1 семестр ИКТ / лаба №9

Отчет по лабораторной работе №9

Упражнение 1:

Найти ранг и какой-нибудь базис системы геометрических векторов , , , . Разложить вектор по этому базису. Сделать проверку.

A=[-1 2 0;2 -1 1;-4 5 -1;3 -3 1];

rank(A)

ans =2

Значит, здесь 2 линейно независимых вектора

A=[-1 2; 2 -1]

B = [4;1]

X = inv(A)*B

X =

2

3

(Разложение вектора по базису)

Упражнение 2

В пространстве R⁴ заданы векторы , , , . Доказать, что - базис в R^4. Написать матрицу перехода , где В – канонический базис в R⁴. Найти в базисе координаты вектора . Сделать проверку.

B=[1 1 1 1;1 1 -1 -1;1 -1 1 -1;1 -1 -1 1]

rank(B)

ans =4

B=B’- (т.к. канонический вид)

X=inv(B)*[1;2;1;1]

X =

1.2500

0.2500

-0.2500

-0.2500 (Координаты X в базисе B’)

Упражнение 3:

Доказать, что система многочленов образует базис в пространстве многочленов . Записать в этом базисе координаты многочлена . Сделать проверку.

A=[1 0 1;1 0 -1;1 -1 0]

det(A)

ans =-2

(Значит образуют базис(det(A)не равен нулю))

rank(A)

ans =3

B=[2;-2;1]

B1=inv(A)*B

B1 =

0

-1

2

Проверка:

A*B1

ans =

2

-2

1

Упражнение 4:

Применить процесс ортогонализации Шмидта к указанным системам векторов. Проверить ортогональность полученной системы. Сделать рисунок.

1. ;

2. .

1)

f1=[1 1]

f2=[0 1]

e1=f1

e2=f2-(dot(e1,f2)/dot(e1,e1))*e1

hold on

grid on

quiver(0,0,e1(1),e1(2),'m');

quiver(0,0,e2(1),e2(2),'k');

quiver(0,0,f2(1),f2(2),'g');

e1 = 1 1

e2 = -0.5000 0.5000

2)

f1=[1 1 1]

f2=[2 1 2]

f3=[-3 0 2]

e1=f1

e2=f2-(dot(e1,f2)/dot(e1,e1))*e1

e3=f3-(dot(e1,f3)/dot(e1,e1))*e1-(dot(e2,f3)/dot(e2,e2))*e2

hold on

grid on

quiver3(0,0,0,e1(1),e1(2),e1(3),'k');

quiver3(0,0,0,e2(1),e2(2),e2(3),'y');

quiver3(0,0,0,e3(1),e3(2),e3(3),'g');

quiver3(0,0,0,f3(1),f3(2),f3(3),'m')

quiver3(0,0,0,f2(1),f2(2),f2(3),'b');

e1 =1 1 1

e2 =0.3333 -0.6667 0.3333

e3 = -2.5000 0 2.5000

Упражнение 5:

Составить в базисе (i, j, k) матрицу оператора проектирования векторов пространства на вектор .

𝑝𝑟(𝑎𝑏)=(𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧)∗A∗B=(𝑏𝑥 𝑏𝑦 𝑏𝑧)∗Z

Где A=[ax;ay;az] ;

B=([ax ay az])/(sqrt((ax)^2+(ay)^2+(az)^2)

B =[0;-3;4]

a1=0;a2=-3;a3=4;

a=sqrt((a1)^2+(a2)^2+(a3)^2);

A=[a1^2/a a1*a2/a a1*a3/a;a2*a1/a a2*a2/a a2*a3/a; a3*a1/a a3*a2/a a3*a3/a]

Z=A*B

Z =

0

-15

20

Упражнение 6:

Матрица линейного оператора в некотором базисе равна . Найти матрицу этого оператора в базисе .

A=[1 2 0 1; 3 0 -1 2; 2 5 3 1; 1 2 1 3]

B = [1 0 0 0; 1 1 0 0; 1 1 1 0; 1 1 1 1]'

A1=inv(B)*A*B

A1 =

-2 0 1 0

1 -4 -8 -7

1 4 6 4

1 3 4 7

Упражнение 7:

Линейный оператор в базисе задан матрицей А. Найти его матрицу в базисе (координаты векторов даны в некотором базисе ):

,

A1 = [1 -2 1; -1 2 1; -1 3 1]

A2 = [1 0 2; 3 0 -2; 3 -1 -1]

T=(A2\A1)'

(Делим для того,чтобы увидеть во сколько раз координаты A2 больше A1)

A=[-1 1 2; 1 1 -2; 1 1 4]

B=inv(T)*A*T

B =

3.0000 1.0000 2.0000

-1.0000 6.0000 3.0000

3.0000 -10.0000 -5.0000

1. Дополнительное задание

Написать программу, реализующую процесс ортогонализации Шмидта для векторов в n-мерном пространстве. Проверить ее работу на примере упражнения 9.4. и найти ортогональные базисы для следующих систем векторов:

1. F = [1 1 1 1; 3 3 -1 -1; -2 0 6 8];

2. F = [1 2 2 -1; 1 1 -5 3; 3 2 8 -7];

3. F = [2 1 3 -1; 7 4 3 -3; 1 1 -6 0; 5 7 7 8].

function [ M ] =fun(F,k,n)

(Массив векторов задается так, чтобы каждый вектор составлял отдельную строку в задаваемой матрице. n - количество векторов)

M=zeros(n,k);

M(1, :)=F(1, :);

for i = 2:1:n

a=F(i, :);

b=a;

for j=1:1:(i-1)

b=b+(-dot(M(j, :),a)/dot(M(j, :),M(j, :)))*M(j,:);

end

M(i, :)=b;

end

end

Проверка:

F = [1 1 1 1; 3 3 -1 -1; -2 0 6 8];k=4; n=3;

fun(F,k,n)

ans =

1 1 1 1

2 2 -2 -2

-1 1 -1 1

F = [2 1 3 -1; 7 4 3 -3; 1 1 -6 0; 5 7 7 8];k=4; n=3;

fun(F,k,n)

ans =

2 1 3 -1

3 2 -3 -1

0 0 0 0

F = [2 1 3 -1; 7 4 3 -3; 5 7 7 8];k=4; n=3;

fun(F,k,n)

ans =

2 1 3 -1

3 2 -3 -1

1 5 1 10