1 семестр ИКТ / лаба №3
.docx
Отчет по лабораторной работе №3
Упражнение 3.1: Дан параллелограмм ABCD, известны координаты трех его точек A(-2 0), B(1 2), C(1 -1). Найти координаты четвертой вершины D параллелограмма. Изобразить разными цветами векторы, используемые в решении задачи.
>> OA=[-2 0]
OA = -2 0
>> OB=[1 2]
OB =1 2
>> OC=[1 -1]
OC = 1 -1
>> AB=OB-OA
AB = 3 2
>> BC=OC-OB
BC = 0 -3
>> AC=OC-OA
AC = 3 -1
>> hold on,grid on
>> quiver(-2,0,AB(1),AB(2),0)
>> quiver(1,2,BC(1),BC(2),0)
>> quiver(-2,0,BC(1),BC(2),0)
>> quiver(-2,-3,AB(1),AB(2),0)
>> OD = BC+OA
OD = -2 -3
Упражнение 3.2
Доказать, что векторы , и образуют базис. Изобразить эти векторы и координатные оси.
>> a =[1 -2 0]
>> b =[ 0 1 1]
>> c =[1 2 2]
>> A =[a; b;c]
A =
1 -2 0
0 1 1
1 2 2
>> det(A)
ans = -2
Определитель не равен нулю, значит вектора образуют базис. Доказано
>> hold on
>> grid on
>> axis square
>> xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
>> quiver3(0,0,0,a(1),a(2),a(3))
>> quiver3(0,0,0,b(1),b(2),b(3))
>> quiver3(0,0,0,c(1),c(2),c(3))
Упражнение 3.3
Проверить являются ли векторы линейно зависимыми и, если возможно, разложить вектор по этим векторам (при решении системы использовать формулы Крамера или обратную матрицу). Векторы задать в символьном виде.
1.
>> syms a b c
>> p = a – b + c
>> q =b – a - c
>> r =b - c
>> s = a + b + c
>> a =[1 -2 0]
>> b =[ 0 1 1]
>> c =[1 2 2]
>> p = a - b + c
>> q =b - a - c
>> r = b - c
>> A = [p;q;r]
A =
2 -1 1
-2 1 -1
-1 -1 -1
>> det(A)
ans = 0
Вектора образуют базис(определитель равен нулю), значит, они не зависимы линейно и, следовательно, вектор s нельзя разложить по этим векторам.
2.
>> a =[1 -2 0]
>> b =[ 0 1 1]
>> c =[1 2 2]
>> p = a - b + c
>> q = b+a
>> r = b-c
>> A = [p;q;r]
A =
2 -1 1
1 -1 1
-1 -1 -1
>> det(A)
ans = 2
>> s = a+b+c
>> s1 = [2;1;3]
s1 =
2
1
3
>> x = inv(A)*s1
x =
-1
2
-2
Упражнение 3.4
Даны три точки A(-2, 0), B(3, 4), C(4, -1). Найти величины углов треугольника АВС. Проверить свойство суммы углов треугольника. Сделать рисунок.
a=[-2 0]
b=[3 4]
c=[4 -1]
ab=[b-a]
ac=[c-a]
bc=[c-b]
A=ab*ac'
A=A/(norm(ab)*norm(ac))
A=acosd(A)
A = 48.1221
C =ac*bc'
C=C/(norm(ac)*norm(bc))
C=acosd(C)
C = 69.2277
B=(-ab)*(bc)'
B=B/(norm(ab)*norm(bc))
B=acosd(B)
B =62.6501
A+B+C
>> hold on,grid on,axis square
>> xlabel('X'),ylabel('Y'),zlabel('Z')
>> quiver(-2,0,5,4,0)
>> quiver(3,4,1,-5,0)
>> quiver(4,-1,-6,1,0)
Упражнение 3.5
Найти векторное произведение векторов и с помощью определителя третьего порядка и проверить решение стандартной функцией cross(a,b)
>> a=[1 2 0]
>> b=[2 1 0]
>> syms i j k
>> A=[i j k;a;b]
A =
[ i, j, k]
[ 1, 2, 0]
[ 2, 1, 0]
>> det(A)
ans = (-3)*k
>> ab=cross(a,b)
ab = 0 0 -3
Упражнение 3.6
Вычислить площадь треугольника с вершинами и Изобразить плоскость треугольника.
>> a =[1 3 -1]
>> b=[2 -1 4]
>> c=[5 0 3]
>> ab = b-a
ab = 1 -4 5
>> ac = c-a
ac = 4 -3 4
>> bc = b-c
bc = -3 -1 1
>> A = [a;b;c]
A =
1 3 -1
2 -1 4
5 0 3
>> S = 1/2*det(A)
S = 17
fill3(a,b,c,'m')
Упражнение 3.7
С помощью смешанного произведения определить значение λ, при котором векторы , , будут компланарны. Определить ориентацию тройки abc. При решении уравнения используйте функцию solve
>> syms x
>> A =[-1 2 4;3 (5-x) 0; 2 4 -5]
A =
[ -1, 2, 4]
[ 3, 5 - x, 0]
[ 2, 4, -5]
>> det(A)
ans =3*x + 63
Векторы будут компланарны,если определитель будет равен 0. Решим уравнение:
>> solve('3*x + 63=0')
ans =-21
Векторы образуют правую/левую тройку тогда и только тогда, когда их смешанное произведение больше/меньше нуля. Значит, вектора a b c образуют левую тройку.
Упражнение С1:
Вычислить объем пирамиды ABCD, если известно, что
>> a = [3 4 0]
>> b =[-3 0 1]
>> c =[0 2 5]
>> A =[a;b;c]
A =
3 4 0
-3 0 1
0 2 5
Найдем объем пирамиды, воспользовавшись свойствами:
>> V = 1/6*det(A)
V =9
Упражнение С2:
Ознакомьтесь самостоятельно со встроенной функцией norm. Для трех произвольных векторов различной размерности найдите их длины:
1)
>> a =[2 7 10]
>> norm(a)
ans = 12.3693
>> sqrt(a(1)^2+a(2)^2+a(3)^2)
ans =12.3693
2)
>> b = [1 12 6]
>> sqrt(b(1)^2+b(2)^2+b(3)^2)
ans =13.4536
>> norm(b)
ans = 13.4536
3)
>> c =[7 16 2]
>> sqrt(c(1)^2+c(2)^2+c(3)^2)
ans =17.5784
>> norm(c)
ans = 17.5784