ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 517.977.5

Разработка системы управления в условиях возмущений

Смирнов Михаил Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент Санкт-Петербургского государственного университета

Смирнова Мария Александровна

кандидат физико-математических наук, старший преподаватель Санкт-Петербургского государственного университета

Аннотация: В данной статье рассматриваются особенности конструирования автоматических систем контроля в условиях внешних воздействий. В ходе исследования рассматривается вопрос контролирования движения морского подвижного объекта по определенному курсу при наличии неизвестных заранее внешних возмущений. Специальное внимание уделяется достижению нужных характеристик замкнутой системы, а именно, достижению необходимого запаса устойчивости. Помимо этого, рассматривается вопрос стабилизации морского объекта найденным управлением с учетом действия возмущений сторонних сил и дополнительного запаса устойчивости.

Abstract: This paper examines the design features of automatic control systems under external influences. The research considers the issue of controlling the movement of a marine mobile object along a certain course in the presence of external disturbances unknown in advance. Special attention is paid to achieving the desired characteristics of the closed-loop system, namely, to achieve the necessary stability margin. In addition, the question of stabilization of a marine object by the control found, taking into account the action of perturbations of external forces and additional stability margin, is considered.

Ключевые слова: управление, моделирование, беспилотный, объект управления, морской.

Keywords: control, modeling, autonomous, control object, marine.

Системы автоматического управления движением широко распространены в современном мире. Они встречаются в автомобилях, беспилотных

аппаратах различного назначения, самолетах, производственных роботах на заводах и кораблях. Благодаря различным датчикам подобные системы позволяют более точно и эффективно управлять различными подвижными объектами. Поэтому такие системы необходимо постоянно развивать и улучшать. В литературе [1–8] встречаются различные варианты построения управлений для разных ситуаций, однако все они до сих пор не охвачены.

В данной статье рассматриваются особенности разработки автоматических систем управления в условиях внешних возмущений. В частности, исследуется задача контролирования движения морского объекта по заданному курсу при наличии неизвестных внешних воздействий. Отдельное внимание уделено достижению требуемых характеристик замкнутой системы, а точнее говоря, достижению необходимой степени устойчивости. Кроме того, изучается проблема стабилизации надводного морского объекта сформированным управлением принимая во внимание действия сторонних сил и неосновные требования к характеристике стабильности общей системы.

Математическая модель морского объекта представляется дифференциальными уравнениями:

Примером возьмем на рассмотрение морской подвижный объект с максимальной скоростью V =15м/ си водоизмещением 4500 м3.

Выделим из математической модели только компоненты, относящие-

Для исследования динамики объекта необходимо добавить уравнение привода

δ = u ,

где u — искомое управление. Поскольку на угол поворота рулей накладываются технические ограничения, то их тоже необходимо принимать во внимание:

max δ = 30°, max u = 3°/ c .

Для формирования управления нам требуемся линеаризовать математическую модель в окрестности нуля по переменным φ, ωy , Vz . Тогда при

фиксированной скорости Vx =V мы получим математическую модель курсового движения в линейном приближении

ωy = a21VVz −a22V ωy −b2V 2δ+δ2 M y ,

φφ == ωωyy..

Для рассматриваемого судна мы имеем конкретные значения постоДля рассматриваемого судна мы имеем конкретные значения посто-

янных коэффициентов:

Как правило, в процессе изучения движения морских судов в качестве одного из параметров вектора состояния принимают дрейф β вме-

сто проекции скорости Vz . В линейном приближении β и Vz имеют сле-

После использования этого уравнения мы получим линеаризованную математическую модель динамики морского подвижного объекта в горизонтальной плоскости

Информационные технологии

и получить линейную систему дифференциальных уравнений, описывающих движение рассматриваемого судна в горизонтальной плоскости в матричной форме

x = Ax +Bδ+Dw

Теперь нам необходимо принять во внимание, что воздействия сторонних сил w(t) не определены полностью, однако подчиняются огра-

ничению

w(t)∞ ≤1 для всякого 0 ≤ t < ∞.

Рассмотрим вместе уравнения движения и уравнение рулей, вводя

x

расширенный вектор состояния x = δ . Тогда расширенная система ли-

нейных дифференциальных уравнений примет вид x = Ax +Bu +Dw,

Сформируем управление в виде статической обратной связи по состоянию

u = Kx x + Kδδ = Kx = k1β+k2ω+k3φ+k4δ.

Из-за того, что в определении возмущающих сил w имеется неопределенность, рассмотрим вопрос о наилучшей динамике нашей системы с учетом этой неопределенности. Тогда коэффициенты k1 , k2 , k3 , k4 подле-

жат определению в процессе рассмотрения вопроса о минимизации размера Jδ инвариантного эллипсоида с достижением необходимых харак-

теристик нашей системы

Jδ = Jδ (K) → K min .

Ωsk Ωk

Предположим, что мы измеряем весь вектор x , т.е. y = Cx, C = E4×4 .

Тогда уравнения замкнутой системы принимают вид

β = a11β+a12ωy +b1δ+δ1Fz , ωy = a21β+a22ωy +b2δ+δ2 M y ,

φ = ω,

δ = k1β+k2ω+k3φ+k4δ,

или в матричной форме

Ищем искомый вектор коэффициентов регулятора, который наилучшим образом (в смысле поставленной задачи) компенсирует ограничен-

Информационные технологии

ные внешние возмущающие воздействия и одновременно обеспечивает желаемую степень устойчивости замкнутой системы:

k1 = 3.0981, k2 = 57.7472, k3 = 23.9121, k4 = −1.2793.

При этом имеем следующие компоненты вектора , при которых достигается нужная степень устойчивости:

γ11 = −1, γ12 = 2, γ21 =1, γ22 = −0.05.

При использовании синтезированного регулятора собственные числа матрицы замкнутой системы принимают значения

λ1 = −0.1027 , λ2 = −0.5465 + 0.0147 i , λ3 = −0.5465 − 0.0147 i , λ4 = −0.5368,

т.е. желаемая степень устойчивости достигнута.

Заметим, что учет требования к характеристике устойчивости является весьма важным при решении практических задач. Проведем сравнение полученного здесь результата с найденным управлением и компенсирующим ограниченные возмущения без выполнения дополнительных модальных требований. Для этого регулятора получаем коэффициенты:

k1 = 0.1738, k2 =10.6013, k3 =1.0242, k4 = −0.0378.

Тогда собственные значения матрицы рассматриваемой системы равны

λ1 = −0.3138, λ2 = −0.0599 + 0.1886i , λ3 = −0.0599 − 0.1886i , λ4 = −0.0574,

т.е. степень устойчивости при использовании второго регулятора оценивается константой 0.06, что значительно хуже, чем характеристика устойчивости системы с первым регулятором, и плохо показывается себя в динамике объекта и увеличивает длительность процесса поворота.

Теперь сравним поведение динамической системы в различных ситуациях.

Пусть ограниченное внешнее воздействие представляет собой последовательность случайных ограниченных «всплесков» продолжительностью 40 секунд.

На рис. 1 и рис. 2 сплошная линия представляет динамику судна (изменение курса и отклонение рулей соответственно) при использовании первого управления, пунктирная — представляет собой те же процессы

Отклонение рулей, град

10

5

0

Время, с

Рисунок 2. Отклонение рулей

Как видно из рис. 1, при использовании первого управления отклонение судна от курса в 5 раз меньше, чем для второго регулятора. При этом время стабилизации курса судна после окончания действия ограниченного возмущения в первом случае составляет менее 10 секунд, а во втором — 50 секунд.

Информационные технологии

Таким образом, в статье представлена и рассмотрена проблема контролирования движения судна в горизонтальной плоскости при наличии неопределенных внешних возмущений. Отдельное место уделяется достижению необходимых характеристик системы, в частности, достижению необходимой характеристики устойчивости. Компьютерное моделирование проведено в системе MATLAB-Simulink.

Список литературы

1.Veremei E.I., Korchanov V. M. Multiobjective stabilization of a certain class of dynamic systems // Automation and Remote Control, № 49, 1989. pp. 1210–1219.

2.Веремей Е. И. Линейные системы с обратной связью. — СПб.: Изд–во «Лань», 2013–448 с.

3.Веремей Е. И., Корчанов В. М. Многоцелевая стабилизация динамических систем одного класса // АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1988.— № 9. — С. 126–137.

4.Веремей Е. И. Синтез законов многоцелевого управления движением морских объектов // Гироскопия и навигация. 2009.— № 4. — С. 3–14.

5.Smirnova M.A., Smirnov M. N. Multipurpose control laws in trajectory tracking problem.// International Journal of Applied Engineering Research.— 2017–11(22), — pp.11104–11109.

6.Vitrant E., Canudas–De–Vit C., Georges D., Alamir M. Remote stabilization via time–varying communication network delays // IEEE Conference in Control Applications, Taiwan,— 2004.

7.Smirnov M.N., Smirnova M. A. Control synthesis for marine vessels in case of limited disturbances // Telkomnika (Telecommunication Computing Electronics and Control),— 2018,— 16(2), — pp. 648–653.

8.Smirnov M.N., Smirnova M. A. Questions of stabilization and control of unmanned aerial vehicles // Comptes Rendus de L’Academie Bulgare des Sciences,— 2018,— 71(1), — pp. 87–91.