1 семестр ИКТ / лаба №10

Отчет по лабораторной работе №10

Упражнение 1:

Найти матрицу R, которая приводит матрицу к диагональному виду. Найти матрицу .

A=[2 -1 -1; -3 2 0;4 2 4]

[R, D] = eig(A)

A =

2 -1 -1

-3 2 0

4 2 4

R =

-0.0000 -0.2673 0.2673

0.7071 0.8018 -0.8018

-0.7071 -0.5345 0.5345

D =

2.0000 0 0

0 3.0000 0

0 0 3.0000

Упражнение 2

Доказать, что квадратичная форма положительно-определенная.

Задача приведения квадратичной формы к диагональному виду заключается в следующем: требуется найти в векторном пространстве такой базис, в котором квадратичная форма будет иметь наиболее простой вид, называемый каноническим. Такой базис всегда существует. Матрица квадратичной формы в этом базисе имеет диагональный вид.

M =

6 -2 0

-2 5 2

0 2 7

ans =

2.7985

6.4549

8.7466

Упражнение 3:

Определить тип кривой . Изобразить эту кривую, ее центр (вершину), базисные векторы в старой и новой системах координат.

B=[2 -2; -2 5;]

[R, D] = eig(B)

syms x1 y1 real

X1 = [x1 y1]

X=R*X1'

f=2*X(1).^2-4*X(1)*X(2)+5*X(2).^2+8*X(1)-2*X(2)+9

f=simplify(f)

ezplot('x^2 - (14*5^(1/2)*x)/5 + 6*y^2 - (12*5^(1/2)*y)/5 -2')

hold on

ezplot('2*x^2-4*x*y+5*y^2+8*x-2*y-2')

grid on

x1 =

[ x1, y1]

x =

- (2*5^(1/2)*x1)/5 - (5^(1/2)*y1)/5

(2*5^(1/2)*y1)/5 - (5^(1/2)*x1)/5

f =

5*((5^(1/2)*x1)/5 - (2*5^(1/2)*y1)/5)^2 + 2*((2*5^(1/2)*x1)/5 + (5^(1/2)*y1)/5)^2 - (14*5^(1/2)*x1)/5 - (12*5^(1/2)*y1)/5 - ((5^(1/2)*x1)/5 - (2*5^(1/2)*y1)/5)*((8*5^(1/2)*x1)/5 + (4*5^(1/2)*y1)/5) + 9

f =

x1^2 - (14*5^(1/2)*x1)/5 + 6*y1^2 - (12*5^(1/2)*y1)/5 + 9

Упражнение 4:

Определить тип кривой . Изобразить эту кривую, ее центр (вершину), базисные векторы в старой и новой системах координат.

B=[1 2; 2 4];

[R, D] = eig(B)

syms x1 y1 real

X1 = [x1 y1];

X=R*X1';

f=1*X(1).^2+4*X(1)*X(2)+4*X(2).^2-6*X(1)-2*X(2)+1;

f=simplify(f)

f = 5*y1^2 - 2*5^(1/2)*y1 + 2*5^(1/2)*x1 + 1

>> M=[(- (2*5^(1/2))/5) ((5^(1/2))/5)]

M =-0.8944 0.4472

>> quiver(0,0,M(1),M(2),0,'r')

>> N=[((2*5^(1/2))/5) ((5^(1/2))/5)]

N = 0.8944 0.4472

>> quiver(0,0,N(1),N(2),0,'r')

Упражнение 5:

Определить тип поверхности и построить ее в новой системе координат.

B = [1 2 -4; 2 -2 -2; -4 -2 1]

[R, D] = eig(B)

syms x1 y1 z1 real

X1 = [x1 y1 z1]

X=R*X1'

f = X(1)^2 - 2*X(2)^2 +X(3)^2 + 4*X(1)*X(2)-8*X(1)*X(3)-4*X(2)*X(3)+6

f=simplify(f)

f = -3*x1^2 - 3*y1^2 + 6*z1^2 + 6

Дополнительное задание

Написать программу процедуры выделения полного квадрата в уравнении и с ее помощью определить тип поверхности . Построить эту поверхность.

a = '4*x^2-y^2+z^2+8*x-4*y-2*z+2';

syms x y z

X1 = sym2poly(sym(subs(a, [y z],[0 0])));

Y1 = sym2poly(sym(subs(a, [x z],[0 0])));

Z1 = sym2poly(sym(subs(a, [x y],[0 0])));

sym2poly из символьного выражения возвращает

полином соответствующих коэфициентов

находим для одной переменной, обнуляя остальные

B = [X1(1) 0 0; 0 Y1(1) 0; 0 0 Z1(1)];

[R, D] = eig(B);

syms x1 y1 z1 real

X1 = [x1 y1 z1];

X=R*X1';

f=X1(1)*X(1)^2 + Y1(1)*X(2)^2 + Z1(1)*X(3)^2+ X1(2)*X(1) + Y1(2)*X(2) + Z1(2)*X(3)+ X1(3);

f=simplify(f)

f = - x1^2 + x1*z1