после начала колебаний. Скорость распространения колебаний с=100 м/с. []
12.71. Найти разность фаз Δφ колебаний двух точек, отстоящих от источника колебаний на расстояниях l1=10 м и l2=16 м. Период колебаний Т=0,04 с; скорость распространения с=300 м/с. []
12.72. Найти разность фаз Δφ колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих на расстоянии l=2 м друг от друга, если длина волны λ=1 м. []
12.73. Найти смещение х от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии l=λ/12, для момента времени t=Т/6. Амплитуда колебаний А=0,05 м. []
12.74. Смещение от положения равновесия точки, отстоящей от источника колебаний на расстоянии l=4 см, в момент времени t=Т/6 равно половине амплитуды. Найти длину λ бегущей волны. []
12.75. Найти положение узлов и пучностей и начертить график стоячей волны, если: а) отражение происходит от менее плотной среды; б) отражение происходит от более плотной среды. Длина бегущей волны λ=12 см. []
12.76.* Определить длину волны λ, если числовое значение волнового вектора k=0,0314 см. []
12.77. Однородный стержень длиной l=0,5 м совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через его верхний конец. Найти период колебаний Т стержня. []
12.78. Найти период колебаний T стержня предыдущей задачи, если ось вращения проходит через точку, находящуюся на расстоянии d=10 см от его верхнего конца. []
12.79. На концах вертикального стержня укреплены два груза. Центр масс грузов находится ниже середины стержня на расстоянии d=5 см. Найти длину l стержня, если известно, что период малых колебаний стержня с грузами вокруг горизонтальной оси, проходящей через его середину, Т=2 с. Массой стержня пренебречь по сравнению с массой грузов. []
12.80. Обруч диаметром D=56,5 см висит на гвозде, вбитом в стену, и совершает малые колебания в .плоскости, параллельной стене. Найти период колебаний Т обруча. []
12.81. Какой наименьшей длины l надо взять нить, к которой подвешен однородный шарик диаметром D=4 см, чтобы при определении периода малых колебаний Т шарика рассматривать его как математический маятник? Ошибка S при таком допущении не должна превышать 1 %. []
12.82. Однородный шарик подвешен на нити, длина которой l равна радиусу шарика R. Во сколько раз период малых колебаний T1 этого маятника больше периода малых колебаний T2 математического маятника с тем же расстоянием от центра масс до точки подвеса? []