ИЭ / 9 сем / Расчётка (Сахно) / Расчётка

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого»

Институт энергетики

Расчётное задание

Расчёт переходных процессов в цепи второго порядка различными методами

Выполнил:

Филин Александр группа: 3241302/30101

Проверила:

Сахно Л. И.

Санкт-Петербург

2023

Вариант 25

Сопротивления указаны в омах, ёмкость – в микрофарадах, индуктивность – в миллигенри, напряжение источника – в вольтах.

Для расчёта методом переменных состояния и операторным методом необходимо рассчитать начальные условия, т.е. i_L(-0) и u_C(-0). Для этого можно представить индуктивность в виде перемычки, ёмкость в виде разрыва, а ключ принимает замкнутое положение (через R₃ ток не течёт). Тогда:

Расчёт методом переменных состояния

Составим систему уравнений Кирхгофа для цепи с разомкнутым состоянием ключа, приняв положительное направление контуров таким, как представлено на рисунке 1:

Приведём это к нужному для метода вида:

Подставляя числа, получим:

Получается следующая матрица :

Найдём её собственные числа:

­

Теперь найдём i_L(∞) и u_C(∞). Для этого можно опять представить индуктивность в виде перемычки, ёмкость в виде разрыва, а ключ принимает разомкнутое положение (через R₃ ток течёт).

Тогда можно функцию u_C(t) и её производную представить в следующем виде:

Теперь необходимо составить 2 уравнения для нахождения A₁ и A₂. Оба мы можем составить из законов коммутации, а именно i_L(-0) = i_L(+0) и u_C(-0) = u_C(+0).

Имеем систему:

В итоге получаем:

Остальные токи в цепи:

Расчёт операторным методом

Чтобы рассчитать переходный процесс операторным методом, представим схему в следующем виде:

Составим систему уравнений Кирхгофа (для удобства записи опустим (p)):

Подставляя числа и выражая I₂ из первого уравнения, получим:

Выразим I_L через I_C из первого уравнения и подставим во второе:

Перейдём от изображения к оригиналу:

_­Найдём остальные величины:

Ниже приведены графики изменения токов и напряжения.

Расчёт неявным методом Эйлера

Из расчёта методом переменных состояния имеем систему дифференциальных уравнений:

Для решения зададимся шагом интегрирования h = 0,0004 с, основываясь на ранее полученных постоянных затухания экспонент из предыдущих методов.

Начальные условия:

Представим систему дифференциальных уравнений в неявном виде:

Ниже приведена таблица расчёта до t=0,0048 c.

Таблица 1 – Расчёт неявным методом Эйлера

Номер шага	Время, с	Напряжение, В	Ток, А
0	0	80	0,4
1	0,0004	76,571	0,297
2	0,0008	72,408	0,258
3	0,0012	68,577	0,247
4	0,0016	65,412	0,248
5	0,002	62,937	0,253
6	0,0024	61,062	0,258

Продолжение таблицы 1

7	0,0028	59,670	0,264
8	0,0032	58,648	0,268
9	0,0036	57,905	0,271
10	0,004	57,367	0,273
11	0,0044	56,980	0,275
12	0,0048	56,702	0,277

Далее представлено графическое сравнение точного метода расчёта и неявного метода Эйлера.

Расчёт методом синтетических схем

Начальные условия:

Шаг интегрирования h = 0,0004 с.

Преобразуем изначальную схему в необходимый вид

Составим матричное уравнение для МУН:

Откуда:

Далее находим напряжение на конденсаторе и ток в катушке:

Ниже приведена таблица расчёта до t=0,0048 c.

Таблица 2 – Расчёт методом синтетических схем

Номер шага	Время, с	Напряжение, В	Ток, А
0	0	80	0,4
1	0,0004	76,571	0,297
2	0,0008	72,408	0,258
3	0,0012	68,577	0,247
4	0,0016	65,412	0,248
5	0,002	62,937	0,253
6	0,0024	61,062	0,258
7	0,0028	59,670	0,264
8	0,0032	58,648	0,268
9	0,0036	57,905	0,271
10	0,004	57,367	0,273
11	0,0044	56,980	0,275
12	0,0048	56,702	0,277

Далее представлено графическое сравнение точного метода расчёта и неявного метода синтетических схем.

Вывод

Сравнивая таблицы 1 и 2, получены абсолютно одинаковые значения напряжения на конденсаторе и тока катушки. Более того, совпадают не только первые три цифры после запятой, которые представлены в таблицах, а целых девять цифр после запятой (посчитано более точно с помощью Excel). Это говорит о том, что если в конечные уравнения, которые были получены с помощью неявного метода Эйлера подставить h, то в итоге мы получим те же уравнения, которые получились с помощью метода синтетических схем.

Полученные итерационными методами значения повторяют форму кривой, полученной точным методом с некоторой погрешностью, которая максимальна для тока катушки в момент времени 0,0004 с и составляет 12,5%, а для напряжения конденсатора 2,5% в момент времени 0,0024 с. Если продолжать считать следующие шаги, то оба метода сходятся к величинам что свидетельствует о правильности расчётов.