Олимпиада2021_2 тур решения
.pdfМАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОЛИМПИАДА – 2021 год II тур
№1. Для всех действительных значений a найти ранг r(A) матрицы
A = |
1 |
1 |
a |
1 |
. |
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1 |
1 |
1 |
a |
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1 |
a |
1 |
1 |
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a |
1 |
1 |
1 |
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Решение. Найдем det A, разложив определитель по первой строке:
det A = |
a |
1 |
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1 |
1 |
1 |
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+ |
1 |
a |
1 |
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a |
1 |
a |
1 |
= |
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1 |
a 1 |
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− |
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1 |
a 1 |
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1 |
1 |
1 |
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− |
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1 |
1 |
a |
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1 |
1 |
1 |
a 1 |
1 |
a 1 |
1 |
a 1 |
1 |
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=(2a − 1 − a2) − (1 + a2 − 2a) + (2a − 1 − a2) − a(3a − a3 − 2) =
=−(a − 1)2 − (a − 1)2 − (a − 1)2 + a(a − 1)2(a + 2) = (a − 1)3(a + 3).
Тогда корни многочлена a = 1, a = −3. Это означает, что если a 6= 1, a 6= −3, то det A 6= 0, следовательно, r(A) = 4.
При a = 1 получим
A = 1 |
1 1 |
1 |
|
0 |
0 0 |
0 . |
||||||
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1 |
1 |
1 |
1 |
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1 |
1 |
1 |
1 |
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1 |
1 |
1 |
1 |
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0 |
0 |
0 |
0 |
||||
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1 |
1 |
1 |
1 |
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0 |
0 |
0 |
0 |
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Следовательно, r(A) = 1.
При a = −3 получим |
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−4 4 |
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0 −1 |
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A = 1 |
1 |
−3 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
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|||||||||||||
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1 |
1 |
1 |
−3 |
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1 |
1 |
1 |
−3 |
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1 |
1 |
1 |
−3 |
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|||
1 |
−3 1 |
1 |
0 |
−4 |
0 |
4 |
|
0 |
1 |
1 |
−2 |
|
||||||||||
|
− |
3 1 |
1 |
1 |
|
0 |
4 |
4 |
− |
8 |
|
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|
0 |
0 |
− |
1 1 |
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|||
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|||
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0 −1 0 |
1 |
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0 |
−1 |
0 |
1 |
. |
|||||
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1 |
1 |
1 |
−3 |
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|
1 |
1 |
1 |
−3 |
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0 |
0 |
1 |
−1 |
0 |
0 |
1 |
−1 |
|||||
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|
0 |
0 |
− |
1 1 |
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0 |
0 |
0 |
0 |
|
||
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Следовательно, r(A) = 3.
Ответ: r(A) = 1 при a = 1; r(A) = 3 при a = −3; r(A) = 4 при a 6= 1, a 6= −3.
1
№2. Найти все корни уравнения 3z3 + (−1 + 12i)z2 − (9 + 4i)z + 3 = 0, учитывая, что один из них является действительным числом.
Решение.
Так как уравнение имеет действительный корень, то он так же явяется решением уравнений 3z3 − z2 − 9z + 3 = 0 и 12iz2 − 4iz = 0. Следовательно, искомый корень z1 = 1/3. Разложим левую часть уравнения на множители, один из которых z − 1/3
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(z − 1/3)(z2 + 4iz − 3) = 0 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решая квадратное уравнение, найдем еще два корня z2 = −i, z3 = −3i. |
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№3. Вычислить предел nlim cosn |
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x |
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. |
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√ |
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Решение. |
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→∞ |
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n |
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|
1 |
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|
|
x |
|
|
|||||||
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|
n |
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n(cos √ |
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1) |
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||||
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√n − |
= n→∞ |
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x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n→∞ |
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√n |
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n→∞ |
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√n |
− |
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|
|
· |
|
|
n − |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim cos |
n |
|
x |
= lim |
|
1 + cos |
|
|
x |
|
|
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|
|
1 |
|
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|
lim |
1 + cos |
|
|
x |
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1 |
cos √n −1 |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
= en→∞ |
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x |
− |
1) |
|
= e− n→∞ |
nx2 |
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= e− |
. |
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|
n |
|
2n |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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lim n(cos √ |
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|
lim |
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x2/2 |
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dy |
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№4. Пусть y = qx + px + √x + .... Найти |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
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, то y = √ |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. 1) Заметим, что y > 0. Так как y = |
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x + √ |
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, |
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|
x + |
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x + ... |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x + y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y2 = x + y |
, или |
y2 |
− |
y = x |
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части равенства 1/4. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
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. Прибавим к каждойq |
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p |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
1 |
|
|
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|
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|
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|
1 |
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
1 |
2 |
|
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|
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|
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|
1 |
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||||||||||
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y2 |
− y + |
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= x + |
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, или y |
− |
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= x + |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 |
4 |
2 |
|
4 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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y − 2 = ±r |
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, |
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y = |
2 ± r |
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||||||||||||||||||||||||||||||||
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x + 4 |
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x + |
4. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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1 |
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1 |
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1 |
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||||||||
Так как y > 0, то y = 2 + r |
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dx = 2 |
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x + 1 |
= |
√4x + 1. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + |
4, |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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1 |
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1 |
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|
|
dy |
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1 |
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1 |
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|||||||||||
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
q |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
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|
|
|
|
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|
|
|
1 |
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|
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||||||||
2) y |
|
= x + y, 2yy0 = 1 + y0, y0 |
= |
|
|
|
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или y0 = |
|
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. |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2y − 1 |
2q |
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x + p |
x + √ |
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− 1 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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x + ... |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
∞
№5. Найти область определения функции f(x) = P x2 + n1 n.
n=1
2
Решение.Найдем область сходимости функционального ряда |
∞ |
|
un(x) = |
∞ |
x |
2 |
+ |
1 |
|
n |
. |
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n |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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n=1 |
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=1 |
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Применим признак Коши |
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= n→∞ |
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+ n |
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P |
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nP |
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n→∞ p |
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= |
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n( )| |
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lim n |
u |
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x |
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lim |
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x2 |
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1 |
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x2. |
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|||||||||||||
При |x| < 1 ряд сходится. При x = ±1 un(±1) = |
1 + n1 n. Так как nlim |
1 + n1 |
|
n = |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
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|
± |
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Следовательно, D(f) = |
{ |
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|
→∞ |
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} |
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|||||||||||||||||||||
e = 0 |
, то при |
x = |
|
1 |
ряд расходится. |
|
x : |
x |
|
( |
|
1, 1) . |
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Ответ: (−1, 1). |
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№6. Найти среднее значение функции f(x, y) = sin2 x · sin2 y в квадрате 0 ≤ x ≤ π, |
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0 ≤ y ≤ π. |
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Решение. |
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Площадь квадрата S = π2. Среднее значение функции |
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f(ξ, η) = S ZZ |
f(x, y)dxdy = π2 |
ZZ |
sin2 x · sin2 y dxdy = π2 |
π |
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|
π |
sin2 y dy. |
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Z |
sin2 x dx · Z |
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1 |
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1 |
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1 |
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|||
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Ω |
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Ω |
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|
|
|
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|
|
0 |
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|
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|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
π |
|
|
|
π |
|
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|
2x − 4 sin 2x |
|
π |
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||||||||||||||
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Z |
sin2 x dx = Z 1 − |
2 |
|
|
dx = |
|
= 2 . |
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
|
. 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||
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|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
π |
|
π |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f(ξ, η) = |
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π2 |
2 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ответ: 14 .
3