3. Сложное движение точки
.pdf
3. * * ! "
& ' ! - -, ( ) -, ", " - ! -< ( 3.1), 1 1 1z1 -, -, z- " .
! & ' ! - -" - <1 1 1z1. ; !, " =
- ! ( ! V , a ).
" & ' ! <- " - < z. ; !, " = -
! ( ! Vr ,ar ).
' ! < - - - < z - " - < 1 1 1z1. 8 -t -M ′ , -< -
1
- < . # " M ′ , ! - = - " - < , ! -"! ( !
Ve , ae ).
! & -- - - " ( 3.2):
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
= Vr + Ve. |
(3.1) |
|||||
" ! -'
V = V 2 |
+ V 2 |
+ 2V V cosα , |
(3.2) |
r |
e |
r e |
|
3.1. ; - ! , " - ! ' :
Vx = Vrx + Vex, Vy = Vry + Vey, Vz = Vrz + Vez.
8 ! < :
V = V 2 |
+ V |
2 |
+ V 2 . |
(3.3) |
x |
|
y |
z |
|
! & - " - - " :
a |
= |
ar + |
a |
e. |
(3.4) |
! & - " - - " , & :
a |
= |
ar + |
a |
e + |
ac . |
(3.5) |
% & ac - " - -
2
! ω - -
" ! " Vr : |
|
ac = 2(ωe ×Vr ). |
(3.6) |
" & - " :
|
|
|
|
ac = 2ωeVr sin(ωe ;Vr |
). |
(3.7) |
|
+ ' 3.7 , &! ! :
•ω = 0, . . " -- "" -;
•Vr = 0, . . " -! "- ;
•, sin(ωe ;Vr ) = 0, . . , -
(ωe |
|
|
) = 180° (ωe |
|
|
|
|||||||||||||||||
;Vr |
;Vr ) = 0°, , " , - |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|||||||
ωe Vr |
" . |
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||||||||
> |
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||||||||||
& - - |
|
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|
|
ωe |
|
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|
||||||||||||
" - |
|
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|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
ω |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
! |
(3.6) |
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|||||||||||
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||||||||||||||
|
>.F. U . |
|
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||||||||||
|
Vr |
|
|
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||||||||||||||
= - |
|
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|
|
ac |
|
|||||||||||||||||
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||||||||||||
" |
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|
||||||
|
Vr |
|
|
|
|
|
|
90° |
|
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|
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|||||||||
" " %, |
|
|
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||||||||||||
|
Vr |
% |
|
|
|
|
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|||||||||||||||
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3.3 – I |
||||||||||||||||||||
ωe , " ! |
|
|
|||||||||||||||||||||
= 90° |
|
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|
& |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
( 3.3).
3
" ! --3.4N3.5 .
$% 1. 8 , - 3.4 , " 1 2! ! !
ϕ = π8t2 . ; - !"D - -
OM = S(t) = 54 πt3 . I " -
! ! " !t = 2 , 1 = 2! = R = 30 c .
.
- !"D - -S = S(t), " - - . - !"D –-.
I - " 1 2! - -( 3.4b):
4
ϕ1 = π8t2 = π 822 = π2 , OM = S = 54 πt3 = 54 π 23 = 10π ,
α= S = 10π = π .
R 30 3
I ! ! " :
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = Vr + Ve. |
||||||
I " ": |
||||||||||
V = |
dS |
= |
5 |
3πt2 , t = 2 V = 15π / . |
||||||
|
4 |
|||||||||
r |
dt |
|
|
|
|
|
|
r |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
; !"D - " , " ,! -:
V = V |
A |
= ω O A, |
ω = |
dϕ |
= πt = π / , |
||
|
|||||||
e |
|
|
1 1 |
1 |
dt |
4 2 |
|
|
|
V |
A |
= ω R = π 30 = 15π / . |
|||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+- Vr Ve = VA 3.4b.
" ! - -! (3.2):
VM = Vr2 + Ve2 + 2VrVe cos(Vr ;Ve ) =
= (15π)2 + (15π)2 + 2 15π 15π cos30° = 29π / .
I -! (3.4), , "- :
a |
M |
= |
a |
n + |
a |
τ |
+ |
a |
n + |
a |
τ , a |
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= (Va |
)2 |
+ (Va |
y |
)2 |
, |
|||
|
|
r |
|
r |
|
e |
e |
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||
an = |
V 2 |
(15π)2 |
|
|
|
|
aτ |
|
dV |
|
15 |
|
|||||||||
r |
= |
|
|
|
|
= 7,5π2 /2 , |
= |
r |
= |
|
|
πt, |
|||||||||
|
30 |
|
dt |
|
2 |
||||||||||||||||
r |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t = 2 c arτ = 15π /2 , ae = aA ,
5
aen = ω12 R = (π / 2)2 30 = 7,5π2 /2 ,
aτ |
= ε R, |
|
ε = |
dω1 |
= π /2 , aτ = |
π 30 = 7,5π2 |
/2. |
||
|
|
||||||||
e |
1 |
|
1 |
dt |
4 |
e |
4 |
|
|
|
+- 3.4b. 8- |
||||||||
: |
|||||||||
|
a |
Mx |
= a |
= aτ + a |
τ cos30° + an cos60° = |
|
|||
|
|
|
kx |
|
e |
r |
r |
|
|
|
= 7,5π + 15π 0,87 + 7,5π2 0,5 = 32,3π, |
|
|||||||
|
a |
My |
= a |
= −an − an cos30° + aτ cos60° = |
|
||||
|
|
|
ky |
|
e |
r |
r |
|
|
|
= −7,5π2 − 7,5π2 0,87 + 15π 0,5 = −36,4π, |
|
|||||||
aM |
= (Σax )2 + (Σay )2 = π |
32,32 + (−36,4)2 = 48,6π /2. |
|||||||
I . VM = 29π / , a = 48,6π /2.
$% 2. R = 0,5( 3.5), !
ϕe = 2t3 – 4t2 (ϕ N , t – ). $ M- < -
Sr = OM = π6R (7t − 2t2 ), (S – , t – ). I " -
! ! " ! -t = 1 .
$%
1.$ -" < ϕ -.
2.$ -" < -
Sr = - , " "-.
.
- -, < - " ( – -
6
" ), -– -.
* ! " VM ! aM ! ' :
VM = Ve + Vr ,
aM = ae + ar + ac = aen + aeτ + arn + arτ + ac ,
- " ae = aen + aeτ ,
" - – -,
ar = arn + arτ .
I - " -.
1. I " - :
Sr = OM = πR (7t − 2t2 ). |
||||
|
6 |
|
|
|
% , " |
||||
t = 1 : |
|
|||
Sr = 5πR , |
OCM1 = |
Sr |
= 5π = 150°. |
|
R |
||||
6 |
|
6 |
||
$ - 1 -, -= .
> Vr ,arτ ,arn :
V = |
dSr |
= |
πR (7 − 4t), aτ = |
dVr |
= − |
2πR . |
|
|
|
||||||
r |
dt |
6 |
r |
dt |
3 |
||
|
|
|
|
|
|
||
t = 1 , , R = 0,5 , :
V |
|
3πR |
|
a |
τ = − |
π |
/2 , |
an = |
V 2 |
π2 |
/2. |
|
= |
6 |
= 0,25π / , |
3 |
r |
= |
8 |
||||||
|
||||||||||||
r |
|
|
|
r |
|
r |
R |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A ! , Vr --" < Sr - " " , arτ –
7
-! . 8 arn " . +- = 3.5.
3.5 – < 2
2. $ - ( ) -:
ϕe = 2t3 − 4t2.
> ! " ω ε
-: |
|
|
|
|
|
|
||
ω = |
dϕe |
= 6t2 |
− 8t, |
ε |
e |
= |
dωe |
= 12t − 8. |
|
|
|||||||
e |
dt |
|
|
|
|
dt |
|
|
$ t = 1 c ωe = – 2 / , ε = 4 /2.
8
A ! , t = 1 c- εe -
-" ϕ , ω --. I = !
. 8 " , ω -.
Ve ae -
h 1 , h – --L, , -t. $
h = Rsin30° = 0,25 . ; t = 1 c
Ve = ωeh = 0,5 / ,
aτ = ε |
h = 1 /2 , |
an = ω2h = 1 /2. |
|
e e |
|
e |
e |
+- Ve , aeτ . I --
ω , Te (Ve ↑↑ M1x , aeτ ↑↓ M1x ). 8 aen -.
3. & .
; - Vrωe 120º, sin 120º = sin 60º,t = 1 c
|
|
|
|
|
|
|
π |
2 |
3 |
= 2,72 /2. |
a = 2 |
V |
|
|
ω |
sin60° = 2 |
|||||
|
4 |
2 |
||||||||
c |
|
r |
|
e |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ac " -U . # Vr ",
! (" 1 ), - < = ! 1
90º. # " , ac
9
" 1 . +- ac
.
; " - " ! -VM ! aM 1.
4. I ! .
; Vr Ve ( 3.5), t = 1 c
V |
= V 2 |
+ V 2 |
= (0,25π)2 + 0,52 = 0,93 / . |
M |
r |
e |
|
5. I ! . $ - :
aM = aen + aeτ + arn + arτ + ac .
aM =1z, . .
a |
M = : |
|
= − aτ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a |
Mx |
= a |
− a = −1− 2,72 |
= −3,72, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
kx |
e |
c |
|
|
|
|
|
|
||
a |
|
= a |
= aτ cos30° − an − an sin30° = π |
|
3 |
−1− |
π2 |
= −071, |
||||||||
|
|
6 |
16 |
|||||||||||||
My |
|
ky |
|
|
r |
|
e |
r |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
a |
|
|
= a |
|
= −a |
τ cos60° − an cos30° = − |
π |
− |
π2 3 |
= −1,59. |
|||||
|
|
Mz |
kz |
|
|
r |
|
r |
6 |
|
16 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
I aM t = 1 c: |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
aM = aMx2 + aMy2 + aMz2 |
= |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
= |
|
(−3,72)2 + (−0,71)2 + (−0,71)2 = 4,1 /2. |
|
|||||||||
|
|
|
|
I . VM = 0,93 / , aM = 4,1 /2. |
|
|
|
|
|
|
||||||
10