Z-изображения часто используемых функций
S |
a |
|
1 |
||
|
||
|
1 q |
К
Пусть f[n] |
F(z), тогда |
Обратное z- преобразование:
где С – замкнутый контур, охватывающий все особые точки функции F(z)zn-1
Если F(z) – рациональная дробь, и все полюсы простые и отличны от нуля, то
(Аналог теоремы разложения для преобразования Лапласа)
Расчет переходных процессов в электрических цепях методом z - преобразования
1 способ: применение z – преобразования для решения разностного уравнения цепи
z – преобразование
при x(0) =0
обратное z – преобразование
xвых[n]
Пример. Расчет тока в rL- цепи при действии на ее входе последовательности прямоугольных импульсов напряжения (cлайд 5).
Здесь xвых[n]= i[n], xвх[n]= U0 1[n] и разностное уравнение принимает вид:
Учитывая Xвх(z) = U0 z/z-1, находим z-изображение тока
2 способ: используя так называемую передаточную функцию импульсной системы
Подход без использования разностных уравнений при анализе импульсных систем с нулевыми начальными условиями: Xвых(z) = Ни (z) Xвх(z),
где Ни (z) имеет смысл передаточной функции.
Если Xвх(z) =1 (z-изображение одиночного импульса единичной амплитуды), то Xвых(z) = Ни (z) - z-изображение реакции цепи на воздействие одиночного импульса единичной амплитуды hи (t) :
hи (t) = h (t) - h (t-Tи).
Функции hи (t) соответствует решетчатая функция hи [n]= hи (nT).
hи [n] |
Hи(z) |
(при n=0 h |
и |
[n]=0) |
|
|
|
|
Пример. Расчет тока в rL- цепи при действии на ее входе последовательности прямоугольных импульсов напряжения (cлайд 5).
0
Z-изображение искомого тока:
(совпадает с найденным 1-м способом)
Переход к оригиналу i[n]:
Обозначим
d
d
d |
d |
d
Рассмотрим расчет тока в r-L цепи при воздействии на ее вход последовательности δ-импульсов напряжения площадью К[n]
1 способ: применим z – преобразование для решения разностного уравнения цепи (слайд 7)
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
i[n 1] i[n]e |
|
K[n 1]Y (0) |
||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
t |
|
|
|
|
Y |
(t) |
|
|
|
|
|||
|
e |
|
|
|
||||
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z - изображение разностного уравнения
z I (z) i[0] I (z)e |
T |
|
|
|
Y |
(0)z(K (z) K[0]) |
|
|
|||
|
|
|
|
i[0] Y (0) K[0] |
|
|
|
Считаем, что все импульсы имеют одинаковую площадь К. Тогда z-изображение последовательности площадей δ – импульсов K[n] :
K ( z) |
K |
z |
|
|
|
|
z 1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|||
Y (0) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Kz |
2 |
|||
I ( z) |
|
|
||||
|
|
|
T |
|
||
|
|
|
|
|
||
L( z e |
|
)( z 1) |
||||
|
||||||
|
|
|||||
Переход к оригиналу:
|
|
|
|
|
2T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
e |
|
|
|
|
( n 1)T |
|
1 |
|
i[n] |
|
|
|
|
||||||
|
|
e |
||||||||
|
|
|
T |
|
|
|
||||
|
L |
e |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 e |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T
|
|
|
( n 1)T |
|||
|
K e |
|
|
|
|
1 |
|
L |
|
|
|
T |
|
|
e |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Совпадает с решением разностного уравнения (слайд 8)
Решим ту же задачу другим способом:
с помощью передаточной функции при воздействии δ –импульсов Hδ (z)
Если Xвх(z) =1, т.е. является z-изображением одиночного δ -импульса единичной
площади, то Xвых(z) = Нδ (z) - |
z-изображение реакции цепи на воздействие одиночного |
||||||||
δ -импульса единичной площади hδ[n], где hδ[n]=hδ(nT) |
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
nT |
|
h |
|
[n] Y [n] |
e |
|
|||||
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||
H |
|
( z) |
|
h [n] z |
|
||||
|
|
|
n 0 |
|
|
|
|
|
|
Находим сумму ряда:
H |
|
(z) |
1 |
|
z |
|
|
|
L |
|
z e |
T |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Z-изображение тока I(z) = Hδ (z) K(z)
K (z) K |
z |
|
z 1 |
||
|
|
Kz |
2 |
||
I (z) |
|
|||
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
L(z e |
|
)(z 1) |
|
|
|
|||
|
|
|
||
z-изображение тока аналогично изображению, полученному при решении разностного уравнения (слайд 18)