28.11

Раздел 6. Кратные интегралы.
Параграф 1. Двойные интегралы.


I) Определение и условия существования.
] G - замкнутая ограниченная область;
z = f(x,y) определена и ограничена в G.
Разобьём G на n частей G_i, не имеюищих общих внутренних точек при i из [1,n]
] delta(S_i) - площадь G_i, при i из [1,n]
(x_i,y_i) в G
Составим сумму: б = Sum^n_i=1 ( f(x_i,y_i) * delta(S_i) ) (1),
которая называется интегральной суммой для f(x,y) в G.
] d(G) - диаметр G - наибольшее расстояние между граничными точками.
] lambda = max_(1<=i<=n) {d(G_i)}

Определение:
Двойной интеграл от f(x,y) по G - это предел lim_(lambda->0) (Sum^n_i ( f(x_i,y_i) ) * delta(S_i))
обозначается int_G( int( f(x,y) dx dy) ) = lim_(lambda->0) (Sum^n_i ( f(x_i,y_i) ) * delta(S_i))
При этом f(x,y) - интегрируема в G; G - область интегрирования; x,y - переменные интегрирования

Теорема 1: ] f(x,y) непрерывна в G.
Тогда f(x,y) интегрируема в G.

Теорема 2: ] f(x,y) ограничена и непрерывна в G всюду, кроме точек,
лежащих на конечном числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций y = f(x) или x = g(y).
Тогда f(x,y) интегрируема в G.


II) Геометрический смысл двойного интеграла:
] P - тело, ограниченное:
Сверху: графиком непрерывной и ограниченной z = f(x,y), определённой в G;
С боков: цилиндрической поверхностью, направляющая которой является границей G, а образующая параллельна O(z);
Снизу: Областью G;
Такое P называется криволинейным цилиндром O(xy),
(1) - сумма объёмов прямых цилиндров с площадями основания delta(S_i) и высотами f(x_i,y_i), которую можно принять за приблизительный объём.
lambda->0 => V_p = lim_(lambda->0) (Sum^n_i ( f(x_i,y_i) ) * delta(S_i)).
Т.к. f(x,y) интегрируема, то существует lim_(lambda->0),
и lim_(lambda->0) (Sum^n_i ( f(x_i,y_i) ) * delta(S_i)) = int_G( int( f(x,y) dx dy) ) =>
=> V_p = int_G( int( f(x,y) dx dy) )

Замечание: ] f(x,y) _= 1 для любого (x,y) из G.
int_G( int( f(x,y) dx dy) ) = lim_(lambda->0) (Sum^n_i (delta(S_i) * 1)) = lim_(lambda->0) (Sum^n_i (S)) = S


III) Свойства:
1* ] K = const, f(x,y) интегрируема в G. Тогда K*f тоже интегрируема в G,
и int_G( int( K * f(x,y) dx dy) ) = K * int_G( int( f(x,y) dx dy) )

2* Если G = G_1 U G_2, где G_1,G_2 не имеют общих внутренних точек, f интегрируема в G_i при i из [1,n], то
int_G( int( f(x,y) dx dy) ) = int_(G_1)( int( f(x,y) dx dy) ) + int_(G_2)( int( f(x,y) dx dy) )

3* ДОПИСАТЬ!

4* ДОПИСАТЬ!



Параграф 2. Вычисление двойного интеграла.
1) Случай прямоугольной области:
Теорема 1: ] для f(x,y) в D = { (x,y): x из [a,b], y из [c,d] } существует int_D( int(f(x,y) dx dy) ) (1)
] для любого x из [a,b] существует определенный интеграл I(x) = int_c^d (f(x,y) dy) (2)
Тогда существует int_a^b (I(x) dx) = int_a^b (1 dx) * int_c^d (f(x,y) dy), который называется повторным,
И справедливо равенство: int_D( int(f(x,y) dx dy) ) = int_a^b (1 dx) * int_c^d (f(x,y) dy)

Док-во: Разобьём D с помощью точек:
a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b
c = y_0 < y_1 < ... < y_k = d
Тогда на n-k прямоугольнике D_(ij) = { (x,y): x из [x_(i-1), x_i], y из [y_(j-1, j)] }, где i из [1,n], j из [1,n].
Получим delta(x_i) = x_i - x_(i-1), delta(y_j) = y_j - y_(j-1)
] m_(ij) = inf_( (x,y) из D_y ) ( f(x,y) ); M_(ij) = sup_( (x,y) из D_y ) ( f(x,y) ).
Тогда...

m_(ij) <= f(x,y) <= M_(ij) (4)
Домнажаем на int_(y_(j-1))^(y_j) (dy):
m_(ij) * delta(y_j) <= int_(y_(j-1))^(y_j) ( f(Ksi,y) dy ) <= M_(ij) * delta(y_j) (5)
Суммируем (5) по j из [1,k] и учитывая (2), получим:
sum_(j=1)^k (m_(ij) * delta(y_j)) <= int_c^d ( f(Ksi,y) dy ) <= sum_(j=1)^k (M_(ij) * delta(y_j)) (6)
Далее, учитывая (6) на delta(x_i) и суммируя по i из [1,n], получаем:
sum_(i=1)^n ( sum_(j=1)^k (m_(ij) * delta(y_j) * delta(x_i)) ) <= sum_(i=1)^n ( I(Ksi) * delta(x_i) ) <= sum_(i=1)^n ( sum_(j=1)^k (M_(ij) * delta(y_j) * delta(x_i)) ) (7)
Левая и правая части стремятся к 0 при (delta(x_i) -> 0). Откуда:
int_G( int( f(x,y) dx dy) ) -> 0, для которого Левая часть - Нижняя сумма Дарбу, а Правая - Верхняя.
Следовательно, существует lim_(delta(x_i -> 0)) (sum_(i=1)^n ( I(Ksi) * delta(x_i) )) = int_D( int( f(x,y) dx dy) ),
т.е. int_a^b (I(x) dx) = int_a^b (dx int_c^d ( f(x,y) dy )) = int_D( int( f(x,y) dx dy) )

Замечание: Если в Теореме 1 поменять x и y числами, то доказывается существование
int_c^d (I(y) dy) = int_a^b (dy int_c^d ( f(x,y) dx )),
и справдливо равенство:
int_D( int( f(x,y) dx dy) ) = int_a^b (dy int_c^d ( f(x,y) dx )) (8)

Итак, по (7),(8) int_D( int( f(x,y) dx dy) ) сводится к повторному.
Например, в (8) интегральная сумма производится по x при некотором y, а затем полученный результат интегрируется по y,
т.е. последовательно вычисляются два опредеённых интеграла.

2) Случай криволинейной области интегрирования
Теорема 2:
- ] z = f(x,y) определён в G = {(x,y): a <= x <= b; y_1(x) <= y(x) <= y_2(x)},
где y_1(x) <= y_2(x), и при этом непререрывны для любого x из [a,b];
- Существует int_G( int( f(x,y) dx dy_j) );
- Для любого x из [a,b]