Otvety_na_ekzamen_po_matematicheskomu_analizu

Математический анализ

ИнЭИ (ИЭ–61,62,63,65,66)

1 семестр 2022/2023 уч. год

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА

1. Предел функции в точке. Свойства пределов.

Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окр-ти точки x0 за исключением самой быть может x0. Опр. Число A называется пределом ф-и f(x) в точке x0, при x→x0, если для любых ∀ ε >0 существует δ(ε) >0 такое что для любых x из условия модуль разности модулей x и x0 больше δ выполняется неравенство: ∀ ε >0 ∃ δ(ε) >0: ∀ x:0< |x-x0|< δ |f(x)-А|< ε. . 0 |f(x)-А|< ε; - ε <f(x)-А< ε; А-ε<f(x)<A+ε, бесконечно малая величина.

Свойства: 1° Если существует предел и он конечен, при x→x0, то в некоторой окр-ти точки x0 ф-я f(x0) – ограничена. Док-во: ∀ ε >0 ∃ δ(ε) >0: ∀ x:0< |x-x0|< δ ⇒ |f(x)-А|< ε. Пусть ε =1, тогда предел |f(x)-А|<1 по св-ву модулей будет равняться |f(x)|<1+А. Выполняется для всех x из окр-ти, принадлежащей ∀x∈Uδ(x0). Это означает, что ф-я ограничена в указанной окр-ти. 2° Если существует проколотая окр-ть точки x0 (∃U δ(x0):) в которой для всех x f(x)>0 ∃U δ(x0): ∀x ⇒ (x)< 0. 3° Если в некоторой проколотой окр-ти точка x0 выполняется неравенство f(x) ⩽ f(φ) или f(x)< f(φ), то . 4° Лемма 2 милиционера (2м). Если в некоторой проколотой окр-ти точки x0 выполняются неравенства f(x)⩽g(x) ⩽h(x) и при этом . , то . 5° Если существует, конечен и равняется A, то ф-ю f(x) можно записать в следующем виде: f(x)=A+ α(x), . б.м.ф. Док-во: необходимость: ∀ ε >0 ∃ δ(ε) >0: ∀ x:0< |x-x0|< δ1⇒|α(x)|< ε. Обозначим разность f(x) – A = α(x), то |α(x)| < ε – это определение б.м.ф. ⇒ f(x) – б.м.ф, при x→x0. Достаточность: α(x) = f(x) – А, то и выполняется неравенство |α(x)| < ε. Тогда для любых х из проколотой окр-ти точки (∀x∈Uδ(x0)), выполняется неравенство |α(x)| < ε, а это значит, что у нас есть . 6° Если существует конечные пределы . , то имеют место следующее неравенства: 1) ; 2) ; 3) , при ≠0. Док-ть самостоятельно. 7° , С = const. 8° Если существует и конечен, то он единственен. Док-во: Предположим, что у ф-и 2 разных предела , , A≠B, то ф-ю представим в виде: f(x)=А+ α(x), x → x0; f(x)=B+ β(x), x → x0. A + α(x) = B + β(x). A – B = β(x) – α(x). Мы пришли к противоречию ⇒ A = B.

2. Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции. Ф-я f(x) определённая в некоторой проколотой окр-ти точки x0 называется бесконечно малой ф-ей, стремящейся к точке x0, если предел этой ф-и равен 0. Если – функция бесконечно малая или |f(x)| ⩽ ε. Теорема 1. Сумма или разность бесконечно малых функций есть бесконечно малая ф-я. Док-во: α(x), β(x), x→x0. , ; ∀ ε >0 ∃ δ(ε) >0: ∀ x:0< |x-x0|< δ1⇒|α(x)|< ε; ∀ ε >0 ∃ δ(ε) >0: ∀ x:0< |x-x0|< δ2⇒|β(x)|< ε. |α(x)+β(x)|; |α(x)+β(x)| ⩽ |α(x)+β(x)| ⩽ 2ε. Замечание. Доказанная теорема остаётся справедливой для любого конечного набора бесконечно малых ф-й. Сравнение Б.М.Ф. Опр. БМФ α(x) и β(x), при x→x0 называются сравнимыми, если существует пределы их отношения ∃предел функции α(x) / β(x) по основанию x→x0. Опр. Если , то ф-ю α(x) называют бесконечно-малая ф-я более высокого порядка, а бетта(x) – бесконечно малой более низкого порядка. Опр. Если , то ф-ю α(x) называют бесконечно малой более низкого порядка малости. Опр. Если , причём 0<|C|<∞, то ф-я α(x) называется бесконечно малого порядка k по сравнению с β(x). Эквивалентные Б.М.Ф. Опр. Бесконечно малые функции α(x) / β(x), при x→x0, называются эквивалентными, если . Таблица эквивалентно б.м.ф:

3. Односторонние пределы. Опр. Число А называется правосторонним пределом ф-и f(x) в точке x0 при x→x0+0, если ∀ ε >0 ∃ δ(ε) >0: ∀ x: x0 < x< x0+ δ выполняется неравенство. Аналогично. Опр. Число В называется левосторонним пределом ф-и f(x) в точке x0, при x→x0-0, если ∀ ε >0 ∃ δ(ε) >0: ∀ x:0<|x-x0|<δ ⇒ |f(x)-А|< ε. Теорема. Для того, чтобы для ф-и f(x), x→x0 существовал двухсторонний предел Н и Д (необходимо и достаточно), чтобы существовали конечные односторонние пределы и были равны между собой: .

4. Бесконечно большие функции и их свойства. Опр. Пусть ф-я f(x) определена в некоторой проколотой окр-ти т. x0, модуля ф-и, при x→x0 = ∞, если для любых М>0 такое, что для любых x ∀ ε >0 ∃ δ(ε) >0: ∀ x:0< |x-x0|< δ ⇒ |f(x)-А|>M. f(x). Замечание. Иногда приходится различать положительные ББФ от отрицательных, т.е. рассматривать не двухсторонний предел, а односторонние пределы.

Свойства ББФ: 1° Сумма ББФ одного знака и любого их конечного числа есть ББМ, при x→x0. 2° Если f(x) – ББФ, при x→x0, то 1/ f(x) – ББФ, при x→x0. 3° Если f(x) – ББФ, при x→x0, а φ(x) – ограниченная ф-я в некоторой окр-ти точки x0 и не обращается в 0, то φ(x)* f(x) – Б.Б.Ф., при x→x0.

5. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Пусть ф-я f(x) определена в некоторой окр-ти точки x0, включая саму точку x0. Опр. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если f(x) (1). ∀ ε >0 ∃ δ(ε) >0, ∀ x:0 < |x-x0|< δ(M) ⇒ |f(x)-f(x0)|< ε. x – x0 = Δx, y – y0 = Δy – приращение ф-и. (2) Опр. f(x) называется непрерывной в точке x0, если выполняется равенство (2). Опр. f(x) называется непрерывной (a; b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Опр. Если f(x) не является непрерывной в точке x0, то она называется разрывной ф-ей, а точка x0 называется точкой разрыва. Опр. ф-я f(x) называется непрерывной в точке x0, если предел слева равен пределу справа и равен f(x). (3). Классификация точек разрыва. Опр. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва ф-и f(x), если выполняется неравенство: ; f(x) = sinx/x, x≠0; . x = 0 – устранимая точка разрыва. Опр. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода, если существуют конечные односторонние пределы и они не равны между собой. ; f(x). Опр. Точкой x0 называется точкой разрыва 2 рода, если односторонние пределы один или оба не существуют или = ∞.

6. Свойства непрерывных функций на отрезке. Теорема 1. «Первая теорема Больцано-Коши». Если f(x) непрерывно на отрезке [a; b] и в концах этого отрезка принимает значение разных знаков, то внутри отрезка найдётся по крайней мере одна точка. В которой значение ф-и равно 0. f(С) = 0. Теорема 2. «Вторая теорема Больцано-Коши». Если f(x) непрерывно на отрезке [a; b] и если f(a)=A, f(b)=B, то значений ф-й f(x) сплошь заполняют отрезок [A; B] это означает, что для произвольной точки С из интервала [A; B] существует точка С из интервала (a; b). С∈(A; B); С∈(a; b).

7. Производная функции. Механический и геометрический смысл производной. Рассмотрим ф-ю y=f(x), определённую на некотором интервале (a; b), при а=-∞, а=+∞. Пусть точка x0∈(a; b), y0=f(x). x-x0 = Δx – приращение аргумента. f(x) – f(x0) = Δf(x0) = Δy0 – приращение ф-и в точке x0. (1). Если существует конечный предел (1), то он называется производной ф-ей f(x) в точке x0 и обозначается f '(x0) = y'. Примеры. Механический смысл производный. S – путь, пройденный мат. точкой за время от момента t0 до момента t0+ Δt. ΔS = S(t0 + Δt) – S(t0). Рассмотрим ΔS на Δt. Это отношение определяет среднюю скорость движения точки за время t0. Опр. называется мгновенной скоростью движения мат. точки в момент времени t. Геометрический смысл производной. Рассмотрим y=f(x), определённую на интервале (a; b) и проведём секущ. AB, l = кас. в точке, AB – секущая. . Геометрический смысл производной состоит в том, что производная состоит в том, что производная ф-и в точке = tg α наклона касательной, проведённой к данной кривой в соответствующей точке с положительным направлением оси x.

8. Дифференцируемость функции. Правила вычисления производной. Пусть ф-я f(x) на интервале (a; b) Δy = f(x+x0) - f(x). Теорема: Ф-я f(x) называется дифференцируемой в т. x, если её приращение можно представить в виде Δy=А* Δx+α(Δx)* Δx; α(Δx). Док-во. Необходимость. Если f(x) диф-ма в т. x по условию теоремы, т.е. выполняется равенство: , то при переходе к . Достаточность. ⇒ Δy = f '(x)*Δx + α(Δx)*Δx. Теорема. Если ф-я y=f(x) диф-ма в т. x, то она непрерывна в этой точке. .

Пусть ф-я f(x) и h(x) диф-мы в точке x, тогда имеют место следующие равенства: 1. (f(x) ± h(x))'=f '(x) ± h'(x); u(x)=f(x)+h(x), тогда u(x+Δx) = f (x+Δx)+h(x+Δx); Δx=f(x+Δx) =f(x) = h(x+Δx) – h(x);

. Следствие: если f(x) диф-мо в т. x, а С=const, то производная от произведения С на ф-ю, т.е. (с*f(x))'=C*f(x). 2. (f(x)*h(x))'=f '*h+f*h'. 3. (f/h)'=(f '*h - f*h')/h^2.

9. Производная сложной функции. Таблица производных. Пусть ф-я f(x) диф-ма в т. x, а ф-я u=h(x) диф-ма в соответствующей точке y, тогда u=h(f(x)) диф-ма в т.x и имеет место равенство: V' = h' (f(x))*f '(x); Δx → Δy → Δu; Δu=h'(y)*Δy + α(Δy)*Δy; Δy= f '(x)*Δx + β(Δx)*Δx, α и β – б.м.ф.

10. Обратная функция и ее производная. Пусть ф-я f(x) определена на [a; b]. Опр. Ф-я f(x) называется взаимно-однозначной на интервале [a; b], если различные точки x1, x2 из интервала [a; b] соответствуют значению ф-и f(x1) ≠ f(x2). Пусть ф-я y = f(x) определена, взаимно-однозначно и непрерывна на интервале [a; b] y∈(f(a); f(b)) соответствует единственное значение x∈(a; b), тем самым интервалам (f(a); f(b)) определена ф-я α(y), которая яв-ся обратной ф-ей f(x). График прямой ф-и совпадает с графиком обратной, если x = f^-1(y) = h(y). x = siny обратная ф-я y=arcsinx. Теорема. Если ф-я y=f(x) определена, взаимооднозначна и непрерывна на интервале (a, b), то на интервале (f(a); f(b)) существует обратная ф-я также взаимно-однозначно и непрерывная y=^-1(x). Теорема. Пусть ф-я y=f(x) определена, взаимооднозначна и дифференцируема на интервале (a; b), причём f '(x) ≠ 0 ⇒ на соответствующем интервале (f(a); f(b)) существует обратная ф-я y = f^-1(x) также дифференцируемая, причём имеет место равенство: (f^-1(x))' = (1/f '(x)). Док-во: Фиксируемая точка x∈(a; b). Стоим приращение Δx. Составим отношение Δx/Δy=1/(Δy/Δx) ⇒ ; y=arcsinx⇒x=siny=Δx/Δy= h'(y)=1/f '(x) = 1/корень из 1-sin^2(y) = ±1/корень из 1-x. Если мы рассматриваем cos на промежутке (π; π/2), тогда перед корнем стоит знак +. y=arctg⇒x=tgy. (arctg)' = (1/(tgx)') = 1/1/cos^2(y) = cos^2(y) = 1/1+tg^2(y) = 1/1+x^2. Таблица производных обратных ф-й.

11. Дифференциал функции первого порядка и его свойства. Геометрический смысл дифференциала. Пусть ф-я y=f(x) определена и диффундирована на интервале (a; b). Рассмотрим т. x∈(a; b); т.к. ф-я дифференцируема, то её приращение можно представить в виде: Δy=А*Δx + Δx*α(Δx), Δx→0. Дифференциалом ф-и f(x) называется главная линейная относительно Δx часть приращения ф-и и обозначается (d/dx)*(x^3 + 2x) = dy = A* Δx; A = f(x); dy = f(x)*Δx. Если x независимая переменная, то Δx=dx, т.е. приращение независимой переменной = дифференциалу этой переменной. dy = f '(x)*dx ⇒ f '(x) = dy/dx. Дифференциал. Символ dy/dx можно рассматривать как дробь, т.е. как отношение двух дифференциалов. Замечание. С одной стороны dx – число, а с другой стороны – б.м.ф.

Ординаты что это приращение ординаты касательной, проведённой в соответствующий точке кривой. Если dx достаточно мало, то Δy приближённо = dy. Формула прогноза: f(x + Δx) ≈ f(x) + f '(x)*Δx; Δy=f(x+Δx) – f(α).

Пусть ф-и u(x) и V(x) диф-мы на интервале (a; b) ⇒ имеют место следующих равенства: du=f '(x)*dx – определение дифференциала. 1) d(u ± V) = du ± dV; 2) d(u*V) = du*V + u*dV; 3) d(u/V) = (du*v + u*dV)/V^2, V≠0. Дик-во: d(u*V) = (u*V)'*dx*V + u*V'*dx = du*V+u*dV.

12. Логарифмическое дифференцирование. Инвариантность формы дифференциала первого порядка. y = u(x)^V(x); lny = lnu(x)^V(x) = V(x)*lnu(x)*(lny)' = (1/y)*y' ⇒ y'=y*(lny) = y(V'*lnu+V*(1/u)*u'). Формула: y = u(x)^V(x) = e^V(x)*lnu(x) = y' = (e^V(x)*lnu(x)) * (V')*lnu + V*(1/u)*u').

Рассмотрим ф-ю y=f(x), дифференцированную на интервале (a; b), где x – независимая переменная ⇒ dy = f '(x)*dx (1); dx = Δx – число. Предположим x = φ(t) на некотором промежутке t∈(α; β). Пусть эта ф-я дифференцируема на этом промежутке ⇒ сложная ф-я y = f(φ(t)) также дифференцируема на интервале (α; β). Найдём дифференциал этой ф-и: dy = (f(φ(t)))'*dt = f '(φ(t))* φ'(t)*dt = f '(x)*dx. (2) Замечание. Форма дифференциала в равенствах (1) и (2) не изменилось, однако смысл dx разный. В (1) dx – число, а в (2) dx – дифференциал ф-и.

13. Производная параметрически заданной функции. Односторонние производные.

Пусть ф-я y=f(x) задана параметрически. Это означает, что ф-я задаётся с помощью системы(1). , ∈(α; β).

, где r – радиус окружности.

Пусть ф-я φ(t) и ψ(t) дифференцирована на интервале (α; β). Ф-я равная φ(t) имеет обратную ф-ю, которая также яв-ся дифференцируемой на соответствующем интервале x. Запишем производную параметрически заданной ф-и. y'x = ψ'(t)/φ'(t). Док-во: 1 способ. dy = f '(x)*dx ⇒ f '(x)=dy/dx; dy/dx = ψ'(t)*dt/φ'(t)*dt = ψ'(t)/φ'(t). Док-во: 2 способ. y = ψ'(φ^-1(x)); y' = ψ'(t)/φ'(t).

Пусть ф-я y=f(x) задана на отрезке (a; b). Предположим, что она дифференцируема на интервале (a; b). Т.е. в каждой точке интервала существует производная. f '(x) = . Обычная производная называется двухсторонней. Производную в точке a можно писать f '(a + 0) = (1). Производная, найденная по формуле (1), называется правосторонней, аналогично f '(b - 0) = . Называется левосторонней. Замечание. Правосторонняя и левосторонняя производные ф-и могут быть определены произвольной точкой отрезка (a; b). Т.е. мы можем записать f '(x + 0) = ; f '(x + 0) = .. Теорема. Для того чтобы для ф-и y=f(x) в некоторой точке x существовала двухсторонняя производная НиД, чтобы в этой точке в ∃ - ли конечные левосторонние и правосторонние производные и были равны между собой.

14. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Пусть ф-я y'=f '(x) диф-ма в некоторой точке интервала (a; b). Может оказаться, что производная в свою очередь является дифференцируемой ф-й. y'' = (f '(x))' = f^(2)(x) = d^2*(y)/d*x^2. Опр. Производная n-го порядка от f(x) = первой производной от производной (n-1)-ой. f^(n)(x) = (f^(n-1)(x))'. Для существующих f^(n)(x) необходимо существование (f^(n-1)(x)) в некоторой окр-ти точки x0. Пусть u(x) и V(x) диф-ма n раз на некотором интервале (a; b) ⇒ производная (u±V)^(n) = u^(n)±V(n). Формула Лейбница: n! = 1*3*3*…*n; 0! = 1. Пусть ф-я y=f(x) на (a; b) ⇒ дифференциал dy = f '(x) = d(x)*dx – первый дифференциал. Предполагает, что ф-я f(x) дифференцируема сколько угодно раз. d(dy) = d^2*(y) = d(f '(x)*dx) = d(f '(x))*dx + f '(x)*d(dx) = f ''(x)*dx^2… d^(n)*y = f^(n)(x)*dx^n.

15. Теорема Ферма и теорема Коши. Ферма. Если ф-я y=f(x) диф-ма в точке x0 и эта точка яв-ся точкой экстремума, то производная ф-и в этой точке равна 0. Док-во: Предположим, что x0 – точка локального максимума. f(x0 + Δx) – f(x0) ⩽ 0. Если Δx>0. ⇒ . Коши. Если ф-я y = f(x) и y = g(x) удовлетворяют следующим 3-м условиям: 1) Они непрерывны на отрезке [a; b]. 2) Диф-мы на интервале (a; b). 3. g(x) ≠ 0; g'(x) ≠ 0 на интервале (a; b) ⇒ на этом интервале существует хотя бы одна точка с, в котором выполняется равенство (5). (f(b) – f(a))/(g(b) – g(a)) =f'(c)/g(c) 5 Док-во: Введём вспомогательную ф-ю F(x). F(x) = f(x) – f(a) – ((f(b) – f(a))/(f(b) – g(x))) * (g(x) – g(x)) (6). При f(b) – g(x) ≠ 0. Док-во проводится аналогично предыдущей теореме Лагранжа. По условиям теоремы Ролля существует хотя бы одна точка с, в которой F'(x)=0 ⇒ получим (5).

16. Теорема Ролля и теорема Лагранжа. Роля. Если ф-я y=f(x) удовлетворяет следующим 3-м условиям: 1. Она непрерывна на отрезке [a; b]. 2. Она диф-ма на интервале (a; b). 3. f(a) = f(b), тогда внутри интервала (a; b) хотя бы одна точка с, такая что производная в этой точке = 0. f '(c) = 0. Лагранжа. Если ф-я y=f(x) удовлетворяет следующим 2-м условиям: 1. Она непрерывна на отрезке [a; b]. 2. Диф-ма на интервале (a; b) ⇒ на этом интервале существует хотя бы одна точка с, такая что выполняется равенство: f(b)-f(a) = f '(c)*(b-a) (3). Док-во: Для док-ва рассмотрим вспомогательную ф-ю F(x) = f(x) – f(a)-((f(b)-f(a))/(b-a))*(x-a) (4). Заметим, что эта ф-я удовлетворяет перечисленным двум условиям теоремы. Посчитаем значения ф-и на концах отрезка. F(a) = f(b) – f(a) – ((f(b) – f(a))/(b-a))*(b-a) = 0 ⇒ по теореме Ролля существует хотя бы одна точка с, в которой F'(c) = 0. Разность f(b) от f(a) = F '(x) = f '(x) – (f(b) – f(a))/(b-a).

17. Правило Лопиталя. Пусть имеется предел отношения двух ф-й. . Теорема Лопиталя (для неопределённости {0/0}): пусть ф-и f(x) и h(x) на некотором интервале (a; b) удовлетворяют следующим условиям: 1. Они определены на этом интервале за исключением быть может точки x0. 2. Диф-мы на этом интервале за исключением точки x0. ; , если существует , то существует и предел отношения самих ф-й, причём имеет место равенство: (1). Замечание: если при 1-ом применении правила Лопиталя снова получайте неопределённость типа {0/0}, то правило Лопиталя применяется повторно. Замечание: Предел в правой части равенства (1) может не существовать, однако предел в левой части равенства при этом может существовать. Теорема Лопиталя для ({∞/∞}). Если ф-я f(x) и h(x) определены на интервале (a; b) за исключением точки x0 этого интервала и удовлетворяют следующим условиям: 1. f(x) и h(x) непрерывны и диф-мы на интервале (a; b) за исключением точки x0. 2. Пределы этих ф-й = ∞. ( ; ). 3. h(x) ≠ 0; h'(x) ≠ 0 на интервале (a; b) ⇒ если существует предел отношения ф-й этих ф-1, то существует предел отношения самих ф-й и имеет место равенство (1).

18. Асимптоты графика функции. Опр. Прямая x=x0 называется вертикальной асимптотой для ф-и f(x), если . Опр. Прямая y = kx+b называется наклонной асимптотой для ф-и f(x), при x→∞, если f(x) можно представить в виде: y = f(x) = kx + b + α(x). . Замечание. Для того, чтобы можно было говорить о наклонной асимптоте ф-я f(x) должна быть определена для сколь угодно больших положительных x и сколь угодно больших отрицательных x. Теорема. Для того, чтобы прямая y = f(x) = kx + b была наклонной асимптотой для ф-й y = f(x) НиД выполнения следующих равенств. K = (1). b = (2). Заметим, что формулами (1) и (2) определяются коэффициенты k и b на положительную ∞, аналогичные формулы имеют место для x→-∞. Замечание. Если хотя бы один из пределов (1) и (2) = ∞ или не существует, то наклонной асимптоты нет. Если k=0, то y=b – горизонтальная асимптота.

19. Условия возрастания и убывания дифференцируемой на интервале функции. Пусть ф-я y=f(x) определена и непрерывна на некотором интервале (a; b). Опр. Ф-я y=f(x) называется неубывающей на отрезке (a; b), если для любых x1, x2 из отрезка (a; b) таких что a <= x1 < x2 <= b имеет место следующее неравенство: f (x1) <= f (x2). Если же f (x1) < f (x2), то й-я называется возрастающей. Опр. Ф-я y=f(x) называется невозрастающей на отрезке (a; b). Если для любых f1, x2 из отрезка (a; b) для которых выполняется неравенство a <= x1 < x2 <= b имеет место следующее неравенство: f (x1) > f (x2), то ф-я называется убывающей. Опр. Ф-я не убывающая или не возрастающая на некотором промежутке называется монотонной. Опр. Ф-я возрастающая или убывающая на некотором промежутке называется строго монотонной. Теорема. Если ф-я y=f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b], диф-ма на интервале (a; b), то если f '(x) >= 0 на интервале (a; b), то ф-я неубывающая и если f '(x) > 0, то ф-я возрастающая. Док-во: Пусть ф-я удовлетворяет неравенство a < b и x1 < x2 ⇒ тогда на отрезке [a; b] она удовлетворяет условиям теоремы Лагранджа ⇒ выполняется равенство: f (x2) – f (x1) = f '(c) * (x2 – x1) ⇒ f(x2) >= f(x1) – неубывающая; f(x2) > f(x1) – возрастающая. Теорема. Пусть ф-я y=f(x) удовлетворяет всем условиям: 1) определена и непрерывна на [a; b]; 2) дифференцируема на [a; b] => для любых x из (a; b), если f '(x)<=0 ф-я не возрастающая. f '(x)<0 – ф-я убывающая. Пример.

20. Локальный экстремум. Необходимое условие экстремума. Пусть y=f(x) диф-ма на интервале (a; b). Точка x0 из (a; b) называется точкой локального минимума ф-и f(x), если существует такая окр-ть точки x0, то для всех x этого интервала выполняется неравенство. x0∈(a; b). f(x) ⩾ f(x0) (1). Точка x0 из интервала (a; b) называется точкой локального максимума f(x), если существует такая окр-ть точки x0, что для всех x выполняется неравенство f(x) ⩽ f(x0) (2). Если неравенство (1) строгое и неравенство (2) тоже строгое ⇒ точка x0 называется точкой строгого локального минимума и строгого локального максимума соответственно. Опр. Точки локального минимума и максимума называются экстремальными точками или точками экстремума ф-и.

Теорема (необходимое условие экстремума). Если y=f(x) определена и непрерывна в некоторой окр-ти точки x0, включая саму точку x0 и в этой точке имеется экстремум, то производная в ней равна 0 или не существует. Док-во: пусть точка x0 – точка экстремума ⇒ по теореме Ферма производная в этой точке равна 0. Замечание. Полезность этой теоремы состоит в том, что она позволяет отсеять лишние точки и оставить только те, в которых экстремум может быть. Теорема (1-ая достаточное условие экстремума).

21. Достаточные условия экстремума (по первой и второй производной). Теорема (1-ое достаточная условия экстремума). Пусть ф-я y=f(x) удовлетворяет следующим условиям: 1) Определена и непрерывна в точке x0 из отрезка [a; b] → x0∈ [a; b]; 1) Диф-ма в окр-ти точки x0; 3) Точка x0 – критическая точка ⇒ при переходе через точку x0 слева направо производная ф-и меняет свой знак с + на -, точка x0 – точка локального максимума. Если производная ф-и меняет свой знак с – на +, то точка x0 – точка локального минимума. Если производная не меняет свой знак, то в точке x0 экстремума нет. Теорема (2-ое достаточное условие экстремума). Пусть ф-я y=f(x) удовлетворяет следующим условиям: 1) Определена и непрерывна в точке x0 из отрезка [a; b]; 2) Точка x0∈ [a; b] – критическая точка; 3) Ф-я дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a; b). (у неё есть вторая производная), тогда если в точке x0 f ''(x) < 0, то точка x0 – точка локального максимума. Если f ''(x) > 0, то точка x0 – точка локального минимума. Док-во: Пусть в точке x0 f ''(x)<0<(f '(x))'<0, то f '(x) существует на всём промежутке по признаку убывания возрастания ф-и, ф-я убывающая, а в точке x0 по условию теоремы f '(x) = 0 ⇒ в окрестности точки x0 f '(x) меняет знак с + на -, по 1-ому достаточному условию точки x0 – точка локального максимума. Пример.

22. Направление выпуклости графика функции. Условие выпуклости (по второй производной).

Опр. Мн-во Е называется выпуклым, если для любых 2-х точек М1 и М2, лежащих в этом мн-ве провести соединяющий их отрезок, то все точки этого отрезка будут лежать внутри мн-ва Е, то это мн-во Е, называется выпуклым. Опр. Пусть ф-я y=f(x) определена и диф-ма на интервале (a; b). Будем называть график этой ф-и выпуклым вверх если мн-во точек, лежащих под графиком выпукло, тогда наш график выпуклый вверх. Аналогично. Опр. График ф-и y=f(x) называется выпуклой вниз на (a; b), если мн-во точек, лежащих над графиком этой ф-и выпуклы. Теорема 1. Пусть ф-я y=f(x) дважды непрерывна, диф-ма на (a; b), если f ''(x) < 0, то ф-я выпукла вверх на этом интервале. Теорема 2. Пусть ф-я y=f(x) дважды непрерывна, диф-ма на интервале (c; d), если f ''(x)>0, то ф-я выпукла вниз на этом интервале. Опр. Пусть ф-я y=f(x) дважды непрерывно диф-ма на интервале (a; b). Точка М0(x0, f(x0)), где x0∈(a; b) называется точкой перегиба графика ф-и, если направление выпуклости графика слева и справа различны.

23. Точки перегиба графика функции. Необходимое условие перегиба. Достаточные условия перегиба. Теорема (Необходимое условие перегиба). Если точку M0 (x0, f(x0)), при x0∈(a; b) яв-ся точкой перегиба графика ф-и y=f(x) и если эта точка дважды дифференцируема на этом интервале, то f ''(x0) = 0. Док-во: предположим, что f ''(x0) ≠ 0 ⇒ она должна быть f ''(x0) >/< 0. По условию в некоторой окр-ти существует f '(x), т.е. можно провести касательную. Если f '(x0)>0, то ф-я выпуклой вниз, точка x0 не является точкой перегиба, что противоречит условию теоремы. Теорема (1 достаточное условие перегиба). Пусть y=f(x) удовлетворяет следующим условиям: 1) Дважды непрерывно диф-ма на интервале (a; b); 2) Точка x0∈(a; b) и f ''(x0) =0, тогда если знаки второй производной слева и справа от точки x0 различны, то точка x0 является точкой перегиба, а если знаки второй производной слева и справа от точки x0 одинаковы, то точка x0 не является точкой перегиба. Замечание. Из опр. точки перегиба следует, что если в этой точке к графику ф-и провести касательную, то графики ф-и перейдёт от одной стороны в другую. Теорема (2 достаточное условие перегиба). Пусть ф-я y=f(x) трижды диф-ма на интервале (a; b) и в точке x0 вторая производная =0, тогда если f ''(x) ≠ 0, то точка М0(x0, f(x0)) будет точкой перегиба. Пример.