Добавил:

a_lex_71 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «МИЭТ»

Предмет:

Линейная алгебра

Файл:

1 семестр ИКТ / лаба №5

.docx

Скачиваний:

Добавлен:

21.02.2024

Размер:

302.75 Кб

Скачать

☆

Отчет по лабораторной работе №5

Упражнение 5.1

Построить плоскость, проходящую через точку М(1,-1,-3) и имеющую нормальный вектор n(2,-3,5). Найти расстояние от начала координат до данной плоскости. Вывести заголовок графика. Изобразить нормальный вектор и данную точку.

A=2; B=-3; C=5; D=10;

x = -5:0.5:5; y = -3:0.5:3;

[X,Y]= meshgrid(x,y);

Z = (-A*X-B*Y-D)/C;

hold on

xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z')

title('2x-3y+5z+10= 0')

quiver3(0,0,0,2,-3,5,0)

axis square, grid on

mesh(X,Y,Z)

d=(abs(A*0+B*0+C*0+D)/sqrt(A*A+B*B+C*C))

plot3(1,-1,-3,'ro')

d = 1.6222

Упражнение 5.2.

Построить плоскость, проходящую через точку М(2,3,-4) и параллельно векторам a(-3,2,-1) и b(0,3,1). Найти расстояние от точки N(-3,1,3) до данной плоскости. Вывести заголовок графика. Изобразить нормальный вектор и данные точки. Указать координаты нормального вектора.

syms x y z;

A=[2-x 3-y -4-z;-3 2 -1; 0 3 1];

det(A)

A=-5; B=-3; C=9; D=55;

x = -5:0.5:5; y = -3:0.5:3;

[X,Y]= meshgrid(x,y);

Z = (-A*X-B*Y-D)/C;

hold on

xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z')

title('9*z - 3*y - 5*x +55 = 0')

mesh(X,Y,Z)

quiver3(0,0,0,-3,2,-1,2,'b')

quiver3(0,0,0,0,3,1,2,'g')

quiver3(0,0,0,-5,-3,9,0,'r')- нормальный вектор

d=abs(-3*-5+1*-3+3*9)/sqrt(5*5+3*3+9*9)

plot3(-3,1,3,'ro')

plot3(2,3,-4,'ko')

grid on

d =3.6368

Упражнение 5.3.

Построить плоскость, проходящую через точки М(2,0,-1) и N(-3,1,3) параллельно вектору a(1,2,-1). Вывести заголовок графика. Изобразить нормальный вектор и данные точки. Указать координаты нормального вектора.

syms x y z;

A=[x-2 1 -5;y-0 2 1;z+1 -1 4];

det(A)

x = -5:0.5:5; y = -3:0.5:3;

A=9; B=1; C=11; D=-7;

[X,Y]= meshgrid(x,y);

Z = (-A*X-B*Y-D)/C;

hold on

xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z'

title('9*x + y + 11*z - 7 = 0')

mesh(X,Y,Z);

quiver3(0,0,0,9,1,11,1,'b');-нормальный вектор

plot3(2,0,-1,'ro');

plot3(-3,1,3,'ko');

quiver3(0,0,0,-5,1,4,0,'g');

quiver3(0,0,0,1,2,-1,0,'k');

grid on

Упражнение 5.4.

Построить плоскость, проходящую через три точки М(1,0,-1), K(2,2,3) и N(0,-3,1). Вывести заголовок графика. Изобразить нормальный вектор и данные точки. Указать координаты нормального вектора.

syms x y z;

A=[x-1 1 -1; y-0 2 -3; z+1 4 2];

x = -5:0.5:5; y = -3:0.5:3;

det(A)

A=16; B=-6;C=-1; D=-17;

[X,Y]= meshgrid(x,y);

Z = (-A*X-B*Y-D)/C;

hold on

xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z')

title('16*x - 6*y - z - 17 = 0')

mesh(X,Y,Z);

quiver3(0,0,0,16,-6,-1,1,'b');

plot3(1,0,-1,'ro')

plot3(2,2,3,'bo')

plot3(0,-3,1,'ko')

grid on

Упражнение 5.5.

Построить плоскость, проходящую через точку М(1,1,1) перпендикулярно к линии пересечения двух плоскостей и . Вывести обозначения осей, заголовок графика. Изобразить нормальный вектор и данную точку. Указать координаты нормального вектора.

n1=[1 -1 2]; n2=[2 0 -1];

cross(n1,n2)

ans =

1 5 2

Этот вектор является нормальным для той плоскости, которую нужно построить

Следовательно, уравнение этой плоскости будет следующим:

x+5*y+2*z-8=0

n1=[1 -1 2]; n2=[2 0 -1];

cross(n1,n2)

syms x y z;

x = -5:0.5:5; y = -3:0.5:3;

A=1; B=-1;C=2; D=-3;

[X,Y]= meshgrid(x,y);

Z = (-A*X-B*Y-D)/C;

hold on

xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z')

mesh(X,Y,Z);

quiver3(0,0,0,1,5,2,1);

plot3(1,1,1,'ro')

A=2; B=0;C=-1; D=4;

[X,Y]= meshgrid(x,y);

Z = (-A*X-B*Y-D)/C;

hold on

xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z')

mesh(X,Y,Z);

quiver3(0,0,0,1,5,2,1);

A=1; B=5;C=2; D=-8;

[X,Y]= meshgrid(x,y);

Z = (-A*X-B*Y-D)/C;

hold on

xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z')

mesh(X,Y,Z);

grid on

Упражнение 5.6.

Найти параметрические уравнения прямых, проходящих через точку М(2,-1,-3) в каждом из следующих случаев:

а) прямая параллельна прямой

б) прямая параллельна оси Oy;

в) прямая перпендикулярна плоскости .

Сделать иллюстрацию к решению данной задачи: изобразить данные прямые, точки по которым они строились и плоскость. Полученные уравнения поместить в заголовок.

а) hold on;

grid on;

line([-1 1],[2 4],[0 2],'color','red')

line([2 4],[-1 1],[-3 -1],'color','blue')

xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')

plot3(2,-1,-3,'go','markerfacecolor','g')

plot3(1,4,2,'ko','markerfacecolor','k')

plot3(-1,2,0,'ko','markerfacecolor','k')

plot3(4,1,-1,'go','markerfacecolor','g')

б) line ([2 2],[-1 1],[-3 -3],'color','green','LineWidth',3);

hold on;

line ([0 0],[-1 1],[0 0],'color','red','LineWidth',3)

axis square

grid on

plot3(2,-1,-3,'ko','markerfacecolor','k')

X=0

Y=t+1

Z=0

в) syms x y z;

x = -5:0.5:5; y = -3:0.5:3;

A=3; B=1;C=-1; D=-8;

[X,Y]= meshgrid(x,y);

Z = (-A*X-B*Y-D)/C;

hold on

xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('z')

mesh(X,Y,Z)

grid on

plot3(2,-1,-3,'ko','markerfacecolor','k')

line([2 -1],[-1 -1],[-3 15],'color','blue')

Упражнение 5.7.

Найти канонические уравнения прямых, проходящих через точку М(4,3,-2) параллельно:

а) вектору а(3,-6,5);

б) прямой

Сделать иллюстрацию к решению данной задачи: изобразить данные прямые, точки по которым они строились и плоскости. Полученные уравнения поместить в заголовок.

а) (x-4)/3 = (y-3)/-6 = (z+2)/5

line([4 6],[3 5],[-2 0],'color','blue','LineWidth',3)

grid on

hold on

line([3 5],[-6 -4],[5,7],'color','green','LineWidth',3)

plot(5,-4,'g>','markerfacecolor','g')

xlabel('x'),ylabel('y'),zlabel('z')

б) A=[1 3 1]

B=[2 -1 -4]

cross(A,B)

ans = -11 6 -7-направляющий вектор этой прямой

Каноническое уравнение:

x-4/-11=y-3/6=z+2/-7

line([4 6],[3 5],[-2 0],'color','blue','LineWidth',3)

plot3(4,3,-2,'ko','markerfacecolor','k')

hold on

line([-11 -9],[6 8],[-7 -5],'color','green','LineWidth',3)

grid on

Упражнение 5.8.

Найти величину острого угла между прямыми

и .

Ответ записать в градусах.

n1=[1 -1 2];

n2=[2 1 -1];

cross(n1,n2)

ans = -1 5 3

x=ans

y=[-3 1 -2]

phi=atan2(norm(cross(x,y)), dot(x,y))

phi*180

ans/pi

ans = 84.8162

Упражнение 5.9.

Найти расстояние между параллельными прямыми

и .

N=[3,4,2]

A=[5,2,3]

d=(norm(cross(A,N)))/norm(N)

d =3

Упражнение С1.

Доказать, что плоскости и параллельны и найти уравнение плоскости, расположенной на равном расстоянии от двух данных.

A=[4 -3 1]; B=[-8 6 -2]; -нормальные вектора данных плоскостей

cross(A,B)

ans =

0 0 0-векторное произведение равно нулю,следовательно,данные вектора параллельны

Уравнение второй плоскости можно поделить на -2.Сделав это,мы получим следующее уравнение: 4х-3у+z+8=0

Значит,расстояние между двумя плоскостями равно 8+(-2)=6

Уравнение плоскости,расположенной равноудаленно от этих плоскостей:

4x-3y-z+3=0

Упражнение С2.

Найти величину острого угла (в градусах) между плоскостями и . Построить эти плоскости. Найти координаты точки М, принадлежащей обеим плоскостям и изобразить ее на графике.